Zagnieżdżony rodnik - Nested radical

W Algebra , A zagnieżdżone rodników jest rodnik ekspresji (jednego zawierającego kwadratowy znak głównego, kostka znak korzeń, etc.), które zawiera (gniazd) inny rodnik ekspresji. Przykłady zawierają

${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\}}}$

co pojawia się przy omawianiu pięciokąta foremnego , oraz bardziej skomplikowanych, takich jak

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {2 + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt [{3}] {4}} \ }}.}$

Zagęszczanie

Niektóre zagnieżdżone rodniki można przepisać w formie, która nie jest zagnieżdżona. Na przykład,

${\ Displaystyle {\ sqrt {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} = 1 + {\ sqrt {2}} \ ,,}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {6}}}} = {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}},}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {{\ sqrt [{3}] {2}}-1}} = {\ Frac {1-{\ sqrt [{3}] {2}} + {\ sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}$

Przepisywanie zagnieżdżonego pierwiastka w ten sposób nazywa się denestingiem . Nie zawsze jest to możliwe, a nawet jeśli jest to możliwe, często bywa trudne.

Dwa zagnieżdżone pierwiastki kwadratowe

W przypadku dwóch zagnieżdżonych pierwiastków kwadratowych poniższe twierdzenie całkowicie rozwiązuje problem rozmieszczania.

Jeśli a i c są liczbami wymiernymi, a c nie jest kwadratem liczby wymiernej, to istnieją dwie liczby wymierne x i y takie, że

${\ Displaystyle {\ sqrt {a + {\ sqrt {c}}}} = {\ sqrt {x}} \ pm {\ sqrt {y}}}$

wtedy i tylko wtedy, gdy jest kwadratem liczby wymiernej d . ${\ Displaystyle a ^ {2}-c ~}$

Jeśli zagnieżdżony pierwiastek jest rzeczywisty, x i y są dwiema liczbami

${\displaystyle {\frac {a+d}{2}}~}$a gdzie jest liczbą wymierną.${\ Displaystyle ~ {\ Frac {reklama} {2}} ~, ~}$${\ Displaystyle ~ d = {\ sqrt {a ^ {2}-c}} ~}$

W szczególności, jeśli a i c są liczbami całkowitymi, to 2 x i 2 y są liczbami całkowitymi.

Ten wynik obejmuje zagnieżdżenia formy

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=z\pm {\sqrt {y}}~}$

ponieważ z można zawsze zapisać i co najmniej jeden z warunków musi być dodatni (ponieważ lewa strona równania jest dodatnia). ${\ Displaystyle z = \ pm {\ sqrt {z ^ {2}}}}$

Bardziej ogólna formuła zagęszczająca może mieć postać

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\alfa +\beta {\sqrt {x}}+\gamma {\sqrt {y}}+\delta {\sqrt {x}} {\sqrt {y}}~.}$

Jednak teoria Galois sugeruje, że lewa strona należy do lub musi zostać uzyskana poprzez zmianę znaku jednego lub obu. W pierwszym przypadku oznacza to, że można przyjąć x = c iw drugim przypadku, a inny współczynnik musi wynosić zero. Jeśli można zmienić nazwę xy na x w celu uzyskania Postępuj podobnie, jeśli wynika, że ​​można przypuszczać, To pokazuje, że pozornie bardziej ogólne rozbicie można zawsze zredukować do powyższego. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {c}}),}$${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {y}},}$${\ Displaystyle \ gamma = \ delta = 0.}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta = 0,}$${\ Displaystyle \ delta = 0.}$${\ Displaystyle \ alfa = 0,}$${\ Displaystyle \ alfa = \ delta = 0.}$

Dowód : przez podniesienie do kwadratu równanie

${\ Displaystyle {\ sqrt {a + {\ sqrt {c}}}} = {\ sqrt {x}} \ pm {\ sqrt {y}}}$

jest równoważne z

${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}}}$

a w przypadku minusa po prawej stronie,

| x | ≥ | y | ,

(pierwiastki kwadratowe są nieujemne z definicji notacji). Ponieważ nierówność może być zawsze zaspokojona poprzez ewentualną zamianę x i y , rozwiązanie pierwszego równania w x i y jest równoważne rozwiązaniu

${\ Displaystyle a + {\ sqrt {c}} = x + y \ pm 2 {\ sqrt {xy}}.}$

Ta równość oznacza, że należy do pola kwadratowego W tej dziedzinie każdy element może być jednoznacznie napisane ze i będących liczb wymiernych. Oznacza to, że nie jest racjonalne (w przeciwnym razie prawa strona równania byłaby racjonalna, ale lewa strona jest irracjonalna). Ponieważ x i y muszą być wymierne, kwadrat musi być wymierny. Oznacza to, że w wyrażeniu jako Tak ${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {c}}).}$${\ Displaystyle \ alfa + \ beta {\ sqrt {c}}}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ pm 2 {\ sqrt {xy}}}$${\ Displaystyle \ pm 2 {\ sqrt {xy}}}$${\ Displaystyle \ alfa = 0}$${\ Displaystyle \ pm 2 {\ sqrt {xy}}}$${\ Displaystyle \ alfa + \ beta {\ sqrt {c}}.}$

${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y+\beta {\sqrt {c}}}$

dla pewnej liczby wymiernej Unikatowość rozkładu po 1 i implikuje zatem, że rozważane równanie jest równoważne z ${\displaystyle \beta.}$${\displaystyle {\sqrt {c}}}$

${\ Displaystyle a = x + y \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ pm 2 {\ sqrt {xy}} = {\ sqrt {c}}}.}$

Ze wzorów Viety wynika, że x i y muszą być pierwiastkami równania kwadratowego

${\ Displaystyle Z ^ {2}-az + {\ Frac {c} {4}} = 0 ~;}$

jej (≠0, w przeciwnym razie c byłoby kwadratem a ), stąd x i y muszą być ${\ Displaystyle ~ \ Delta = a ^ {2}-c = d ^ {2}> 0 ~}$

${\ Displaystyle {\ Frac {a + {\ sqrt {a ^ {2}-c}}} {2}} ~}$ i ${\ Displaystyle ~ {\ Frac {a-{\ sqrt {a ^ {2}-c}}} {2}} ~.}$

Zatem x i y są wymierne wtedy i tylko wtedy, gdy są liczbą wymierną. ${\ Displaystyle d = {\ sqrt {a ^ {2}-c}} ~}$

Aby jednoznacznie wybrać różne znaki, należy wziąć pod uwagę tylko dodatnie rzeczywiste pierwiastki kwadratowe, a więc założyć c > 0 . Z równania wynika, że | | > √ C . Tak więc, jeśli zagnieżdżony rodnik jest rzeczywisty i jeśli możliwe jest zagnieżdżenie, to a > 0 . Następnie rozwiązanie pisze ${\ Displaystyle a ^ {2} = c + d ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ sqrt {a + {\ sqrt {c}}}} i = {\ sqrt {\ tfrac {a + d} {2}}} + {\ sqrt {\ tfrac {reklama }{2}}},\\{\sqrt {a-{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\tfrac {a+d}{2}}}-{\sqrt {\tfrac { reklama}{2}}}.\end{aligned}}}$

Niektóre tożsamości Ramanujan

Srinivasa Ramanujan zademonstrował wiele ciekawych tożsamości z udziałem zagnieżdżonych radykałów. Wśród nich są:

${\ Displaystyle {\ sqrt [{4}] {\ Frac {3 + 2 {\ sqrt [{4}] {5}} {3-2 {\ sqrt [{4}] {5}}}}} ={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\lewo (3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {{\ sqrt [{3}] {28}} - {\ sqrt [{3}] {27}}}} = {\ tfrac {1} {3}} \ lewo ({\ sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {{\ sqrt [{5}] {\ Frac {32} {5}}} - {\ sqrt [{5}] {\ Frac {27} {5}} }}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5 }]{\frac {9}{25}}},}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ {\ sqrt [{3}] {2}} \ -1}} = {\ sqrt [{3}] {\ Frac {1} {9}}} -{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.}$

Inne dziwnie wyglądające radykały inspirowane Ramanujanem to:

${\ Displaystyle {\ sqrt [{4}] {49 + 20 {\ sqrt {6}}}} + {\ sqrt [{4}] {49-20 {\ sqrt {6}}}} = 2 {\ sqrt {3}},}$

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ left ({\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}} \ po prawej) \ po lewej (5- {\ sqrt {6}} \ po prawej) + 3 \left(2{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}\right)}}={\sqrt {10-{\frac {13-5{\sqrt {6}}}{5+ {\sqrt {6}}}}}}.}$

Algorytm Landaua

W 1989 roku Susan Landau wprowadziła pierwszy algorytm decydowania o tym, które zagnieżdżone rodniki mogą zostać odgniecione. Wcześniejsze algorytmy działały w niektórych przypadkach, ale nie w innych. Algorytm Landaua obejmuje złożone korzenie jedności i biegnie w czasie wykładniczym w odniesieniu do głębokości zagnieżdżonego rodnika.

W trygonometrii

W trygonometrii , na sinus i cosinus wielu kątów może być wyrażona w kategoriach zagnieżdżonych rodników. Na przykład,

${\ Displaystyle \ sin {\ Frac {\ pi {60}} = \ grzech 3 ^ {\ circ} = {\ Frac {1} {16}} \ lewo [2 (1-{\ sqrt {3}} ){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}$

i

${\ Displaystyle \ grzech {\ Frac {\ pi {24}} = \ grzech 7,5 ^ {\ circ} = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {2-{\ sqrt {2 + {\ sqrt {3}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}} .}$

Ostatnia równość wynika bezpośrednio z wyników § Dwóch zagnieżdżonych pierwiastków kwadratowych .

W rozwiązaniu równania sześciennego

Zagnieżdżone grupy pojawiają się w algebraicznej roztworu z równania trzeciego stopnia . Każde równanie sześcienne można zapisać w uproszczonej formie bez członu kwadratowego, jako,

${\displaystyle x^{3}+px+q=0,}$

którego ogólne rozwiązanie dla jednego z korzeni to

${\ Displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {-{q \ ponad 2} + {\ sqrt {{q ^ {2} \ ponad 4} + {p ^ {3} \ ponad 27}}}} }+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}$

W przypadku, gdy sześcienny ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, pierwiastek rzeczywisty jest podany przez to wyrażenie, przy czym radykandy pierwiastków sześciennych są rzeczywiste i pierwiastki sześcienne są rzeczywistymi pierwiastkami sześciennymi. W przypadku trzech pierwiastków rzeczywistych wyrażenie pierwiastka kwadratowego jest liczbą urojoną; tutaj każdy prawdziwy pierwiastek sześcienny jest wyrażony przez zdefiniowanie pierwszego pierwiastka sześciennego jako dowolnego określonego złożonego pierwiastka sześciennego ze zespolonej radicandy oraz przez zdefiniowanie drugiego pierwiastka sześciennego jako sprzężonego sprzężenia pierwszego. Zagnieżdżone rodniki w tym rozwiązaniu nie mogą być ogólnie uproszczone, chyba że równanie sześcienne ma co najmniej jedno rozwiązanie racjonalne . Rzeczywiście, jeśli sześcienny ma trzy rozwiązania irracjonalne, ale rzeczywiste, mamy casus irreducibilis , w którym wszystkie trzy rzeczywiste rozwiązania są zapisane w postaci pierwiastków sześciennych liczb zespolonych. Z drugiej strony rozważ równanie

${\ Displaystyle x ^ {3}-7x + 6 = 0,}$

który ma racjonalne rozwiązania 1, 2 i -3. Podana powyżej ogólna formuła rozwiązania daje rozwiązania

${\ Displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {-3 + {\ Frac {10 {\ sqrt {3}} i {9}}}} + {\ sqrt [{3}] {-3- {\frac {10{\sqrt {3}}i}{9}}}}.}$

Dla dowolnego wyboru pierwiastka sześciennego i jego sprzężenia, zawiera on zagnieżdżone pierwiastki z liczbami zespolonymi, ale daje się zredukować (choć nie jest to oczywiste) do jednego z rozwiązań 1, 2 lub –3.

Nieskończenie zagnieżdżone rodniki

Pierwiastki kwadratowe

W pewnych warunkach nieskończenie zagnieżdżone pierwiastki kwadratowe, takie jak

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2+ {\ sqrt {2+ {\ sqrt {2+ {\ sqrt {2+ \ cdots}}}}}}}}}$

reprezentują liczby wymierne. Tę liczbę wymierną można znaleźć, zdając sobie sprawę, że x występuje również pod znakiem pierwiastka, co daje równanie

${\ Displaystyle x = {\ sqrt {2 + x}}.}$

Jeśli rozwiążemy to równanie, stwierdzimy, że x = 2 (drugie rozwiązanie x = -1 nie ma zastosowania, zgodnie z konwencją, że chodzi o dodatni pierwiastek kwadratowy). To podejście można również wykorzystać do wykazania, że ​​ogólnie, jeśli n  > 0, to

${\ Displaystyle {\ sqrt {n + {\ sqrt {n + {\ sqrt {n + {\ sqrt {n + \ cdots}}}}}}}} = {\ tfrac {1}{2}} \ lewo (1+ { \sqrt {1+4n}}\right)}$

i jest pierwiastkiem dodatnim z równania x ²  −  x  −  n  = 0. Dla n = 1, ten pierwiastek jest złotym stosunkiem φ, w przybliżeniu równym 1,618. Ta sama procedura działa również w celu uzyskania, jeśli n  > 1,

${\displaystyle {\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots}}}}}}}} = {\tfrac {1}{2}} \ lewo (-1+{\sqrt {1+4n}}\prawo),}$

który jest pierwiastkiem dodatnim równania x ²  +  x  −  n  = 0.

Nieskończone radykały Ramanujana

Ramanujan postawił następujący problem dla Journal of Indian Mathematical Society :

${\ Displaystyle ? = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1 + \ cdots}}}}}}.}$

Można to rozwiązać, zwracając uwagę na bardziej ogólne sformułowanie:

${\ Displaystyle ? = {\ sqrt {ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\ sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}}.}$

Ustawienie tego na F ( x ) i podniesienie do kwadratu obu stron daje nam

${\ Displaystyle F (x) ^ {2} = ax + (n + a) ^ {2} + x {\ sqrt {a (x + n) + (n + a) ^ {2} + (x + n) {\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}},}$

które można uprościć do

${\ Displaystyle F (x) ^ {2} = ax + (n + a) ^ {2} + xF (x + n).}$

Można wtedy wykazać, że

${\ Displaystyle F (x) = {x + n + a}.}$

Czyli ustawiając a  = 0, n  = 1 i  x  = 2, mamy

${\ Displaystyle 3 = {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1 + \ cdots}}}}}}.}$

Ramanujan stwierdził w swoim zagubionym notatniku następujące nieskończone radykalne zagłębienie :

${\ Displaystyle {\ sqrt {5+ {\ sqrt {5+ {\ sqrt {5-{\ sqrt {5+ {\ sqrt {5+ {\ sqrt {5+ {\ sqrt {5 \ cdots}}} }}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}.}$

Powtarzający się wzór znaków to ${\displaystyle (+,+,-,+).}$

Wyrażenie Viète dla π

Wzór Viète na π , stosunek obwodu koła do jego średnicy, to

${\displaystyle {\frac {2}{\pi}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}} 2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots .}$

Korzenie kostki

W niektórych przypadkach nieskończenie zagnieżdżone pierwiastki sześcienne, takie jak

${\ Displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {6+ {\ sqrt [{3}] {6+ {\ sqrt [{3}] {6+ {\ sqrt [{3}] {6+ \ cdoty }}}}}}}}}$

może również reprezentować liczby wymierne. Ponownie, zdając sobie sprawę, że całe wyrażenie pojawia się w sobie, pozostaje nam równanie

${\ Displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {6 + x}}.}$

Jeśli rozwiążemy to równanie, stwierdzimy, że  x  = 2. Ogólnie rzecz biorąc, stwierdzamy, że

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {n + {\ sqrt [{3}] {n + {\ sqrt [{3}] {n + {\ sqrt [{3}] {n + \ cdots}}}}} }}}}$

jest dodatnim pierwiastkiem rzeczywistym równania x ³  −  x  −  n  = 0 dla wszystkich  n  > 0. Dla n = 1 pierwiastek ten jest liczbą plastyczną ρ , w przybliżeniu równą 1,3247.

Ta sama procedura działa również, aby uzyskać

${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {n-{\ sqrt [{3}] {n-{\ sqrt [{3}] {n- {\ sqrt [{3}] {n- \ cdots} }}}}}}}}$

jako pierwiastek rzeczywisty równania x ³  +  x  −  n  = 0 dla wszystkich n  > 1.

Twierdzenie o zbieżności Herschfelda

Nieskończenie zagnieżdżony pierwiastek (gdzie wszystkie są nieujemne ) zbiega się wtedy i tylko wtedy, gdy jest taki, że dla wszystkich . ${\displaystyle {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb}}}}}$${\displaystyle a_{i}}$${\ Displaystyle M \ w \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle M \ geq a_ {n} ^ {2 ^ {-n}}}$${\ Displaystyle n}$

Dowód „jeśli”

Obserwujemy, że

${\ Displaystyle {\ sqrt {a_ {1}+ {\ sqrt {a_ {2}+ \ kropki}}}} \ leq {\ sqrt {M ^ ^ ^ {1}} + {\ sqrt {M ^ { 2^{2}}+\dotsb }}}}=M{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}<2M}$.

Co więcej, sekwencja jest monotonicznie wzrastająca. Dlatego jest zbieżny, zgodnie z twierdzeniem o zbieżności monotonicznej . ${\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {a_ {1}+ {\ sqrt {a_ {2}+ \ dotsc {\ sqrt {a_ {n}}}}}}} \ po prawej)}$

Dowód „tylko jeśli”

Jeśli sekwencja jest zbieżna, jest ograniczona. ${\ Displaystyle \ lewo ({\ sqrt {a_ {1}+ {\ sqrt {a_ {2}+ \ dotsc {\ sqrt {a_ {n}}}}}}} \ po prawej)}$

Jednak , stąd jest również ograniczony. ${\ Displaystyle a_ {n} ^ {2 ^ {-n}} \ leq {\ sqrt {a_ {1} + {\ sqrt {a_ {2} + \ dotsc {\ sqrt {a_ {n}}}}} }}}$${\ Displaystyle \ lewo (a_ {n} ^ {2 ^ {-n}} \ po prawej)}$

Zobacz też

• Suma rodników
• Spirala Teodora

Bibliografia

Dalsza lektura

• Landau, Susan (1994). „Jak splątać się z zagnieżdżonym radykałem”. Inteligencja matematyczna . 16 (2): 49–55. doi : 10.1007/bf03024284 . S2CID  119991567 .
• Zmniejszanie głębokości zagnieżdżenia wyrażeń wykorzystujących pierwiastki kwadratowe
• Uproszczenie pierwiastków kwadratowych z pierwiastków kwadratowych Square
• Weisstein, Eric W. "Korzeń kwadratowy" . MatematykaŚwiat .
• Weisstein, Eric W. „Zagnieżdżony radykał” . MatematykaŚwiat .