Faza liniowa - Linear phase

Faza liniowa jest właściwością filtra , gdzie odpowiedź fazowa filtru jest funkcją liniową od częstotliwości . W rezultacie wszystkie składowe częstotliwości sygnału wejściowego są przesunięte w czasie (zwykle opóźnione) o tę samą stałą wielkość (nachylenie funkcji liniowej), co jest określane jako opóźnienie grupowe . W konsekwencji nie ma zniekształcenia fazowego z powodu opóźnienia częstotliwości względem siebie.

W przypadku sygnałów z czasem dyskretnym idealną fazę liniową można łatwo uzyskać dzięki filtrowi o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR), posiadając współczynniki, które są symetryczne lub antysymetryczne. Przybliżenia można osiągnąć dzięki projektom nieskończonej odpowiedzi impulsowej (IIR), które są bardziej wydajne obliczeniowo. Kilka technik to:

• Bessela funkcję przenoszenia, która ma maksymalne opóźnienie płaskie grupy funkcyjnej aproksymacji
• Korektor w fazie

Definicja

Filtr nazywany jest liniowym filtrem fazowym, jeśli składowa fazowa odpowiedzi częstotliwościowej jest liniową funkcją częstotliwości. W przypadku aplikacji z czasem ciągłym, odpowiedź częstotliwościowa filtra to transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej filtra , a wersja liniowa ma postać:

${\ Displaystyle H (\ omega) = A (\ omega) \ e ^ {- j \ omega \ tau},}$

gdzie:

• (Ω) jest funkcją o wartościach rzeczywistych.
• ${\ displaystyle \ tau}$ to opóźnienie grupowe.

W przypadku aplikacji z czasem dyskretnym, dyskretna transformata Fouriera liniowej odpowiedzi impulsowej fazy ma postać:

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega) = A (\ omega) \ e ^ {- j \ omega k / 2},}$

gdzie:

• A (ω) jest funkcją o wartościach rzeczywistych z okresowością 2π.
• k jest liczbą całkowitą, a k / 2 jest opóźnieniem grupowym w jednostkach próbek.

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega)}$ jest szeregiem Fouriera, który można również wyrazić jako transformatę Z odpowiedzi impulsowej filtra. To znaczy:

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega) = \ lewo. {\ widehat {H}} (z) \ \ prawej | _ {z = e ^ {j \ omega}} = {\ widehat {H }} (e ^ {j \ omega}),}$

gdzie notacja odróżnia transformatę Z od transformaty Fouriera. ${\ displaystyle {\ widehat {H}}}$

Przykłady

Kiedy sinusoida   przechodzi przez filtr ze stałym (niezależnym od częstotliwości) opóźnieniem grupowym,   wynikiem jest :${\ Displaystyle, \ \ sin (\ omega t + \ theta),}$${\ displaystyle \ tau,}$

${\ Displaystyle A (\ omega) \ cdot \ sin (\ omega (t- \ tau) + \ theta) = A (\ omega) \ cdot \ sin (\ omega t + \ theta - \ omega \ tau),}$

gdzie :

• ${\ Displaystyle A (\ omega)}$ jest mnożnikiem amplitudy zależnym od częstotliwości.
• Przesunięcie fazowe jest liniową funkcją częstotliwości kątowej i jest nachyleniem. ${\ displaystyle \ omega \ tau}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle - \ tau}$

Wynika z tego, że złożona funkcja wykładnicza:

${\ Displaystyle e ^ {i (\ omega t + \ teta)} = \ cos (\ omega t + \ teta) + ja \ cdot \ sin (\ omega t + \ teta),}$

przekształca się w:

${\ Displaystyle A (\ omega) \ cdot e ^ {i (\ omega (t- \ tau) + \ teta)} = e ^ {i (\ omega t + \ teta)} \ cdot A (\ omega) e ^ {-i \ omega \ tau}}$

Dla mniej więcej liniowej fazy wystarczy mieć tę właściwość tylko w paśmie (-ach) przepuszczania filtra, gdzie | A (ω) | ma stosunkowo duże wartości. Dlatego zarówno wykresy wielkości, jak i fazy (wykresy Bode'a ) są zwykle używane do badania liniowości filtra. „Liniowy” wykres fazy może zawierać nieciągłości π i / lub 2π radianów. Mniejsze zdarzają się, gdy A (ω) zmienia znak. Ponieważ | A (ω) | nie może być ujemna, zmiany są odzwierciedlane na wykresie fazowym. W 2n nieciągłości zdarzyć z powodu wykreślenie główną wartość z   zamiast rzeczywistej wartości. ${\ displaystyle \ omega \ tau,}$

W zastosowaniach z czasem dyskretnym , ze względu na okresowość i symetrię , bada się tylko obszar częstotliwości od 0 do częstotliwości Nyquista . W zależności od jednostek częstotliwości częstotliwość Nyquista może wynosić 0,5, 1,0, π lub ½ rzeczywistej częstotliwości próbkowania. Poniżej przedstawiono kilka przykładów fazy liniowej i nieliniowej.

odpowiedź fazowa vs znormalizowana częstotliwość (ω / π)

Działki Bodego . Nieciągłości fazowe to π radianów, co wskazuje na odwrócenie znaku.

Nieciągłości faz są usuwane przez dopuszczenie ujemnej amplitudy.

Dwa przedstawienia odpowiedzi częstotliwościowej prostego filtra FIR

Dyskretny filtr czasowy z liniową fazą można uzyskać za pomocą filtru FIR, który jest symetryczny lub antysymetryczny. Warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym jest :

${\ Displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} h [n] \ cdot \ sin (\ omega \ cdot (n- \ alfa) + \ beta) = 0}$

dla niektórych . ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {R}}$

Uogólniona faza liniowa

Systemy z uogólnioną fazą liniową mają dodatkową, niezależną od częstotliwości, stałą dodawaną do fazy. Na przykład w przypadku czasu dyskretnego charakterystyka częstotliwościowa ma postać: ${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle H_ {2 \ pi} (\ omega) = A (\ omega) \ e ^ {- j \ omega k / 2 + j \ beta},}$

${\ Displaystyle \ arg \ lewo [H_ {2 \ pi} (\ omega) \ prawej] = \ beta - \ omega k / 2}$ dla ${\ Displaystyle - \ pi <\ omega <\ pi}$

Z powodu tej stałej faza układu nie jest ściśle liniową funkcją częstotliwości, ale zachowuje wiele użytecznych właściwości liniowych układów fazowych.

Zobacz też

• Minimalna faza

Uwagi

Cytaty