Transformata Laplace'a zastosowana do równań różniczkowych - Laplace transform applied to differential equations

W matematyce , przekształcenia Laplace'a jest potężnym integralną transformacji używany do przełączania funkcji z dziedziny czasu do s-domeny . W niektórych przypadkach transformata Laplace'a może być używana do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych przy danych warunkach początkowych .

Najpierw rozważ następującą właściwość transformaty Laplace'a:

${\ displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '\} = s {\ mathcal {l}} \ {f \} - f (0)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f '' \} = s ^ {2} {\ mathcal {l}} \ {f \} - sf (0) -f '(0)}$

Można udowodnić przez indukcję tego

${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f ^ {(n)} \} = s ^ {n} {\ mathcal {l}} \ {f \} - \ suma _ {i = 1} ^ { n} s ^ {ni} f ^ {(i-1)} (0)}$

Teraz rozważymy następujące równanie różniczkowe:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} f ^ {(i)} (t) = \ phi (t)}$

z zadanymi warunkami początkowymi

${\ Displaystyle f ^ {(i)} (0) = c_ {i}}$

Używając liniowości transformaty Laplace'a, jest to równoważne przepisaniu równania na

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} {\ mathcal {l}} \ {f ^ {(i)} (t) \} = {\ mathcal {l}} \ { \ phi (t) \}}$

uzyskanie

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f (t) \} \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ {i} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} \ sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} f ^ {(j-1)} (0) = {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}}$

Rozwiązanie równania i podstawienie go otrzymujemy ${\ displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f (t) \}}$${\ Displaystyle f ^ {(i)} (0)}$${\ displaystyle c_ {i}}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f (t) \} = {\ frac {{\ mathcal {l}} \ {\ phi (t) \} + \ suma _ {i = 1} ^ { n} \ sum _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} s ^ {ij} c_ {j-1}} {\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ { ja}}}}$

Rozwiązanie dla f ( t ) uzyskuje się stosując odwrotną transformatę Laplace'a do ${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f (t) \}.}$

Zauważ, że jeśli wszystkie warunki początkowe są równe zero, tj

${\ Displaystyle f ^ {(i)} (0) = c_ {i} = 0 \ quad \ forall ja \ in \ {0,1,2, ... \ n \}}$

następnie formuła upraszcza się do

${\ displaystyle f (t) = {\ mathcal {l}} ^ {- 1} \ lewo \ {{{\ mathcal {l}} \ {\ phi (t) \} \ ponad \ suma _ {i = 0 } ^ {n} a_ {i} s ^ {i}} \ right \}}$

Przykład

Chcemy rozwiązać

${\ Displaystyle f '' (t) + 4f (t) = \ sin (2t)}$

z warunkami początkowymi f (0) = 0 if ′ (0) = 0.

Zauważamy to

${\ Displaystyle \ phi (t) = \ sin (2t)}$

i otrzymujemy

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \} = {\ Frac {2} {s ^ {2} +4}}}$

Równanie jest wtedy równoważne

${\ Displaystyle s ^ {2} {\ mathcal {l}} \ {f (t) \} - sf (0) -f '(0) +4 {\ mathcal {l}} \ {f (t) \ } = {\ mathcal {L}} \ {\ phi (t) \}}$

Wnioskujemy

${\ Displaystyle {\ mathcal {l}} \ {f (t) \} = {\ frac {2} {(s ^ {2} +4) ^ {2}}}}$

Teraz zastosujemy odwrotną transformatę Laplace'a, aby uzyskać

${\ Displaystyle f (t) = {\ Frac {1} {8}} \ sin (2t) - {\ Frac {t} {4}} \ cos (2t)}$

Bibliografia

• AD Polyanin, Podręcznik liniowych równań różniczkowych cząstkowych dla inżynierów i naukowców , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN   1-58488-299-9