Parametry lamy - Lamé parameters

W mechaniki kontinuum , parametrów lame (zwany również współczynniki lame , o stałych lame lub lame moduły ) są dwie wielkości materiałowe zależne oznaczone Î i ľ, które powstają w szczepu - stres związków. W ogóle, λ i μ są indywidualnie określane jako pierwszego parametru lame jest i drugi parametr jest kulawy , odpowiednio. Inne nazwy są czasami używane dla jednego lub obu parametrów, w zależności od kontekstu. Na przykład parametr μ jest określany w dynamice płynów jako lepkość dynamiczna płynu (nie są to te same jednostki); zaś w związku z elastycznością , μ nazywa się moduł na ścinanie , a czasami jest oznaczony G zamiast ľ . Zazwyczaj notacja G jest sparowana z modułem Younga E, a notacja μ jest sparowana z wykorzystaniem λ .

W materiałach jednorodnych i izotropowych definiują one prawo Hooke'a w 3D,

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = 2 \ mu {\ boldsymbol {\ varepsilon}} + \ lambda \; \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ja,}$

gdzie σ jest naprężenie , ε tensorowy szczep , I z macierzy tożsamości i tr do śledzenia funkcji. Prawo Hooke'a można zapisać w postaci składowych tensorowych przy użyciu notacji indeksowej jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = 2 \ mu E_ {ij} + \ lambda \ delta _ {ij} E_ {kk}}$

gdzie σ _ij jest tensor naprężeń, e _ij tensor naprężeń, a hemibursztynianu _ij o delta Kronecker .

Te dwa parametry razem stanowią parametryzację modułów sprężystości dla jednorodnych ośrodków izotropowych, popularną w literaturze matematycznej, a zatem są powiązane z innymi modułami sprężystości ; na przykład moduł objętościowy można wyrazić jako K = λ + λ 2/3μ . Relacje dla innych modułów znajdują się wwierszu( λ , G ) tabeli konwersji na końcu tego artykułu.

Chociaż moduł sprężystości poprzecznej μ musi być dodatni, pierwszy parametr Lamé, λ , może w zasadzie być ujemny; jednak dla większości materiałów jest to również pozytywne.

Parametry noszą imię Gabriela Lamé . Mają taki sam wymiar jak naprężenie i są zwykle podawane w jednostce ciśnienia [Pa].

Dalsza lektura

• K. Feng, Z.-C. Shi, Matematyczna teoria struktur elastycznych , Springer New York, ISBN  0-387-51326-4 , (1981)
• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin, The Rock Physics Handbook , Cambridge University Press (miękka okładka ), ISBN  0-521-54344-4 , (2003)
• WS Slaughter, linearyzowana teoria sprężystości , Birkhäuser, ISBN  0-8176-4117-3 , (2002)

Bibliografia

Formuły konwersji
Jednorodne izotropowe liniowe materiały elastyczne mają swoje właściwości sprężyste jednoznacznie określone przez dowolne dwa moduły spośród nich; zatem, mając dowolne dwa, dowolny inny moduł sprężystości można obliczyć zgodnie z tymi wzorami.
	${\displaystyle K=\,}$	${\displaystyle E=\,}$	${\ Displaystyle \ lambda = \,}$	${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle \nu=\,}$	${\displaystyle M=\,}$	Uwagi
${\displaystyle (K,\,E)}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {3K (3K-E)} {9K-E}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3KE} {9K-E}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K-E} {6K}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K (3K + E)} {9K-E}}}$
${\displaystyle (K,\,\lambda)}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {9K (K-\ Lambda)} {3K-\ Lambda}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda)}{2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {3K-\lambda}}}$	${\ Displaystyle 3K-2 \ lambda \,}$
${\displaystyle (K,\,G)}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {9 kg} {3K + G}}}$	${\ Displaystyle K-{\ tfrac {2G} {3}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\ Displaystyle K + {\ tfrac {4G} {3}}}$
${\displaystyle (K,\,\nu)}$		${\displaystyle 3K (1-2\nu)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu}{1+\nu}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K (1-2\nu)}{2(1+\nu)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K (1-\nu)}{1+\nu}}}$
${\displaystyle (K,\,M)}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {9K (MK)} {3K + M}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3 (MK)} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3K-M}{3K + M}}}$
${\ Displaystyle (E,\,\lambda )}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E + 3 \ lambda + R} {6}}}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {E-3 \ lambda + R} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2 \ lambda} {E + \ lambda + R}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E-\ Lambda + R} {2}}}$	${\ Displaystyle R = {\ sqrt {E ^ {2} + 9 \ lambda ^ {2} + 2 E \ lambda}}}$
${\displaystyle (E,\,G)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {EG} {3 (3G-E)}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {G (E-2G)} {3G-E}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {E} {2G}}-1}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {G (4G-E)} {3G-E}}}$
${\displaystyle (E,\,\nu)}$	${\displaystyle {\tfrac {e}{3(1-2\nu)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {e\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {e}{2(1+\nu)}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}}}$
${\displaystyle (E,\,M)}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3M-E + S}{6}}}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {M-E + S} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {3M + ES} {8}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {E-M + S} {4M}}}$		${\ Displaystyle S = \ pm {\ sqrt {E ^ {2} + 9 M ^ {2} -10 EM}}}$ Istnieją dwa słuszne rozwiązania. Znak plus prowadzi do .${\ Displaystyle \ nu \ geq 0}$ Znak minus prowadzi do .${\ Displaystyle \ nu \ leq 0}$
${\displaystyle (\lambda,\,G)}$	${\ Displaystyle \ lambda + {\ tfrac {2G} {3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {G (3 \ Lambda + 2G)} {\ Lambda + G}}}$			${\ Displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}}}$	${\ Displaystyle \ lambda +2G \,}$
${\displaystyle (\lambda,\,\nu)}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu)}{3\nu}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu)}{2\nu}}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu)}{\nu}}}$	Nie można używać, gdy ${\ Displaystyle \ nu = 0 \ Leftrightarrow \ Lambda = 0}$
${\ Displaystyle (\ lambda ,\, M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda)(M+2\lambda)}{M+\lambda}}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda}{M+\lambda}}}$
${\displaystyle (G,\,\nu)}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}}}$	${\displaystyle 2G(1+\nu)\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu}{1-2\nu}}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu)}{1-2\nu}}}$
${\ Displaystyle (G,\, M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {G (3M-4G)} {MG}}}$	${\displaystyle M-2G\,}$		${\ Displaystyle {\ tfrac {M-2G} {2M-2G}}}$
${\displaystyle (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu)}{3(1-\nu)}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu)(1-2\nu)}{1-\nu}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu}{1-\nu}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu)}{2(1-\nu)}}}$