Paradoks drabiny - Ladder paradox

Paradoksem drabiny (lub Barn-biegunowe paradoksem ) jest eksperyment myśl w szczególnym wzgl . Obejmuje drabinę, równoległą do ziemi, poruszającą się poziomo z prędkością relatywistyczną (zbliżoną do prędkości światła), a zatem ulegającą skróceniu Lorentza . Wyobraża się sobie, że drabina przechodzi przez otwarte przednie i tylne drzwi garażu lub stodoły, która jest krótsza niż jej długość spoczynkowa , więc gdyby drabina się nie poruszała, nie mieściłaby się w środku. Dla nieruchomego obserwatora, dzięki skurczowi, ruchoma drabina jest w stanie w całości zmieścić się wewnątrz budynku, gdy przechodzi. Z drugiej strony, z punktu widzenia obserwatora poruszającego się po drabinie, drabina nie zostanie skurczona i to właśnie budynek zostanie skurczony przez Lorentza na jeszcze mniejszą długość. Dlatego drabina nie będzie w stanie zmieścić się wewnątrz budynku, przez który przechodzi. To stwarza pozorną rozbieżność między realiami obu obserwatorów.

Ten pozorny paradoks wynika z błędnego założenia o absolutnej jednoczesności. Mówi się, że drabina pasuje do garażu, jeśli oba jej końce mogą znajdować się jednocześnie w garażu. Paradoks zostaje rozwiązany, gdy weźmie się pod uwagę, że w teorii względności równoczesność odnosi się do każdego obserwatora, co sprawia, że ​​odpowiedź na pytanie, czy drabina mieści się w garażu, również odnosi się do każdego z nich.

Paradoks

Najprostsza wersja problemu dotyczy garażu z otwartymi drzwiami przednimi i tylnymi oraz drabiną, która w spoczynku w stosunku do garażu jest zbyt długa, aby zmieścić się w środku. Teraz przesuwamy drabinę z dużą prędkością poziomą przez stacjonarny garaż. Ze względu na dużą prędkość drabina podlega relatywistycznemu efektowi skrócenia długości i staje się znacznie krótsza. W rezultacie, gdy drabina przechodzi przez garaż, przez pewien czas jest w nim całkowicie zamknięta. Moglibyśmy, gdybyśmy chcieli, jednocześnie zamknąć na chwilę oboje drzwi, aby pokazać, że drabina pasuje.

Jak dotąd jest to zgodne. Pozorny paradoks pojawia się, gdy rozważymy symetrię sytuacji. Ponieważ obserwator poruszający się po drabinie porusza się ze stałą prędkością w bezwładnościowej ramie odniesienia garażu, obserwator ten zajmuje również układ inercjalny, w którym zgodnie z zasadą względności obowiązują te same prawa fizyki. Z tej perspektywy to drabina jest teraz nieruchoma, a garaż porusza się z dużą prędkością. Dlatego właśnie garaż skurczył się na długość i teraz dochodzimy do wniosku, że jest on o wiele za mały, aby kiedykolwiek w pełni pomieścić przechodzącą przez nią drabinę: drabina nie pasuje i nie możemy zamknąć obojga drzwi po obu stronach drabiny. bez uderzania go. Ta pozorna sprzeczność jest paradoksem.

Rysunek 1: Przegląd garażu i drabiny w spoczynku
Rysunek 2: W ramie garażu drabina ulega skurczowi wzdłużnemu i dlatego będzie pasować do garażu.
Rysunek 3: W ramie drabiny garaż ulega skróceniu i jest za mały, aby pomieścić drabinę.

Rozkład

Rysunek 4: Scenariusz w ramie garażu: skręcona drabina przechodząca przez garaż
Rysunek 5: Scenariusz z ramą drabiny: garaż o określonej długości przechodzący nad drabiną. Tylko jedne drzwi są zawsze zamknięte

Rozwiązaniem pozornego paradoksu jest względność jednoczesności : to, co jeden obserwator (np. Z garażem) uważa za dwa jednoczesne zdarzenia, może w rzeczywistości nie być równoczesne z innym obserwatorem (np. Z drabiną). Kiedy mówimy, że drabina „pasuje” do garażu, mamy na myśli dokładnie to, że w pewnym określonym czasie pozycja tyłu drabiny i pozycja przodu drabiny znajdowały się wewnątrz garażu; innymi słowy, przód i tył drabiny znajdowały się jednocześnie w garażu. Ponieważ równoczesność jest względna, dwóch obserwatorów nie zgadza się co do tego, czy drabina pasuje. Dla obserwatora z garażem, tylny koniec drabiny znajdował się w garażu w tym samym czasie, co przód drabiny, więc drabina pasowała; ale dla obserwatora z drabiną te dwa wydarzenia nie były równoczesne, a drabina nie pasowała.

Wyraźnie można to zobaczyć, biorąc pod uwagę drzwi, które w ramie garażu zamykają się na krótki czas, gdy drabina jest całkowicie wewnątrz. Spójrzmy teraz na te wydarzenia w ramach drabiny. Pierwsze zdarzenie to przód drabiny zbliżającej się do drzwi wyjściowych z garażu. Drzwi zamykają się, a następnie otwierają ponownie, umożliwiając przejście frontu drabiny. W późniejszym czasie tył drabiny przechodzi przez drzwi wejściowe, które zamykają się, a następnie otwierają. Widzimy, że ponieważ jednoczesność jest względna, dwoje drzwi nie musiało być zamykane w tym samym czasie, a drabina nie musiała zmieścić się w garażu.

Sytuację można dodatkowo zilustrować poniższym diagramem Minkowskiego . Schemat znajduje się w pozostałej części garażu. Pionowy jasnoniebieski pas przedstawia garaż w czasoprzestrzeni, a jasnoczerwony drabinę w czasoprzestrzeni. Osie x i t to odpowiednio osie przestrzeni garażowej i osie czasu, a x ′ i t ′ to odpowiednio osie przestrzeni i czasu drabiny.

W ramie garażu drabina w dowolnym momencie jest reprezentowana przez poziomy zestaw punktów, równoległych do osi x, na czerwonym pasku. Jednym z przykładów jest pogrubiony odcinek niebieskiej linii, który znajduje się wewnątrz niebieskiego paska reprezentującego garaż i który przedstawia drabinę w momencie, gdy znajduje się ona w całości w garażu. Natomiast w ramach drabiny zbiory jednoczesnych zdarzeń leżą na liniach równoległych do osi x '; drabina w dowolnym momencie jest zatem reprezentowana przez przekrój takiej linii z czerwonym paskiem. Jednym z takich przykładów jest pogrubiony odcinek czerwonej linii. Widzimy, że takie odcinki linii nigdy nie leżą całkowicie wewnątrz niebieskiego pasma; to znaczy, drabina nigdy nie leży całkowicie w garażu.

Rysunek 6: Diagram Minkowskiego paradoksu drabiny. Garaż jest pokazany w kolorze jasnoniebieskim, drabina w kolorze jasnoczerwonym. Diagram znajduje się w pozostałej części garażu, gdzie x i t są odpowiednio osiami przestrzeni garażowej i osiami czasu. Rama drabiny jest przeznaczona dla osoby siedzącej z przodu drabiny, gdzie x ′ i t ′ są odpowiednio osiami przestrzeni i czasu drabiny. Niebieskie i czerwone linie AB i AC przedstawiają drabinę w momencie, gdy jej przód styka się z drzwiami wyjściowymi garażu, odpowiednio w ramach odniesienia garażu i drabiny. Wydarzenie D to tylny koniec drabiny prowadzącej do wjazdu do garażu.

Zamykanie drabiny w garażu

Rysunek 7: Drabina kurczy się podczas przyspieszania, aby zmieścić się w garażu o skurczonej długości

W bardziej skomplikowanej wersji paradoksu możemy fizycznie uwięzić drabinę, gdy znajdzie się ona w całości w garażu. Można to zrobić, na przykład, nie otwierając ponownie drzwi wyjściowych po ich zamknięciu. W ramie garażu zakładamy, że drzwi wyjściowe są nieruchome, więc kiedy drabina w nie uderzy, mówimy, że natychmiast się zatrzymują. W tym czasie drzwi wejściowe również się zamknęły, więc drabina utknęła w garażu. Ponieważ jego prędkość względna wynosi teraz zero, nie jest skurczona na długość i jest teraz dłuższa niż garaż; będzie musiał się zgiąć, zatrzasnąć lub eksplodować.

Ponownie, zagadka bierze się z rozważenia sytuacji z ramy drabiny. W powyższej analizie drabina we własnej ramie była zawsze dłuższa niż garaż. Jak więc kiedykolwiek zamknęliśmy drzwi i uwięziliśmy je w środku?

Warto w tym miejscu zwrócić uwagę na ogólną cechę teorii względności: na podstawie ramy garażu wywnioskowaliśmy, że rzeczywiście uwięzimy drabinę w garażu. Dlatego musi to być prawdą w każdej ramie - nie może być tak, że drabina zatrzaskuje się w jednej ramie, ale nie w innej. Z ramy drabiny wiemy więc, że musi istnieć jakieś wyjaśnienie, w jaki sposób drabina została uwięziona; musimy po prostu znaleźć wyjaśnienie.

Wyjaśnienie jest takie, że chociaż wszystkie części drabiny jednocześnie zwalniają do zera w ramie garażu, ponieważ symultaniczność jest względna, to odpowiednie spowolnienia w ramie drabiny nie są jednoczesne. Zamiast tego każda część drabiny zwalnia sekwencyjnie, od przodu do tyłu, aż w końcu tył drabiny zwalnia, po czym znajduje się już w garażu.

Ponieważ zarówno skracanie długości, jak i dylatacja czasu są kontrolowane przez transformacje Lorentza , paradoks drabiny może być postrzegany jako fizyczny korelat paradoksu bliźniąt , w którym jeden z bliźniaków opuszcza ziemię, porusza się z dużą prędkością przez pewien czas i wraca na ziemię trochę młodszą niż przyziemny bliźniak. Podobnie jak w przypadku drabiny uwięzionej w stodole, jeśli żaden układ odniesienia nie jest uprzywilejowany - każdy porusza się tylko względem drugiego - jak to możliwe, że to podróżujący bliźniak, a nie nieruchomy, jest młodszy (tak jak jest raczej drabina niż krótsza stodoła)? W obu przypadkach to przyspieszenie-opóźnienie różnicuje zjawiska: to bliźniak, a nie ziemia (lub drabina, a nie stodoła) podlega sile spowolnienia w powrocie do czasowego (lub fizycznego, w przypadku drabina-stodoła) rama bezwładnościowa.

Rysunek 8: Schemat Minkowskiego przypadku, w którym drabina jest zatrzymana na całej swojej długości, jednocześnie w ramie garażu. Kiedy to nastąpi, rama garażu widzi drabinę jako AB, ale rama drabiny widzi drabinę jako AC. Kiedy tył drabiny wchodzi do garażu w punkcie D, nie odczuł jeszcze skutków przyspieszenia jej przodu. W tym momencie, według osoby znajdującej się w spoczynku w odniesieniu do tyłu drabiny, przód drabiny będzie w punkcie E i będzie widzieć drabinę jako DE. Widać, że ta długość w ramie drabiny nie jest taka sama jak CA, czyli pozostała długość drabiny przed zwolnieniem.

Paradoks drabiny i przenoszenie siły

Rysunek 1: Schemat Minkowskiego przypadku, w którym drabina jest zatrzymywana przez uderzenie w tylną ścianę garażu. Uderzenie jest zdarzeniem A. Podczas uderzenia rama garażu widzi drabinę jako AB, ale rama drabiny widzi drabinę jako AC. Drabina nie wychodzi z garażu, więc jej przód idzie teraz prosto do góry, przez punkt E. Tył drabiny nie zmieni trajektorii w czasoprzestrzeni, dopóki nie wyczuje skutków uderzenia. Efekt uderzenia może rozprzestrzenić się na zewnątrz z punktu A nie szybciej niż prędkość światła, więc tył drabiny nigdy nie odczuje skutków uderzenia aż do punktu F lub później, w którym to momencie drabina znajduje się dobrze w garażu w obu ramki. Zwróć uwagę, że kiedy diagram jest narysowany w ramie drabiny, prędkość światła jest taka sama, ale drabina jest dłuższa, więc dotarcie siły do ​​tylnego końca zajmuje więcej czasu; daje to wystarczająco dużo czasu, aby tył drabiny mógł wejść do garażu.

Co się stanie, jeśli tylne drzwi (drzwi, z których wychodzi drabina) są zamknięte na stałe i się nie otwierają? Załóżmy, że drzwi są tak solidne, że drabina nie przebije ich, gdy się zderzą, więc muszą się zatrzymać. Następnie, podobnie jak w scenariuszu opisanym powyżej, w układzie odniesienia garażu następuje moment, w którym drabina jest całkowicie w garażu (czyli tył drabiny znajduje się w drzwiach wejściowych), zanim zderzy się z tylne drzwi i zatrzymuje się. Jednak z ramy odniesienia drabiny, drabina jest zbyt duża, aby zmieścić się w garażu, więc zanim zderzy się z tylnymi drzwiami i się zatrzyma, tył drabiny nadal nie dotarł do drzwi wejściowych. Wydaje się, że to paradoks. Pytanie brzmi, czy tył drabiny przecina drzwi frontowe, czy nie?

Trudność wynika głównie z założenia, że ​​drabina jest sztywna (tj. Zachowuje ten sam kształt). Drabiny wydają się sztywne w życiu codziennym. Jednak bycie całkowicie sztywnym wymaga, aby mógł przenosić siłę z nieskończoną szybkością (tj. Kiedy popchniesz jeden koniec, drugi koniec musi zareagować natychmiast, w przeciwnym razie drabina się odkształci). Jest to sprzeczne ze szczególną teorią względności, która stwierdza, że ​​informacja może podróżować nie szybciej niż prędkość światła (która jest zbyt szybka, abyśmy mogli ją zauważyć w prawdziwym życiu, ale ma znaczenie w scenariuszu drabinkowym). Zatem przedmioty nie mogą być idealnie sztywne w warunkach szczególnej teorii względności.

W tym przypadku, zanim przód drabiny zderzy się z tylnymi drzwiami, tył drabiny jeszcze o tym nie wie, więc porusza się do przodu (i drabina „ściska się”). Zarówno w ramie garażu, jak i w bezwładnościowej ramie drabiny, tylna część porusza się w momencie zderzenia, co najmniej do momentu, w którym tył drabiny wejdzie w stożek świetlny zderzenia (tj. punkt, w którym siła poruszająca się do tyłu z prędkością światła z miejsca zderzenia osiągnie go). W tym momencie drabina jest w rzeczywistości krótsza niż pierwotnie zakontraktowana długość, więc tylny koniec znajduje się dobrze w garażu. Obliczenia w obu układach odniesienia pokażą, że tak jest.

Co dzieje się po tym, jak siła dotrze do tylnej części drabiny („zielona” strefa na schemacie) nie jest określona. W zależności od fizyki drabina może się złamać; lub, gdyby była wystarczająco elastyczna, mogłaby zginać się i ponownie rozszerzać do swojej pierwotnej długości. Przy dostatecznie dużych prędkościach każdy realistyczny materiał gwałtownie eksplodowałby do postaci plazmy.

Człowiek wpadający w zmienność rusztu

Mężczyzna (reprezentowany przez segmentowy pręt) wpadający na kratę

Ta wczesna wersja paradoksu została pierwotnie zaproponowana i rozwiązana przez Wolfganga Rindlera i dotyczyła szybko chodzącego mężczyzny, reprezentowanego przez pręt wpadający w kratę. Zakłada się, że pręt znajduje się całkowicie nad kratką w układzie odniesienia rusztu, zanim przyspieszenie w dół zacznie się jednocześnie i równomiernie przyłożone do każdego punktu pręta.

Z perspektywy rusztu pręt ulega skurczowi wzdłużnemu i wpasowuje się w ruszt. Jednak z perspektywy pręta jest to kratka, która ulega skurczowi wzdłużnemu, przez co wydaje się, że pręt jest wtedy za długi, aby mógł spaść.

Przyspieszenie pręta w dół, które występuje jednocześnie w układzie odniesienia kraty, nie jest równoczesne w układzie odniesienia pręta. W układzie odniesienia pręta, przód pręta jest najpierw przyspieszany w dół (pokazany w komórce 3 rysunku), a wraz z upływem czasu coraz większa część pręta jest poddawana przyspieszeniu w dół, aż w końcu tył pręta pręt jest przyspieszany w dół. Skutkuje to wygięciem pręta w układzie odniesienia pręta. Ponieważ to zginanie występuje w ramie podpórki pręta, jest to prawdziwe fizyczne odkształcenie pręta, które spowoduje wystąpienie naprężeń w pręcie.

Aby to niesztywne zachowanie pręta stało się widoczne, zarówno sam pręt, jak i ruszt muszą mieć taką skalę, aby można było zmierzyć czas przejścia.

Paradoks pręta i pierścienia

Diagram po lewej stronie przedstawia pręt i pierścień w pozostałej części pierścienia w chwili, gdy ich środki się pokrywają. Pręt jest skurczony przez Lorentza i porusza się w górę iw prawo, podczas gdy pierścień jest nieruchomy i nieskręcony. Diagram po prawej przedstawia sytuację w tej samej chwili, ale w pozostałej części paska. Pierścień jest teraz skurczony Lorentza i obrócony w stosunku do pręta, a pręt jest nieskurczony. Ponownie, pierścień przechodzi nad prętem, nie dotykając go.

Problemem bardzo podobnym, ale prostszym niż paradoks pręta i kraty, obejmującym tylko ramy inercyjne, jest paradoks „pręta i pierścienia” (Ferraro 2007). Paradoks pręta i kraty jest skomplikowany: wiąże się z nieinercyjnymi układami odniesienia, ponieważ w jednej chwili człowiek idzie poziomo, a za chwilę spada w dół; i obejmuje fizyczną deformację człowieka (lub segmentowego pręta), ponieważ pręt jest wygięty w jednym układzie odniesienia i prosty w innym. Te aspekty problemu wprowadzają komplikacje związane ze sztywnością pręta, który ma tendencję do zaciemniania prawdziwego charakteru „paradoksu”. Paradoks „pręt i pierścień” jest wolny od tych komplikacji: pręt, który ma nieco większą długość niż średnica pierścienia, porusza się w górę iw prawo, a jego długa oś jest pozioma, podczas gdy pierścień jest nieruchomy, a płaszczyzna pierścienia jest również pozioma. Jeśli ruch sztangi jest taki, że środek pręta zbiega się w pewnym momencie ze środkiem kręgu, to pręt zostanie skurczony Lorentza z powodu przedniej składowej jego ruchu i przejdzie przez pierścień. Paradoks pojawia się, gdy problem jest rozpatrywany w pozostałej części paska. Pierścień przesuwa się teraz w dół i w lewo i będzie skurczony Lorentza wzdłuż swojej długości poziomej, podczas gdy pręt w ogóle się nie skurczy. W jaki sposób sztabka może przejść przez ring?

Rozwiązanie tego paradoksu ponownie leży w względności jednoczesności (Ferraro 2007). Długość obiektu fizycznego definiuje się jako odległość między dwoma równoczesnymi zdarzeniami zachodzącymi na każdym końcu ciała, a ponieważ jednoczesność jest względna, więc jest to długość. Ta zmienność długości to po prostu skurcz Lorentza. Podobnie, kąt fizyczny jest definiowany jako kąt utworzony przez trzy równoczesne zdarzenia, a kąt ten będzie również wielkością względną. W powyższym paradoksie, chociaż pręt i płaszczyzna pierścienia są równoległe w pozostałej ramie pierścienia, nie są równoległe w pozostałej ramie pręta. Nieściągnięty pręt przechodzi przez pierścień skurczony przez Lorentza, ponieważ płaszczyzna pierścienia jest obracana względem pręta o wielkość wystarczającą do przepuszczenia pręta.

W kategoriach matematycznych transformację Lorentza można rozdzielić na iloczyn rotacji przestrzennej i „właściwej” transformacji Lorentza, która nie obejmuje rotacji przestrzennej. Matematyczna rozdzielczość paradoksu pręta i pierścienia opiera się na fakcie, że iloczyn dwóch prawidłowych transformacji Lorentza (poziomej i pionowej) może dać transformację Lorentza, która nie jest właściwa (przekątna), ale zawiera raczej element obrotu przestrzennego.

Zobacz też

Uwagi

  1. ^ a b c Rindler, Wolfgang (1961). „Paradoks skurczu długości”. American Journal of Physics . 29 (6): 365–366. Bibcode : 1961AmJPh..29..365R . doi : 10.1119 / 1.1937789 .
  2. ^ Rindler opisuje pręt, który doświadcza równoczesnego przyspieszenia
  3. ^ Rindler opisuje pręt podlegający sekwencyjnemu przyspieszaniu.
  4. ^ Edwin F. Taylor; John Archibald Wheeler (1992). Fizyka czasoprzestrzeni: Wprowadzenie do szczególnej teorii względności . Nowy Jork: WH Freeman. s.  116 . ISBN   0-7167-2327-1 .

Bibliografia

Dalsza lektura

  • Edwin F. Taylor i John Archibald Wheeler, Spacetime Physics (wyd. 2) (Freeman, NY, 1992)
- omawia różne pozorne paradoksy SR i ich rozwiązania

Linki zewnętrzne