Faza chwilowa i częstotliwość - Instantaneous phase and frequency

Chwilowa faza i częstotliwość to ważne pojęcia w przetwarzaniu sygnałów, które występują w kontekście reprezentacji i analizy funkcji zmiennych w czasie. Fazy chwilowej (znane także jako fazy miejscowego lub po prostu fazy ) o wartościach zespolonych funkcja s ( t ) jest funkcją wartości rzeczywistej:

${\ Displaystyle \ varphi (t) = \ arg \ {s (t) \}}$

gdzie arg jest funkcją złożonego argumentu . Chwilowa częstotliwość jest czasowy wskaźnik fazy chwilowej.

I o wartościach rzeczywistych funkcji y ( t ), określa się z funkcji w analitycznej reprezentacji , s ( t )

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ varphi (t) i = \ arg \ {s_ {\ operatorname {a}} (t) \} \ \ [4 pkt] i = \ arg \ {s (t) + j {\kapelusz {s}}(t)\},\koniec{wyrównany}}}$

gdzie reprezentuje transformacji Hilberta o s ( t ). ${\ Displaystyle {\ kapelusz {s}} (t)}$

Kiedy φ ( t ) jest ograniczone do swojej wartości głównej , albo przedziału ( − π , π ] albo [0, 2 π ) , nazywa się to fazą zawiniętą . W przeciwnym razie nazywa się to fazą nieopakowaną , która jest funkcją ciągłą argumentu t , zakładając , że s _a ( t ) jest funkcją ciągłą od t . O ile nie wskazano inaczej, należy wywnioskować formę ciągłą.

Faza chwilowa w funkcji czasu. Funkcja ma dwie prawdziwe nieciągłości 180°, wskazujące na przejścia przez zero amplitudy. „Nieciągłości” 360° w czasach 37 i 91 są artefaktami zawijania faz.

Przykłady

Przykład 1

${\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta)}$

gdzie ω > 0.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} s_ {\ operatorname {a}} (t) i = Ae ^ {j (\ omega t + \ theta)}, \ \ \ varphi (t) i = \ omega t + \ theta. \end{wyrównany}}}$

W tym prostym przykładzie sinusoidalnym stała θ jest również powszechnie określana jako przesunięcie fazowe lub przesunięcie fazowe . φ ( t ) jest funkcją czasu; θ nie jest. W następnym przykładzie widzimy również, że przesunięcie fazowe sinusoidy o wartościach rzeczywistych jest niejednoznaczne, chyba że określono odniesienie (sin lub cos). φ ( t ) jest jednoznacznie zdefiniowane.

Przykład 2

${\ Displaystyle s (t) = A \ sin (\ omega t) = A \ cos \ lewo (\ omega t-{\ Frac {\ pi} {2}} \ prawej)}$

gdzie ω > 0.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} s_ {\ operatorname {a}} (t) i = Ae ^ {j \ lewo (\ omega t-{\ Frac {\ pi} {2}} \ prawej)}, \ \\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{wyrównany}}}$

W obu przykładach lokalne maksima s ( t ) odpowiadają φ ( t ) = 2 π N dla wartości całkowitych  N . Ma to zastosowanie w dziedzinie widzenia komputerowego.

Chwilowa częstotliwość

Chwilową częstotliwość kątową definiuje się jako:

${\ Displaystyle \ omega (t) = {\ Frac {d \ varphi (t)} {dt}},}$

a chwilową (zwykłą) częstotliwość definiuje się jako:

${\ Displaystyle f (t) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ omega (t) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} {\ Frac {d \ varphi (t)} { dt}}}$

gdzie φ ( t ) musi być fazą nieopakowaną ; w przeciwnym razie, jeśli φ ( t ) jest opakowane, nieciągłości w φ ( t ) będą skutkować impulsami delta Diraca w f ( t ).

Operacja odwrotna, która zawsze rozwija fazę, to:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} \ varphi (t) i = \ int _ {- \ infty} ^ {t} \ omega (\ tau) \ d \ tau = 2 \ pi \ int _ {- \ infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{ 0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\ tau .\end{wyrównany}}}$

Ta częstotliwość chwilowa, ω ( t ) można otrzymać bezpośrednio z części rzeczywistej i urojonej o s ( t ), zamiast złożonej Arg bez obawy operacji odwijania fazy.

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ varphi (t) & = \ arg \ {s_ {\ operatorname {a}} (t) \} \ \ [4 pkt] & = \ operatorname {atan2} ({\ mathcal { Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt] &=\arctan \left({\frac {{\mathcal {im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }( t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}$

2 m ₁ π i m ₂ π to całkowite wielokrotności π konieczne do dodania w celu rozwinięcia fazy. Przy wartościach czasu t , gdzie nie ma zmiany liczby całkowitej m ₂ , pochodna φ ( t ) wynosi

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ omega (t) = {\ Frac {d \ varphi (t)} {dt}} i = {\ Frac {d} {dt}} \ arctan \ lewo ({\ Frac {{\mathcal {im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\ [3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}} [s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {im}}[s_ {\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{ \mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}- {\mathcal {im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}} }{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {im}}[s_{\mathrm {a} }(t)] )^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}} [s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {m.}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {m.} }[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[ 3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right) ^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds( t)}{dt}}\right)\end{wyrównany}}}$

W przypadku funkcji czasu dyskretnego można to zapisać jako rekurencję:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ varphi [n] & = \ varphi [n-1] + \ omega [n] \ \ & = \ varphi [n-1] + \ underbrace {\ arg \ {s_ { \mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n -1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end {wyrównany}}}$

Nieciągłości można następnie usunąć, dodając 2 π, gdy Δ φ [ n ] ≤ − π , i odejmując 2 π , gdy Δ φ [ n ] >  π . Pozwala to na akumulację φ [ n ] bez ograniczeń i tworzy nieopakowaną chwilową fazę. Równoważne sformułowanie, które zastępuje operację modulo 2 π mnożeniem zespolonym to:

${\ Displaystyle \ varphi [n] = \ varphi [n-1] + \ arg \ {s_ {\ operatorname {a}} [n] \ s_ {\ operatorname {a}} ^ {*} [n-1 ]\},}$

gdzie gwiazdka oznacza koniugat złożony. Chwilowa częstotliwość w czasie dyskretnym (w radianach na próbkę) jest po prostu postępem fazy dla tej próbki

${\ Displaystyle \ omega [n] = \ arg \ {s_ {\ operatorname {a}} [n] \ s_ {\ operatorname {a}} ^ {*} [n-1] \}.}$

Złożona reprezentacja

W niektórych zastosowaniach, takich jak uśrednianie wartości fazy w kilku momentach, przydatne może być przekonwertowanie każdej wartości na liczbę zespoloną lub reprezentację wektorową:

${\ Displaystyle e ^ {i \ varphi (t)} = {\ Frac {s_ {\ operatorname {a}} (t)} {| s_ {\ operatorname {a}} (t) |}} = \ cos ( \varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}$

Ta reprezentacja jest podobna do reprezentacji fazy owiniętej, ponieważ nie rozróżnia wielokrotności 2 π w fazie, ale jest podobna do reprezentacji fazy bez opakowania, ponieważ jest ciągła. Fazę wektorową można otrzymać jako argument sumy liczb zespolonych bez obawy o zawijanie.

Zobacz też

• Sygnał analityczny
• Modulacja częstotliwości
• Opóźnienie grupowe
• Chwilowa amplituda

Bibliografia

Dalsza lektura

• Cohen, Leon (1995). Analiza czasowo-częstotliwościowa . Sala Prezydencka.
• Granlunda; Knutssona (1995). Przetwarzanie sygnału dla wizji komputerowej . Wydawnictwa Akademickie Kluwer.