Czworościan wzgórza - Hill tetrahedron

W geometrii The tetrahedra Hill to rodzina przestrzeni napełniania czworościanów . Zostały odkryte w 1896 roku przez MJM Hilla , profesora matematyki z University College London , który wykazał, że są one przystające do sześcianu nożycowego .

Budowa

Dla każdego niech będą trzy wektory jednostkowe z kątem między każdym z nich. Zdefiniuj czworościan wzgórza w następujący sposób: ${\ Displaystyle \ alfa \ w (0,2 \ pi / 3)}$${\ Displaystyle v_ {1}, v_ {2}, v_ {3} \ w \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ alfa}$ ${\displaystyle Q(\alfa )}$

${\displaystyle Q(\alfa )\,=\,\{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}\mid 0\leq c_{1} \leq c_{2}\leq c_{3}\leq 1\}.}$

Szczególnym przypadkiem jest czworościan mający ze wszystkich stron trójkąty prostokątne, dwa z bokami i dwa z bokami . Ludwig Schläfli studiował jako szczególny przypadek ortoschematu , a HSM Coxeter nazwał go charakterystycznym czworościanem sześciennego wypełnienia przestrzeni. ${\ Displaystyle Q = Q (\ pi / 2)}$${\ Displaystyle (1,1, {\ sqrt {2}})}$${\ Displaystyle (1, {\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}})}$${\displaystyle Q}$

Nieruchomości

• Kostka może być wyłożona sześcioma kopiami .${\displaystyle Q}$
• Każdy z nich można rozciąć na trzy politopy, które można ponownie złożyć w pryzmat .${\displaystyle Q(\alfa )}$

Uogólnienia

W 1951 Hugo Hadwiger znalazł następujące n- wymiarowe uogólnienie czworościanów wzgórza:

${\ Displaystyle Q (w) \, = \, \ {c_ {1} v_ {1} + \ cdots + c_ {n} v_ {n} \ mid 0 \ równoważnik c_ {1} \ równoważnik \ cdots \ równoważnik c_ {n}\równ 1\},}$

gdzie wektory spełniają wszystkie , i gdzie . Hadwiger wykazał, że wszystkie takie prostoty są nożycowe przystające do hipersześcianu . ${\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}}$${\ Displaystyle (v_ {i}, v_ {j}) = w}$${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$${\displaystyle -1/(n-1)<w<1}$

Zobacz też

• Ortoschemat Schläfli

Bibliografia

• MJM Hill, Oznaczanie miąższości niektórych gatunków czworościanów bez zastosowania metody granic, Proc. Londyn Matematyka. Soc. , 27 (1895-1896), 39-53.
• H. Hadwiger , Hillsche Hypertetraeder, Gazeta Matemática (Lizbona) , 12 (nr 50, 1951), 47-48.
• HSM Coxeter , wzory fryzów , Acta Arithmetica 18 (1971), 297-310.
• E. Hertel, Zwei Kennzeichnungen der Hillschen Tetraeder, J. Geom. 71 (2001), nr. 1-2, 68-77.
• Greg N. Frederickson, Dissections: Plane and Fancy , Cambridge University Press, 2003.
• NJA Sloane , VA Vaishampayan, Uogólnienia rozbioru czworościennego Schobi'ego , arXiv : 0710.3857 .

Zewnętrzne linki

• Trzyczęściowa sekcja czworościanu Hilla w trójkątny pryzmat
• Tetraedry wypełniające przestrzeń