Miara Hausdorffa - Hausdorff measure

W matematyce , Hausdorff środek jest uogólnieniem tradycyjnego pojęcia powierzchni i objętości do wymiarów niecałkowitą, w szczególności fraktale i ich wymiarów Hausdorffa . Jest to rodzaj zewnętrznej miary , nazwany na cześć Felixa Hausdorffa , który przypisuje liczbę w [0,∞] do każdego zbioru w lub, bardziej ogólnie, w dowolnej przestrzeni metrycznej . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Zerowymiarowa miara Hausdorffa to liczba punktów w zbiorze (jeżeli zbiór jest skończony) lub ∞ jeżeli zbiór jest nieskończony. Podobnie jednowymiarowy Hausdorff miarą prostą krzywą w jest równa długości łuku, a dwuwymiarowy Hausdorff miarą Lebesgue'a mierzalną podzbiór o jest proporcjonalne do powierzchni zestawu. Tak więc koncepcja miary Hausdorffa uogólnia miarę Lebesgue'a i jej pojęcia liczenia, długości i powierzchni. Uogólnia również objętość. W rzeczywistości istnieją d- wymiarowe miary Hausdorffa dla każdego d  ≥ 0, które niekoniecznie jest liczbą całkowitą. Miary te są fundamentalne w teorii miary geometrycznej . Pojawiają się one naturalnie w analizie harmonicznej lub teorii potencjału . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Definicja

Niech będzie przestrzenią metryczną . Dla każdego podzbioru niech oznaczają jego średnicy, to znaczy ${\displaystyle (X,\rho)}$${\ Displaystyle U \ podzbiór X}$${\displaystyle \mathrm {diam} \;U}$

${\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\},\quad \operatorname {diam} \emptyset:=0}$

Niech będzie dowolnym podzbiorem i liczbą rzeczywistą. Definiować ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ delta > 0}$

${\ Displaystyle H_ {\ delta} ^ {d} (S) = \ inf \ lewo \ {\ suma _ {i = 1} ^ {\ infty} (\ nazwa operatora {diam} U_ {i}) ^ {d} :\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i}\supseteq S,\operatorname {diam} U_{i}<\delta \right\},}$

gdzie granica jest nad wszystkimi policzalnymi okładkami przez zestawy spełniające . ${\displaystyle S}$${\ Displaystyle U_ {i} \ podzbiór X}$${\displaystyle \operatorname {diam} U_{i}<\delta}$

Zauważ, że jest to monotonne niewzrastające, ponieważ im większe , tym więcej zbiorów jest dozwolonych, przez co dolna granica nie jest większa. Tak więc istnieje, ale może być nieskończony. Pozwolić ${\ Displaystyle H_ {\ delta} ^ {d} (S)}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ lim _ {\ delta \ do 0} H_ {\ delta} ^ {d} (S)}$

${\ Displaystyle H ^ {d} (S): = \ sup _ {\ delta > 0} H_ {\ delta} ^ {d} (S) = \ lim _ {\ delta \ do 0} H_ {\ delta} ^{d}(S).}$

Widać, że jest to miara zewnętrzna (dokładniej jest to metryczna miara zewnętrzna ). Według twierdzenia Carathéodory'ego o rozszerzeniu , jego ograniczenie do pola σ zbiorów mierzalnych Carathéodory'ego jest miarą. Nazywa się - wymiarowej miary Hausdorffa o . Ze względu na właściwość zewnętrznej miary metrycznej , wszystkie podzbiory borelowskie są mierzalne. ${\ Displaystyle H ^ {d} (S)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle H ^ {d}}$

W powyższej definicji zestawy w pokryciu są dowolne.

Możemy jednak wymagać, aby zbiory pokrywające były otwarte lub zamknięte, a w przestrzeniach unormowanych nawet wypukłe, co da te same liczby, a więc tę samą miarę. W ograniczanie zestawów okładzin być kulki może zmienić środki, ale nie zmienia wymiaru mierzonych zestawów. ${\ Displaystyle H_ {\ delta} ^ {d} (S)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Własności miar Hausdorffa

Zauważ, że jeśli d jest dodatnią liczbą całkowitą, d- wymiarowa miara Hausdorffa jest przeskalowaniem zwykłej d- wymiarowej miary Lebesgue'a, która jest znormalizowana tak, że miara Lebesgue'a sześcianu jednostkowego [0,1] ^d wynosi 1. W rzeczywistości dla dowolny zestaw Borel E , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {d}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {d} (E) = 2 ^ {-d} \ alfa _ {d} H ^ {d} (E)}$

gdzie α _d jest objętością jednostki d -ball ; można go wyrazić za pomocą funkcji gamma Eulera

${\ Displaystyle \ alfa _ {d} = {\ Frac {\ Gamma ({\ Frac {1} {2}}) ^ {d}} {\ Gamma ({\ Frac {d} {2}} + 1) }}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.}$

Uwaga . Niektórzy autorzy przyjmują definicję miary Hausdorffa nieco odmienną od wybranej tutaj, z tą różnicą, że jest ona znormalizowana w taki sposób, że miara d- wymiarowa Hausdorffa w przypadku przestrzeni euklidesowej pokrywa się dokładnie z miarą Lebesgue'a.

Związek z wymiarem Hausdorffa

Okazuje się, że może mieć skończoną, niezerową wartość dla co najwyżej jednego . Oznacza to, że miara Hausdorffa wynosi zero dla dowolnej wartości powyżej pewnego wymiaru i nieskończoności poniżej pewnego wymiaru, analogicznie do idei, że pole powierzchni linii wynosi zero, a długość kształtu 2D jest w pewnym sensie nieskończonością. Prowadzi to do jednej z kilku możliwych równoważnych definicji wymiaru Hausdorffa: ${\ Displaystyle H ^ {d} (S)}$${\displaystyle d}$

${\ Displaystyle \ dim _ {\ operatorname {Haus}} (S) = \ inf \ {d \ geq 0: H ^ {d} (S) = 0 \} = \ sup \ lewo (\ {d \ geq 0 :H^{d}(S)=\infty \}\cup \{0\}\right),}$

gdzie zabieramy

${\displaystyle \inf \emptyset =\infty.}$

Zauważ, że nie jest gwarantowane, że miara Hausdorffa musi być skończona i niezerowa dla pewnego d , i rzeczywiście miara w wymiarze Hausdorffa może nadal wynosić zero; w tym przypadku wymiar Hausdorffa nadal działa jako punkt przegięcia między miarami zera i nieskończoności.

Uogólnienia

W teorii miary geometrycznej i dziedzinach pokrewnych zawartość Minkowskiego jest często używana do pomiaru rozmiaru podzbioru metrycznej przestrzeni miar. Dla odpowiednich domen w przestrzeni euklidesowej te dwa pojęcia rozmiaru pokrywają się, aż do ogólnych normalizacji w zależności od konwencji. Dokładniej, mówi się , że podzbiór jest -prostowalny, jeśli jest obrazem zbioru ograniczonego w ramach funkcji Lipschitza . Jeśli , to -wymiarowa zawartość Minkowskiego w domkniętym -prostowalnym podzbiorze jest równa razy -wymiarowej miary Hausdorffa ( Federer 1969 , Twierdzenie 3.2.29). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$${\displaystyle m<n}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle 2 ^ {-m} \ alfa _ {m}}$${\ Displaystyle m}$

W geometrii fraktalnej niektóre fraktale z wymiarem Hausdorffa mają zerową lub nieskończenie wymiarową miarę Hausdorffa. Na przykład, prawie na pewno obraz płaskiego ruchu Browna ma wymiar Hausdorffa 2, a jego dwuwymiarowa miara Hausdorffa wynosi zero. Aby „zmierzyć” „rozmiar” takich zbiorów, matematycy rozważyli następującą odmianę pojęcia miary Hausdorffa: ${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

W definicji miary jest zastąpione przez gdzie jest jakaś monotonna funkcja zwiększająca zbiór spełniająca${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {diam} U_ {i}) ^ {d}}$${\ Displaystyle \ phi (U_ {i})}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi (\emptyset)=0.}$

Jest to miara Hausdorffa z funkcją miernika lub miara -Hausdorffa. Zbiór -wymiarowy może spełniać, ale z odpowiednim Przykłady funkcji miernika obejmują ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi,}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\ Displaystyle H ^ {d} (S) = 0,}$${\ Displaystyle H ^ {\ phi} (S) \ w (0, \ infty)}$${\displaystyle \phi.}$

${\ Displaystyle \ phi (t) = t ^ {2} \ log \ log {\ Frac {1} {t}} \ quad {\ tekst {lub}} \ quad \ phi (t) = t ^ {2} \log {\frac {1}{t}}\log \log \log {\frac {1}{t}}.}$

Pierwsza daje prawie na pewno dodatnią i skończoną miarę ścieżce Browna w momencie , a druga w czasie . ${\displaystyle \sigma}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=2}$

Zobacz też

• Wymiar Hausdorffa
• Teoria miary geometrycznej
• Teoria miary
• Miara zewnętrzna

Bibliografia

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992), Teoria miary i dokładne właściwości funkcji , CRC Press.
• Federer, Herbert (1969), Teoria miary geometrycznej , Springer-Verlag, ISBN 3-540-60656-4.
• Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass" (PDF) , Mathematische Annalen , 79 (1-2): 157-179, doi : 10.1007/BF01457179.
• Morgan, Frank (1988), Teoria miary geometrycznej , Prasa akademicka.
• Rogers, CA (1998), środki Hausdorffa , Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-62491-6
• Szpilrajn, E (1937), "La Dimension et la mesure" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 28 : 81-89, doi : 10.4064/fm-28-1-81-89.

Zewnętrzne linki

• Wymiar Hausdorffa w Encyklopedii Matematyki
• Miara Hausdorffa w Encyklopedii Matematyki