Hasse normą twierdzenie - Hasse norm theorem

W teorii liczb , normą twierdzenie Hasse stwierdza, że jeśli L / K jest cykliczny rozszerzenie z pól numerycznych , a następnie, jeśli niezerowe elementem K jest lokalnym normę wszędzie, to jest globalną normą. Tutaj jako globalny normą oznacza być elementem K K tak, że istnieje element L L z ; Innymi słowy K względny normą jakiegoś elementu polu rozszerzenia L., lokalny normą oznacza, że przez pewien główny s K i niektóre głównego P L leżącej na K, a k jest normą z L _P ; tutaj „prime” p może być wycena Archimedesa, a twierdzenie jest oświadczenie o uzupełnień we wszystkich wycen, Archimedesa i non-Archimedesa. ${\ Displaystyle \ mathbf {N} _ {L / K} (l) = k}$

Twierdzenie to nie jest już tak w ogóle, czy rozszerzenie jest abelowa ale nie cykliczna. Hasse dał kontrprzykład że 3 jest lokalnym normę wszędzie na rozbudowę , ale nie jest globalną normą. Serre i Tate wykazały, że inny kontrprzykład jest przez pola , gdzie każdy kwadrat jest racjonalne lokalna norma wszędzie, ale nie jest to globalna norma. ${\ Displaystyle {\ mathbf {P}} ({\ sqrt {} -3}, {\ sqrt {13}}) / {\ mathbf {P}}}$${\ Displaystyle {\ mathbf {P}} ({\ sqrt {13}}, {\ sqrt {17}}) / {\ mathbf {P}}}$${\ Displaystyle 5 ^ {2}}$

Jest przykładem twierdzenia podania zasadę lokalnej globalnej .

Pełne twierdzenie wynika Hasse  ( 1931 ). Szczególnym przypadkiem, gdy stopień brak rozszerzenia jest 2 udowodnił Hilberta (1897) , a szczególny przypadek, gdy n jest liczbą udowodnił Furtwanglerem (1902) .

Norma twierdzenie Hasse można wywnioskować z twierdzenia, że element kohomologii Galois grupy H ² ( l / K ) jest trywialny, gdy jest trywialne lokalnie wszędzie, co z kolei jest równoważny z głębokim twierdzenia, że pierwszy kohomologie z idele grupa klasa znika. To jest prawdziwe dla wszystkich skończonych rozszerzeń Galois pól numerycznych, a nie tylko te cykliczne. Rozszerzeń cykliczne grupy H ² ( l / K ) jest izomorficzny z grupy kohomologii Tate H ⁰ ( l / K ), która opisuje elementy, które są normy, tak rozszerzeń cyklicznych staje twierdzenie hasse, że element jest normą, jeśli jest miejscowy normą wszędzie.

Zobacz też

• Grunwald-Wang twierdzenie , o tym, kiedy to element, który ma władzę wszędzie lokalnie jest potęgą.

Referencje

• Hasse, H. (1931), "Beweis eines Satzes und Wiederlegung einer Vermutung Das über Allgemeine Normenrestsymbol" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Getynga, Mathematisch-Physikalische Klasse : 64-69
• H. Hasse, "Historia teorii pola klasy", w JWS Cassels i A. Frohlich (EDD), algebraicznej teorii liczb , Academic Press , 1973. Chap.XI.
• Janusz G., pola numeryczne algebraiczne , Academic Press, 1973. Twierdzenie V.4.5, s. 156