Twierdzenie o średniej geometrycznej - Geometric mean theorem

powierzchnia szarego kwadratu = powierzchnia szarego prostokąta:

{\ Displaystyle h ^ {2} = pq \ Leftrightarrow h = {\ sqrt {pq}}}

Prawo twierdzenie wysokość trójkąta lub średnią geometryczną twierdzenie wynika z geometrii elementarnej, która opisuje relację między wysokością na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym oraz dwóch odcinków tworzonych na przeciwprostokątnej. Stwierdza, że średnia geometryczna dwóch odcinków jest równa wysokości.

Twierdzenie i zastosowania

Konstrukcja √ p przez ustawienie q na 1

Jeśli h oznacza wysokość w trójkącie prostokątnym, a p i q segmenty na przeciwprostokątnej, to twierdzenie można sformułować jako:

h={\sqrt {pq}}

lub pod względem obszarów:

{\ Displaystyle h ^ {2} = pq.}

Nierówność AM-GM

Druga wersja daje metodę do kwadratu prostokąta z linijką i kompasem , czyli skonstruowania kwadratu o równej powierzchni z danym prostokątem. Dla takiego prostokąta o bokach p i q oznaczamy jego górny lewy wierzchołek przez D . Teraz wydłużamy odcinek q w lewo o p (używając łuku AE wyśrodkowanego na D ) i narysujemy półkole z punktami końcowymi A i B z nowym odcinkiem p+q jako jego średnicą. Następnie wznosimy linię prostopadłą do średnicy w D , która przecina półkole w C . Ze względu na twierdzenie Thalesa C i średnicę tworzą trójkąt prostokątny z odcinkiem DC jako wysokością, stąd DC jest bokiem kwadratu o powierzchni prostokąta. Metoda pozwala również na konstruowanie pierwiastków kwadratowych (patrz liczba do konstruowania ), ponieważ zaczynając od prostokąta o szerokości 1, konstruowany kwadrat będzie miał długość boku równą pierwiastkowi kwadratowemu z długości prostokąta.

Inne zastosowanie programu dostarcza geometrycznego dowodu nierówności AM-GM w przypadku dwóch liczb. Dla liczb p i q konstruujemy półkole o średnicy p+q . Teraz wysokość reprezentuje średnią geometryczną, a promień średnią arytmetyczną tych dwóch liczb. Ponieważ wysokość jest zawsze mniejsza lub równa promieniowi, daje to nierówność.

twierdzenie o średniej geometrycznej jako szczególny przypadek twierdzenia akordów :

|CD||DE|=|AD||DB|\Leftrightarrow h^{2}=pq

Twierdzenie to można również traktować jako szczególny przypadek twierdzenia o przecinających się cięciwach dla okręgu, ponieważ odwrotność twierdzenia Talesa zapewnia, że przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest średnicą jego okręgu opisanego .

Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe. Każdy trójkąt, w którym wysokość jest równa średniej geometrycznej dwóch utworzonych przez niego odcinków linii, jest trójkątem prostokątnym.

Historia

Twierdzenie to jest zwykle przypisywane Euklidesowi (ok. 360-280 pne), który stwierdził je jako następstwo twierdzenia 8 w księdze VI Elementów . W propozycji 14 księgi II Euklides podaje metodę kwadratury prostokąta, która zasadniczo odpowiada metodzie podanej tutaj. Euclid dostarcza jednak innego, nieco bardziej skomplikowanego dowodu na poprawność konstrukcji, zamiast polegać na twierdzeniu o średniej geometrycznej.

Dowód

Na podstawie podobieństwa

{\ Displaystyle \ trójkąt ABC \ sim \ trójkąt ADC \ sim \ trójkąt DBC}

Dowód twierdzenia :

Trójkąty i są podobne , ponieważ: ${\ Displaystyle \ trójkąt ADC}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt BCD}$

rozważmy trójkąty , tutaj mamy, a zatem postulat AA ${\ Displaystyle \ trójkąt ABC \ trójkąt ACD}$ ${\ Displaystyle \ kąt ACB = \ kąt ADC = 90 ^ {\ okrąg}}$ ${\ Displaystyle \ kąt BAC = \ kąt CAD}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt ABC \ sim \ trójkąt ACD}$
dalej rozważmy trójkąty , tutaj mamy, a więc postulat AA ${\ Displaystyle \ trójkąt ABC \ trójkąt BCD}$ ${\ Displaystyle \ kąt ACB = \ kąt BDC = 90 ^ {\ okrąg}}$ ${\ Displaystyle \ kąt ABC = \ kąt CBD}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt ABC \ sim \ trójkąt BCD}$

Dlatego oba trójkąty i są podobne do siebie i do siebie, czyli . ${\ Displaystyle \ trójkąt ACD}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt BCD}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt ABC}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt ACD \ sim \ trójkąt ABC \ sim \ trójkąt BCD}$

Z powodu podobieństwa otrzymujemy następującą równość stosunków, a jej algebraiczne przegrupowanie daje twierdzenie:.

{\ Displaystyle {\ Frac {h} {p}} = {\ Frac {q} {h}} \ \ Leftrightarrow \, h ^ {2} = pq \ \ Leftrightarrow \, h = {\ sqrt {pq }}\qquad (h,p,q>0)}

Dowód konwersacji:

Na odwrót mamy trójkąt, w którym trzyma się i musimy pokazać, że kąt w C jest kątem prostym. Teraz z powodu mamy też . Razem z trójkątami i mają kąt równej wielkości i mają odpowiednie pary nóg o tym samym stosunku. Oznacza to, że trójkąty są podobne, co daje: ${\ Displaystyle \ trójkąt ABC}$ ${\ Displaystyle h ^ {2} = pq}$ ${\ Displaystyle h ^ {2} = pq}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {h} {p}} = {\ tfrac {q} {h}}}$ ${\ Displaystyle \ kąt ADC = \ kąt CDB}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt ADC}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt BDC}$

{\ Displaystyle \ kąt ACB = \ kąt ACD + \ kąt DCB = \ kąt ACD + (90 ^ {\ okrąg} - \ kąt DBC) = \ kąt ACD + (90 ^ {\ okrąg} - \ kąt ACD) = 90 ^ {\ ok.}}

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa

Dowód z twierdzeniem Pitagorasa

W układzie twierdzenia o średniej geometrycznej znajdują się trzy trójkąty prostokątne , oraz , w których z twierdzenia Pitagorasa wynika: ${\ Displaystyle \ trójkąt ABC}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt ADC}$ ${\ Displaystyle \ trójkąt DBC}$

{\ Displaystyle h ^ {2} = a ^ {2}-q ^ {2}}

, i

{\ Displaystyle h ^ {2} = b ^ {2}-p ^ {2}}

{\ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}

Dodanie dwóch pierwszych dwóch równań, a następnie użycie trzeciego prowadzi do:

{\ Displaystyle 2h ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - p ^ {2} - ^ {2} = c ^ {2} - p ^ {2} - q ^ {2} =(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}=2pq}

.

Dzielenie przez dwa daje w końcu wzór na twierdzenie o średniej geometrycznej.

Na podstawie sekcji i rearanżacji

Przecięcie trójkąta prostokątnego wzdłuż jego wysokości h daje dwa podobne trójkąty, które można powiększyć i ułożyć na dwa alternatywne sposoby w większy trójkąt prostokątny o prostopadłych bokach o długościach p+h i q+h . Jeden taki układ wymaga kwadratu o powierzchni h ² , a drugi prostokąta o powierzchni pq . Ponieważ oba układy dają ten sam trójkąt, pola kwadratu i prostokąta muszą być identyczne.

Na podstawie mapowań ścinania

Kwadrat wysokości można przekształcić w prostokąt o równej powierzchni o bokach p i q za pomocą trzech mapowań ścinania (mapy ścinania zachowują powierzchnię):

Odwzorowania ścinania z powiązanymi liniami stałymi (kropkowanymi), zaczynając od pierwotnego kwadratu jako obrazu wstępnego, każdy równoległobok wyświetla obraz odwzorowania ścinania figury po lewej stronie

Bibliografia

^ ^B ^c ^d ^e * Hartmut Wellstein Peter Kirsche: Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN 9783834808561 , s. 76-77 (niemiecki, kopia online , s. 76, w Google Books )
^ Claud Alsina, Roger B. Nelsen: Ikony matematyki: eksploracja dwudziestu kluczowych obrazów . MAA 2011, ISBN 9780883853528 , s. 31-32 ( kopia online , s. 31, w Google Books )
^ Euklides : Elementy , księga II – rekwizyt. 14, księga VI – pro6767800hshockedmake ,me uoppppp. 8, ( kopia online )
^ Ilka Agricola , Thomas Friedrich: Elementarna geometria . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , s. 25 ( kopia online , s. 25, w Google Books )

Zewnętrzne linki

Średnia geometryczna w punkcie przecięcia węzła

[HW-1] B ^c ^d ^e * Hartmut Wellstein Peter Kirsche: Elementargeometrie . Springer, 2009, ISBN 9783834808561 , s. 76-77 (niemiecki, kopia online , s. 76, w Google Books )

[2] Claud Alsina, Roger B. Nelsen: Ikony matematyki: eksploracja dwudziestu kluczowych obrazów . MAA 2011, ISBN 9780883853528 , s. 31-32 ( kopia online , s. 31, w Google Books )

[3] Euklides : Elementy , księga II – rekwizyt. 14, księga VI – pro6767800hshockedmake ,me uoppppp. 8, ( kopia online )

[4] Ilka Agricola , Thomas Friedrich: Elementarna geometria . AMS 2008, ISBN 9780821843475 , s. 25 ( kopia online , s. 25, w Google Books )

Languages

In other projects