Gaussian nierówność izoperymetryczna - Gaussian isoperimetric inequality

W matematyce, Gaussa nierówność izoperymetryczna , udowodnione przez Boris Tsirelson i Vladimir Sudakov i niezależnie przez Christer Borell , stwierdza, że spośród wszystkich zestawów danego Gaussa miary w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej , pół-przestrzenie mają minimalną Gaussa środka ograniczającego .

preparat matematyczny

Niech być mierzalna podzbiór wyposażony w standardowy środek Gaussa o gęstości . Oznaczmy przez ${\ Displaystyle \ scriptstyle A}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ y ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ exp (- \ | x \ | ^ {2} / 2)} / (2 \ pi) ^ {n / 2}}$

${\ Displaystyle a _ {\ varepsilon} = \ left \ {x \ w \ mathbf {R} ^ {A} \, | \ {\ tekst {dist}} (X,) \ równoważnik \ varepsilon \ prawo \} }$

ε-rozbudowa A . Następnie Gaussa nierówność izoperymetryczna stwierdza, że

${\ Displaystyle \ liminf _ {\ varepsilon \ do + 0} \ varepsilon ^ {- 1} \ lewej \ {\ y ^ {A} (A _ {\ varepsilon}) - \ y ^ {A} (A) \ prawo \} \ geq \ varphi (\ Phi ^ {- 1} (\ y ^ {A} (A)))}$

gdzie

${\ Displaystyle \ varphi (t) = {\ Frac {\ exp (-t ^ {2} / 2)} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ quad {\ rm {i}} \ quad \ Phi ( T) = \ _ int {- \ infty} ^ {T} \ varphi (e) \ DS}.$

Uwagi dotyczące dowodów

Oryginalne dowody by Sudakov, Tsirelson i Borell oparto na Paul Lévy „s sferycznej nierówność izoperymetryczna . Innym podejściem jest spowodowane Bobkov, który wprowadzono funkcjonalną nierówności Uogólniając Gaussa nierówność izoperymetryczna a wywodzącą się z pewnej dwupunktowym nierówności. Bakry i Ledoux dał kolejny dowód nierówności funkcjonalnej Bobkov w oparciu o półgrupa technik, które pracuje w znacznie bardziej abstrakcyjne ustawienia. Później Barthe i Maurey dał kolejny dowód używając ruchy Browna .

Gaussa nierówność izoperymetryczna wynika również z nierównością Ehrhard za (por Latała, Borell).

Zobacz też

• Stężenie środka
• Borell-TIS nierówność

Referencje

• VNSudakov, BSCirelson [Tsirelson] Właściwości ekstremalnym pół-przestrzeni dla sferycznie niezmienniczych środków , (rosyjski) problemy w teorii rozkładu prawdopodobieństwa, ZAP II. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mata. Inst. Stiekłow. ( Lomi ) 41 (1974), 14-24, 165
• Ch. Borell, Brunn-Nierówność Minkowskiego w przestrzeni Gaussa , Invent. Math. 30 (1975), Nr. 2, 207-216.
• SGBobkov, nierówność izoperymetryczna na kostce dyskretnej i elementarny dowód na nierówność izoperymetryczna w przestrzeni Gaussa , Ann. Prawdopodobień. 25 (1997), Nr. 1, 206-214
• D.Bakry, M.Ledoux, nierówność izoperymetryczna Levy-Gromow dla nieskończonej-wymiarowej generatora dyfuzji , Invent. Math. 123 (1996), Nr. 2, 259-281
• F. Barthe, B. Maurey, Kilka uwag o isoperimetry z Gaussa typu , Ann. Inst. H. Poincaré prawdopodobień. Statystyk. 36 (2000), Nr. 4, 419-434.
• R. Latała, Uwaga na nierówności Ehrhard , Studia Math. 118 (1996), Nr. 2, 169-174.
• Ch. Borell, Ehrhard nierówność CR matematycznych. Acad. Sci. Paris 337 (2003), nr. 10, 663-666.