Równanie pola - Field equation

W teorii fizyki i stosowanych matematyki , ą równanie pole jest częściowo równanie różniczkowe , które określa dynamikę zakresie fizycznego , a konkretnie w czasie rozwoju i przestrzenny rozkład pola. Rozwiązaniem równania są funkcje matematyczne, które bezpośrednio odnoszą się do pola, jako funkcji czasu i przestrzeni. Ponieważ równanie pola jest cząstkowym równaniem różniczkowym, istnieją rodziny rozwiązań, które reprezentują różnorodne możliwości fizyczne. Zwykle nie istnieje tylko jedno równanie, ale zestaw sprzężonych równań, które należy rozwiązać jednocześnie. Równania pola nie są zwykłymi równaniami różniczkowymi, ponieważ pole zależy od przestrzeni i czasu, co wymaga co najmniej dwóch zmiennych.

Podczas gdy „ równanie falowe ”, „ równanie dyfuzji ” i „ równanie ciągłości ” mają standardowe formy (i różne przypadki specjalne lub uogólnienia), nie ma jednego, specjalnego równania nazywanego „równaniem pola”.

Temat zasadniczo dzieli się na równania klasycznej teorii pola i kwantowej teorii pola . Klasyczne równania pola opisują wiele właściwości fizycznych, takich jak temperatura substancji, prędkość płynu, naprężenia w materiale sprężystym, pola elektryczne i magnetyczne prądu itp. Opisują również podstawowe siły natury, takie jak elektromagnetyzm i grawitacja. W kwantowej teorii pola cząstki lub układy „cząstek”, takich jak elektrony i fotony, są powiązane z polami, pozwalając na nieskończone stopnie swobody (w przeciwieństwie do skończonych stopni swobody w mechanice cząstek) i zmienne liczby cząstek, które można stworzyć lub unicestwić .

Ogólne

Pochodzenie

Zwykle równania pola są postulowane (jak równania pola Einsteina i równanie Schrödingera , które leży u podstaw wszystkich równań pola kwantowego) lub otrzymywane z wyników eksperymentów (jak równania Maxwella ). Zakres ich trafności to zakres, w jakim prawidłowo przewidują i zgadzają się z wynikami eksperymentów.

Z teoretycznego punktu widzenia równania pola można formułować w ramach Lagrange'a teorii pola , hamiltonowskiej teorii pola i teoretycznych sformułowań zasady działania stacjonarnego . Mając odpowiednią gęstość Lagrangianu lub Hamiltona, funkcję pól w danym układzie, a także ich pochodne, zasada działania stacjonarnego otrzyma równanie pola.

Symetria

Zarówno w teorii klasycznej, jak i kwantowej, równania pola będą spełniać symetrię podstawowej teorii fizycznej. W większości przypadków wystarczy symetria Galileusza , aby prędkości (propagacji pól) były znacznie mniejsze niż światło. Kiedy cząstki i pola rozchodzą się z prędkościami bliskimi światła, symetria Lorentza jest jednym z najczęstszych ustawień, ponieważ równanie i jego rozwiązania są wtedy zgodne ze szczególną teorią względności.

Inna symetria wynika ze swobody cechowania , która jest nieodłącznym elementem równań pola. Pola, które odpowiadają interakcjom, mogą być polami mierników , co oznacza, że ​​można je wyprowadzić z potencjału, a pewne wartości potencjałów odpowiadają tej samej wartości pola.

Klasyfikacja

Równania polowe można klasyfikować na wiele sposobów: klasyczna czy kwantowa, nierelatywistycznej lub relatywistyczna, zgodnie z korkociągu lub masy pola, a liczba elementów pole ma i jak się zmieniają pod transformacji współrzędnych (np skalarne pola , pola wektorowe , tensor pola , pola Spinor , pola twistor etc.). Mogą również dziedziczyć klasyfikację równań różniczkowych, jako liniowe lub nieliniowe , rzędu najwyższej pochodnej, a nawet jako ułamkowe równania różniczkowe . Pola miernika można sklasyfikować tak, jak w teorii grup , jako abelowe lub nieabelowe.

Fale

Równania pola leżą u podstaw równań falowych, ponieważ okresowo zmieniające się pola generują fale. Równania falowe można traktować jako równania pola, w tym sensie, że często można je wyprowadzić z równań pola. Alternatywnie, mając odpowiednie gęstości Lagrangianu lub Hamiltona i stosując zasadę działania stacjonarnego, można również otrzymać równania falowe.

Na przykład, równania Maxwella można wykorzystać do wyprowadzenia niejednorodnych równań fal elektromagnetycznych , a z równań pola Einsteina można wyprowadzić równania fal grawitacyjnych .

Równania uzupełniające do równań pola

Nie każde cząstkowe równanie różniczkowe (PDE) w fizyce jest automatycznie nazywane „równaniem pola”, nawet jeśli w grę wchodzą pola. Są to dodatkowe równania, które zapewniają dodatkowe ograniczenia dla danego układu fizycznego.

„ Równania ciągłości ” i „ równania dyfuzji ” opisują zjawiska transportu , nawet jeśli mogą obejmować pola, które mają wpływ na procesy transportowe.

Jeśli „ równanie konstytutywne ” ma postać PDE i obejmuje pola, zwykle nie jest nazywane równaniem pola, ponieważ nie reguluje dynamicznego zachowania pól. Odnoszą jedną dziedzinę do drugiej, w danym materiale. Równania konstytutywne są używane wraz z równaniami pola, gdy trzeba wziąć pod uwagę wpływ materii.

Klasyczne równanie pola

Klasyczne równania pola powstają w mechanice kontinuum (w tym elastodynamice i mechanice płynów ), wymianie ciepła , elektromagnetyzmie i grawitacji .

Podstawowe klasyczne równania pola obejmują

• Prawo powszechnego ciążenia Newtona dla nierelatywistycznej grawitacji.
• Równania pola Einsteina dla relatywistycznej grawitacji
• Równania Maxwella dla elektromagnetyzmu.

Ważne równania wywodzące się z podstawowych praw obejmują:

• Równania Naviera – Stokesa dla przepływu płynu.

W ramach rzeczywistych procesów modelowania matematycznego klasycznym równaniom pola towarzyszą inne równania ruchu , równania stanu , równania konstytutywne i równania ciągłości.

Równanie pola kwantowego

W kwantowej teorii pola cząstki opisywane są przez pola kwantowe, które spełniają równanie Schrödingera . Są także operatorami kreacji i anihilacji, które spełniają stosunki komutacyjne i podlegają twierdzeniu spinostatystycznemu .

Szczególne przypadki relatywistycznych równań pola kwantowego obejmują

• równanie Klein-Gordon spin-0 cząstki
• równanie Diraca spin-1/2 cząsteczek
• z równania Bargmann-Wigner dla cząstek o dowolnym obrocie

W równaniach pola kwantowego często używa się składowych pędu cząstki zamiast współrzędnych położenia cząstki, pola są w przestrzeni pędu, a transformaty Fouriera odnoszą je do reprezentacji położenia.

Zobacz też

• Siła pola
• Funkcja falowa
  • Interakcja
  • Sprzężenie pola
  • Odsprzęganie pola
  • Parametr sprzężenia
• Rozwiązanie próżniowe

Bibliografia

Generał

• G. Woan (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas . Cambridge University Press. ISBN   978-0-521-57507-2 .

Klasyczna teoria pola

• Misner, Charles W .; Thorne, Kip. S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN   0-7167-0344-0
• Chadwick, P. (1976), mechanika kontinuum: zwięzła teoria i problemy , Dover (pierwotnie George Allen & Unwin Ltd.), ISBN   0-486-40180-4

Kwantowa teoria pola

• Weinberg, S. (1995). Kwantowa teoria pól . 1 . Cambridge University Press. ISBN   0-521-55001-7 .
• VB Berestetskii , EM Lifshitz , LP Pitaevskii (1982). Elektrodynamika kwantowa . Kurs Fizyki Teoretycznej . Vol. 4 (wyd. 2). Butterworth-Heinemann . ISBN   978-0-7506-3371-0 . CS1 maint: wiele nazw: lista autorów ( link )
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996), Field Quantization , Springer, ISBN   3-540-59179-6
• Aitchison, IJR; Hej, AJG (2003). Teorie mierników w fizyce cząstek: od relatywistycznej mechaniki kwantowej do QED . 1 (wyd. 3). IoP. ISBN   0-7503-0864-8 .
• Aitchison, IJR; Hej, AJG (2004). Teorie mierników w fizyce cząstek elementarnych: nieabelowskie teorie mierników: QCD i teoria elektrosłabych . 2 (wyd. 3). IoP. ISBN   0-7503-0950-4 .

Klasyczna i kwantowa teoria pola

• Sexl, RU; Urbantke, HK (2001) [1992]. Względność, grupy cząstek. Szczególna teoria względności i relatywistyczna symetria w fizyce pola i cząstek . Skoczek. ISBN   978-3211834435 .

Linki zewnętrzne

• JCA Wevers (1999). „Formuła fizyki” (PDF) . Źródło 27 grudnia 2016 r .
• Glenn Elert (1998). „Często używane równania” . Źródło 27 grudnia 2016 r .