Złota zasada Fermiego - Fermi's golden rule

W mechaniki kwantowej , złota zasada Fermiego jest wzorem, który opisuje szybkość przejścia (prawdopodobieństwo przejścia w jednostce czasu), z jednej energii eigenstate systemu kwantowej grupy stany własne energii w kontinuum, w wyniku słabego zaburzenia . Ta stopa przejście jest skuteczne niezależnie od czasu (pod warunkiem, że wytrzymałość na zakłócenia jest niezależny od czasu) i jest proporcjonalna do siły sprzężenia pomiędzy początkowym i końcowym stanów układu (opisano przez kwadrat elementu macierzy z perturbacji) oraz gęstości stanów . Ma to również zastosowanie, gdy stan końcowy jest dyskretny, tj. nie jest częścią kontinuum, jeśli w procesie występuje pewna dekoherencja , jak relaksacja lub zderzenie atomów, lub jak szum w zaburzeniach, w którym to przypadku gęstość stany są zastępowane przez odwrotność szerokości pasma dekoherencji.

Generał

Choć nazwany na cześć Enrico Fermiego , większość prac prowadzących do „złotej reguły” jest dziełem Paula Diraca , który 20 lat wcześniej sformułował praktycznie identyczne równanie, zawierające trzy składowe stałej, element macierzowy perturbacji i energię. różnica. Nadano jej tę nazwę, ponieważ Fermi ze względu na jej znaczenie nazwał ją „złotą zasadą nr 2”.

Większość zastosowań terminu złota reguła Fermiego odnosi się do „złotej reguły nr 2”, jednak „złota reguła nr 1” Fermiego ma podobną formę i uwzględnia prawdopodobieństwo pośrednich przejść w jednostce czasu.

Stawka i jej wyprowadzenie

Złota reguła Fermiego opisuje układ, który rozpoczyna się w stanie własnym niezaburzonego hamiltonianu $H$ ₀ i uwzględnia wpływ zaburzającego hamiltonianu $H'$ zastosowanego do układu. Jeśli $H'$ jest niezależne od czasu, system przechodzi tylko w te stany kontinuum, które mają taką samą energię jak stan początkowy. Jeżeli $H'$ oscyluje sinusoidalnie w funkcji czasu (czyli jest to zaburzenie harmoniczne) z częstotliwością kątową $ω$ , to przejście następuje w stany o energiach różniących się o $ħω$ od energii stanu początkowego. $|ja\rangle$

W obu przypadkach prawdopodobieństwo przejścia na jednostkę czasu ze stanu początkowego do zbioru stanów końcowych jest zasadniczo stałe. Daje to, w przybliżeniu pierwszego rzędu, przez $|ja\rangle$ $|f\rangle$

{\ Displaystyle \ Gamma _ {i \ do f} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ lewo | \ langle f | H '| ja \ rangle \ prawo | ^ {2} \ rho (E_ {fa}),}

gdzie jest elementem macierzy (w Notacja Diraca ) z zaburzeń $H”$ między stanów końcowych i początkowy i jest gęstość stanów (liczba stanów ciągłych przedzielonych w nieskończenie małym przedziale energii do ) przy energii z stany końcowe. To prawdopodobieństwo przejścia jest również nazywane „prawdopodobieństwo zaniku” i jest związane z odwrotnością średniego czasu życia . Zatem prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie jest proporcjonalne do . ${\ Displaystyle \ langle f | H' | ja \ rangle }$ ${\ Displaystyle \ rho (E_ {f})}$ $dE$ ${\ Displaystyle E}$ $E+de$ ${\ Displaystyle E_ {f}}$ $|f\rangle$ ${\ Displaystyle e ^ {- \ Gamma _ {i \ do f} t}}$

Standardowym sposobem wyprowadzenia równania jest rozpoczęcie od teorii zaburzeń zależnych od czasu i przyjęcie granicy absorpcji przy założeniu, że czas pomiaru jest znacznie dłuższy niż czas potrzebny na przejście.

Wyprowadzenie w teorii zaburzeń zależnych od czasu

Stwierdzenie problemu

Złota reguła jest prostą konsekwencją równania Schrödingera , rozwiązanego do najniższego rzędu w zaburzeniach $H'$ hamiltonianu. Całkowity hamiltonian jest sumą „pierwotnego” hamiltonianu $H 0$ i zaburzenia: . Na obrazie interakcji możemy rozszerzyć ewolucję czasową dowolnego stanu kwantowego w kategoriach stanów własnych energii układu niezaburzonego za pomocą . ${\ Displaystyle H = H_ {0}+ H'(t)}$ $|n\rangle$ ${\ Displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle}$

Dyskretne widmo stanów końcowych

Najpierw rozważymy przypadek, w którym stany końcowe są dyskretne. Ekspansja stanu w systemie zaburzonym w czasie $t$ jest . Współczynniki $n$ $($ $t$ $)$ są jeszcze nieznane funkcji czasu uzyskując amplitudę prawdopodobieństwa w obrazie Diraca . Ten stan jest zgodny z zależnym od czasu równaniem Schrödingera: ${\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ suma _ {n} a_ {n} (t) e ^ {-iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle}$

{\ Displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = ja \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} | \ psi (t) \ rangle.}

Rozszerzając hamiltonian i stan, widzimy, że do pierwszego rzędu

${\ Displaystyle \ lewo (H_ {0}+ H'- \ operatorname {i} \ hbar {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ prawej) \ suma _ {n} a_ {n} (t) |n\rangle e^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}$ gdzie $E n$ i $| n ⟩$ są stacjonarnymi wartościami własnymi i funkcjami własnymi $H$ ₀ .

Równanie to można przepisać jako układ równań różniczkowych określający ewolucję w czasie współczynników : ${\ Displaystyle a_ {n} (t)}$

{\ Displaystyle \ operatorname {i} \ hbar {\ Frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ suma _ {n} \ langle k | H '| n \ rangle a_ {n} (t) e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.}

To równanie jest dokładne, ale zwykle nie można go rozwiązać w praktyce.

Dla słabej stałej perturbacji $H',$ która włącza się w $t$ = 0, możemy wykorzystać teorię perturbacji. Mianowicie jeśli , to widać, że , co po prostu mówi, że system pozostaje w stanie początkowym . ${\ Displaystyle H' = 0}$ ${\ Displaystyle a_ {n} (t) = \ delta _ {n, ja}}$ $i$

Dla stanów , staje się niezerowe z powodu , i zakłada się, że są one małe z powodu słabych perturbacji. Współczynnik, który jest jednością w stanie niezaburzonym, będzie miał słaby wkład od . W związku z tym można do powyższego równania wstawić postać zerowego rzędu, aby uzyskać pierwszą poprawkę dla amplitud : $k\neq i$ ${\ Displaystyle a_ {k} (t)}$ $H'\neq 0$ ${\ Displaystyle a_ {i} (t)}$ ${\ Displaystyle H'}$ ${\ Displaystyle a_ {n} (t) = \ delta _ {n, ja}}$ ${\ Displaystyle a_ {k} (t)}$

{\ Displaystyle \ operatorname {i} \ hbar {\ Frac {da_ {k} (t)} {dt}} = \ langle k | H '| ja \ rangle e ^ {\ operatorname {i} t (E_ {k }-E_{i})/\hbar },}

którego całkę można wyrazić jako

{\ Displaystyle \ operatorname {i} \ hbar a_ {k} (t) = \ int \ langle k | H '| ja \ rangle e ^ {\ operatorname {i} \ omega _ {ki} t} dt}

z , na stan z $a$ $ı$ $(0)$ = 1, $a$ $k$ $(0)$ = 0, a przejście do stanu z $o$ $k$ $($ $t$ $)$ . ${\ Displaystyle \ omega _ {ki} \ ekwiwalent (E_ {k}-E_ {i}) / \ hbar}$

Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu początkowego (ith) do stanu końcowego (f-tego) wyraża się wzorem

{\ Displaystyle w_ {fi} = | a_ {f} (t) | ^ {2} = {\ Frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ lewo | \ int \ langle f | H '| ja \rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t}dt\right|^{2}}

Ważne jest badanie perturbacji okresowych o określonej częstotliwości, ponieważ dowolne perturbacje można skonstruować z perturbacji okresowych o różnych częstotliwościach. Ponieważ musi być hermitowski, musimy założyć , gdzie jest operatorem niezależnym od czasu. Rozwiązaniem w tym przypadku jest ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle H'(t)}$ ${\ Displaystyle H '(t) = Fe ^ {- \ operatorname {i} \ omega t} + F ^ {\ sztylet} e ^ {\ operatorname {i} \ omega t}}$ ${\ Displaystyle F}$

{\ Displaystyle a_ {f} (t) = - \ langle f | F | ja \ rangle {\ Frac {e ^ {\ operatorname {i} (\ omega _ {fi} - \ omega) t}} {\ hbar (\omega _{fi}-\omega )}}-\langle f|F^{\dagger }|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}+\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}+\omega )}}.}

Wyrażenie to jest poprawne tylko wtedy, gdy mianowniki w powyższym wyrażeniu są niezerowe, tj. dla danego stanu początkowego z energią , energia stanu końcowego musi być taka, że Nie tylko mianowniki muszą być niezerowe, ale również nie mogą być mały, bo ma być mały. ${\ Displaystyle E_ {i}}$ ${\ Displaystyle E_ {f}-E_ {i} \ neq \ pm \ hbar \ omega.}$ $a_{f}$

Ciągłe widmo stanów końcowych

Ponieważ widmo ciągłe leży powyżej widma dyskretnego, co jasno wynika z poprzedniej sekcji, główną rolę odgrywają energie leżące w pobliżu energii rezonansowej , czyli gdy . W takim przypadku wystarczy zachować tylko pierwszy termin dla . Zakładając, że perturbacje są włączone od czasu , mamy wtedy ${\ Displaystyle E_ {f}-E_ {i}> 0}$ ${\ Displaystyle E_ {f}}$ ${\ Displaystyle E_ {i} + \ hbar \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {fi} \ w przybliżeniu \ omega}$ ${\ Displaystyle a_ {f} (t)}$ $t=0$

{\ Displaystyle a_ {f} (t) = - {\ Frac {\ operatorname {i}} {\ hbar}} \ int _ {0} ^ {t} \ langle f | H '| ja \ rangle e ^ { \mathrm {i} \omega _{fi}t}dt=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t} -1}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}}

Kwadrat modułu is $a_{f}$

{\ Displaystyle | a_ {f} | ^ {2} = 4 | \ langle f | F | ja \ rangle | ^ {2} {\ Frac {\ sin ^ {2} (\ omega _ {fi} - \ omega )t/2}{\hbar ^{2}(\omega _{fi}-\omega )^{2}}}}

W przypadku dużych zmniejszy się to do $t$

{\ Displaystyle | a_ {f} | ^ {2} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | F | ja \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} - E_{i}-\hbar \omega )t,}

liniowa zależność od . $t$

Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i-tego do stanów końcowych leżących w przedziale (gęstość stanów w nieskończenie małym elemencie wokół ) wynosi . Prawdopodobieństwo przejścia w jednostce czasu jest zatem podane przez $d\nu_{f}$ ${\ Displaystyle E_ {f}}$ ${\ Displaystyle dw_ {fi} = | a_ {f} | ^ {2} d \ nu _ {f}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dw_ {fi}} {t}} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | F | ja \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ { f}-E_{i}-\hbar \omega )d\nu _{f}.}

Zależność od czasu zniknęła i następuje stałe tempo zanikania złotej reguły. Jako stała, leży u podstaw wykładniczych praw rozpadu cząstek radioaktywności. (Jednak przez zbyt długi czas sekularny wzrost terminów $a k (t)$ unieważnia teorię zaburzeń najniższego rzędu, która wymaga $a k ≪ a i$ .)

Tylko wielkość elementu matrycy wchodzi w złotą regułę Fermiego. Faza tego elementu macierzowego zawiera jednak odrębne informacje o procesie przejścia. Występuje w wyrażeniach, które uzupełniają złotą regułę w półklasycznym podejściu równania Boltzmanna do transportu elektronów. ${\ Displaystyle \ langle f | H' | ja \ rangle }$

Podczas gdy złota reguła jest powszechnie określana i wyprowadzana w powyższych terminach, funkcja falowa stanu końcowego (continuum) jest często raczej niejasno opisana i nie jest prawidłowo znormalizowana (a normalizacja jest używana w wyprowadzeniu). Problem polega na tym, że aby wytworzyć kontinuum, nie może istnieć ograniczenie przestrzenne (które z konieczności dyskretyzowałoby widmo), a zatem funkcje falowe kontinuum muszą mieć nieskończony zasięg, a to z kolei oznacza, że normalizacja jest nieskończona, a nie jedność. Jeśli interakcje zależą od energii stanu kontinuum, ale nie od jakichkolwiek innych liczb kwantowych, zwykle normalizuje się funkcje falowe kontinuum za pomocą energii oznaczonej jako , pisząc, gdzie jest delta Diraca i efektywnie współczynnik pierwiastka kwadratowego gęstości stanów zalicza się do . W tym przypadku funkcja falowa kontinuum ma wymiary [energii], a Złota Reguła to teraz ${\ Displaystyle \ langle f | f \ rangle = \ int d ^ {3} r | f (\ mathbf {r} ) | ^ {2}}$ $\epsilon$ $|\epsilon \rangle$ ${\ Displaystyle \ langle \ epsilon | \ epsilon ' \ rangle = \ delta ( \ epsilon - \ epsilon ')}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ $|\epsilon_{i}\rangle$ $1/\surd$

{\ Displaystyle \ Gamma _ {i \ do \ epsilon _ {i}} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle \ epsilon _ {i} | H '| ja \ rangle | ^ { 2}.}

gdzie odnosi się do stanu kontinuum o tej samej energii co stan dyskretny . Na przykład poprawnie znormalizowane funkcje falowe kontinuum dla przypadku wolnego elektronu w pobliżu atomu wodoru są dostępne w Bethe i Salpeter . ${\ Displaystyle \ epsilon _ {i}}$ $i$

Znormalizowane wyprowadzenie w teorii zaburzeń zależnych od czasu

Poniżej parafrazuje traktowanie Cohena-Tannoudjiego. Tak jak poprzednio, całkowity hamiltonian jest sumą „pierwotnego” hamiltonianu $H 0$ i zaburzenia: . Wciąż możemy rozszerzyć ewolucję w czasie dowolnego stanu kwantowego w kategoriach stanów własnych energii układu niezaburzonego, ale teraz składają się one ze stanów dyskretnych i stanów kontinuum. Zakładamy, że oddziaływania zależą od energii stanu kontinuum, ale nie od innych liczb kwantowych. Ekspansja w odpowiednich stanach na obrazie Diraca to: ${\ Displaystyle H = H_ {0}+ H'}$

{\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = a_ {i} e ^ {- \ operatorname {i} \ omega _ {i} t} | ja \ rangle + \ int _ {C} d \ epsilon a_ {\ epsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\epsilon \rangle .}

gdzie i są energie stanów . Całka jest nad kontinuum , czyli jest w kontinuum. ${\ Displaystyle \ omega _ {i} = \ epsilon _ {i} / \ hbar \ omega = \ epsilon / \ hbar}$ ${\ Displaystyle \ epsilon _ {i}, \ epsilon}$ $|ja\rangle,|\epsilon \rangle$ ${\ Displaystyle \ epsilon \ w C}$ $|\epsilon \rangle$

Podstawianie do zależnego od czasu równania Schrödingera

{\ Displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = \ operatorname {i} \ hbar {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} | \ psi (t) \ rangle}

i mnożenie wstępne przez produkcje ${\ Displaystyle \ langle i |}$

{\ Displaystyle {\ Frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ operatorname {i} \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} e ^ {- \ operatorname { i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\epsilon }(t),}

gdzie , i mnożenie wstępne przez produkuje ${\ Displaystyle \ Omega _ {i \ epsilon} = \ langle i | H '| \ epsilon \ rangle / \ hbar}$ ${\ Displaystyle \ langle \ epsilon '|}$

{\ Displaystyle {\ Frac {da_ {\ epsilon} (t)} {dt}} = - \ operatorname {i} \ Omega _ {\ epsilon i} e ^ {\ operatorname {i} (\ omega - \ omega _ {i})t}a_{i}(t).}

Skorzystaliśmy z normalizacji . Integracja tych ostatnich i zastąpienie ich pierwszymi, ${\ Displaystyle \ langle \ epsilon '| \ epsilon \ rangle = \ delta (\ epsilon '- \ epsilon)}$

{\ Displaystyle {\ Frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon \ Omega _ {i \ epsilon} \ Omega _ {\ epsilon i} \ int _ { 0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').}

Widać tu, że czas zależy od wszystkich wcześniejszych czasów , czyli jest niemarkowski . Wykonujemy przybliżenie Markowa, tzn. że zależy ono tylko od czasu (co jest mniej restrykcyjne niż przybliżenie 1 użyte powyżej i pozwala, aby perturbacja była silna) $da_{i}/dt$ $t$ $a_{i}$ $t'$ $a_{i}$ $t$ $a_{i}$

{\ Displaystyle {\ Frac {da_ {i} (t)} {dt}} = - \ int _ {C} d \ epsilon | \ Omega _ {i \ epsilon} | ^ {2} a_ {i} (t )\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T}.}

gdzie i . Integracja ponad , $T=t-t'$ ${\ Displaystyle \ Delta = \ omega - \ omega _ {i}}$ ${\ Displaystyle T}$

{\ Displaystyle {\ Frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar \ int _ {C} d \ epsilon | \ Omega _ {i \ epsilon} | ^ {2} a_ { i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},}

Ułamek po prawej jest powstającą funkcją delta Diraca , co oznacza, że ma tendencję do as (ignorując jej część urojoną, która prowadzi do nieistotnego przesunięcia energii, podczas gdy część rzeczywista powoduje rozpad ). Wreszcie ${\ Displaystyle \ delta (\ epsilon - \ epsilon _ {i})}$ $t\do \infty$

{\ Displaystyle {\ Frac {da_ {i} (t)} {dt}} = 2 \ pi \ hbar | \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} | ^ {2} a_ {i} (t) }

który ma rozwiązania: , tj. ubytek populacji w początkowym stanie dyskretnym jest gdzie ${\ Displaystyle a_ {i} (t) = \ exp (- \ Gamma _ {i \ do \ epsilon _ {i}} t/2)}$ ${\ Displaystyle P_ {i} (t) = | a_ {i} (t) | ^ {2} = \ exp (- \ Gamma _ {i \ do \ epsilon _ {i}} t)}$

{\ Displaystyle \ Gamma _ {i \ do \ epsilon _ {i}} = 2 \ pi \ hbar | \ Omega _ {i \ epsilon _ {i}} | ^ {2} = {\ Frac {2 \ pi} {\hbar }}|\langle i|H'|\epsilon \rangle |^{2}}

Aplikacje

Półprzewodniki

Złota reguła Fermiego może być wykorzystana do obliczenia współczynnika prawdopodobieństwa przejścia dla elektronu, który jest wzbudzany przez foton z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa w półprzewodniku z bezpośrednią przerwą energetyczną, a także gdy elektron rekombinuje z dziurą i emituje foton. Rozważmy foton o częstotliwości i wektorze falowym , gdzie relacja rozproszenia światła jest i jest współczynnikiem załamania. ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\textbf {q}}$ ${\ Displaystyle \ omega = (c / n) \ lewo | {\ textbf {q}} \ prawo |}$ ${\ Displaystyle n}$

Używając miernika Coulomba gdzie i , potencjał wektorowy fali EM jest określony przez gdzie wynikowe pole elektryczne jest ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ textbf {A}} = 0}$ ${\ Displaystyle V = 0}$ ${\ Displaystyle {\ textbf {A}} = A_ {0}{\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf {q}} \ cdot {\ textbf {R}} - \ omega t)} +C}$

{\ Displaystyle {\ textbf {E}} = - \ częściowy {\ textbf {A}} / \ częściowy t = i \ omega A_ {0}{\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf { q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}}

Dla cząstki naładowanej w paśmie walencyjnym hamiltonian to

{\ Displaystyle H = {\ Frac {({\ textbf {p}}-Q {\ textbf {A}}) ^ {2}} {2m_ {0}}} + V ({\ textbf {R}}) }

gdzie jest potencjał kryształu. Jeśli nasza cząstka jest elektronem ( ) i rozważamy proces z udziałem jednego fotonu i pierwszego rzędu w . Powstały hamiltonian to ${\ Displaystyle V ({\ textbf {r}})}$ $Q=-e$ ${\textbf {A}}$

{\ Displaystyle H = H_ {0} + H '= \ lewo [{\ Frac {{\ textbf {p}} ^ {2}} {2 m_ {0}}} + V ({\ textbf {R}}) \right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\prawda]}

gdzie jest zaburzenie fali EM. ${\ Displaystyle H'}$

Od tego momentu mamy prawdopodobieństwo przejścia w oparciu o zależną od czasu teorię perturbacji, która

{\ Displaystyle \ Gamma _ {jeśli} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f}-E_ {i }\pm \hbar \omega )}

{\ Displaystyle H '\ około {\ Frac {eA_{0}} {m_ {0}}} \ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ vec {p}}}

gdzie jest wektor polaryzacji światła. Z perturbacji widać, że sedno obliczeń leży w elementach macierzy pokazanych w hamulcu. ${\vec {\epsilon}}$

Dla stanów początkowych i końcowych odpowiednio w pasmach walencyjnych i przewodnictwa mamy i , a jeśli operator nie działa na spin, elektron pozostaje w tym samym stanie spinowym, a zatem możemy zapisać funkcje falowe jako fale Blocha, więc ${\ Displaystyle | ja \ rangle = \ psi _ {v {\ textbf {k}} _ {i}, s_ {i}} ({\ textbf {r}})}$ ${\ Displaystyle | f \ rangle = \ psi _ {c {\ textbf {k}} _ {f}, s_ {f}} ({\ textbf {r}})}$ ${\ Displaystyle H'}$

{\ Displaystyle \ Psi _ {v {\ textbf {k}} _ {i}} ({\ textbf {r}}) = {\ Frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} }u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf { r}}}}

{\ Displaystyle \ psi _ {c {\ textbf {k}} _ {f}} ({\ textbf {r}}) = {\ Frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} }u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf { r}}}}

gdzie jest liczba komórek elementarnych z objętością . Korzystając z tych funkcji falowych i trochę więcej matematyki i koncentrując się na emisji ( fotoluminescencji ), a nie na absorpcji, jesteśmy doprowadzeni do szybkości przejścia ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {0}}$

{\ Displaystyle \ Gamma _ {cv} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ lewo ({\ Frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ prawej) ^ {2} | {\vec {\epsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\ hbar \omega )}

gdzie jest przejściowy element macierzy momentów dipolowych jest jakościowo wartością oczekiwaną i w tej sytuacji przyjmuje postać ${\boldsymbol {\mu}}_{cv}$ ${\ Displaystyle \ langle c | ({\ tekst {opłata}}) \ razy ({\ tekst {odległość}}) | v \ rangle}$

{\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} = - {\ Frac {i \ hbar} {\ Omega _ {0}}} \ int _ {\ Omega _ {0}} d {\ textbf { r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}} ({\textbf {r}}')}

Na koniec chcemy poznać całkowity wskaźnik przejścia . Dlatego musimy zsumować wszystkie stany początkowe i końcowe (tj. całkę ze strefy Brillouina w przestrzeni k ) i uwzględnić degenerację spinową, która za pomocą niektórych matematyki ${\ Displaystyle \ Gamma (\ omega)}$

${\ Displaystyle \ Gamma (\ omega ) = {\ Frac {4 \ pi} {\ hbar}} \ lewo ({\ Frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ prawej) ^ {2} | {\vec {\epsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )}$

gdzie jest łączną gęstością przewodnictwa walencyjnego stanów (tzn. gęstość pary stanów; jeden zajęty stan walencyjny, jeden pusty stan przewodnictwa). W 3D to jest ${\ Displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega)}$

{\ Displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega) = 2 \ pi \ lewo ({\ Frac {2 m ^ {*}} {\ hbar ^ {2}}} \ prawej) ^ {3/2} {\ sqrt {\hbar \omega -E_{g}}}}

ale wspólny DOS jest inny dla 2D, 1D i 0D.

Na koniec zauważamy, że w ogólny sposób możemy wyrazić złotą regułę Fermiego dla półprzewodników jako

{\ Displaystyle \ Gamma _ {vc} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ int _ {\ tekst {BZ}} {\ Frac {d {\ textbf {k}}} {4 \ pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega)}

Skaningowa mikroskopia tunelowa

W skaningowym mikroskopie tunelowym do wyznaczania prądu tunelowania stosowana jest złota reguła Fermiego. Przybiera formę

{\ Displaystyle w = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} | M | ^ {2} \ delta (e_ {\ psi}-e_ {\ chi})}

gdzie jest element macierzy tunelowania. ${\ Displaystyle M}$

Optyka kwantowa

Rozważając przejścia poziomów energii między dwoma dyskretnymi stanami, złota reguła Fermiego jest zapisana jako

{\ Displaystyle \ Gamma _ {i \ do f} = {\ Frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| ja \ rangle | ^ {2} g (\ hbar \ omega), }

gdzie jest gęstością stanów fotonowych przy danej energii, jest energią fotonu i jest częstotliwością kątową . To alternatywne wyrażenie opiera się na fakcie, że istnieje kontinuum stanów końcowych (fotonowych), tzn. zakres dozwolonych energii fotonów jest ciągły. ${\ Displaystyle g (\ hbar \ omega )}$ ${\ Displaystyle \ hbar \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega}$

Eksperyment Drexhage

Zarówno charakterystyka promieniowania, jak i całkowita emitowana moc (która jest proporcjonalna do szybkości zaniku) dipola zależą od jego odległości od lustra.

Złota reguła Fermiego przewiduje, że prawdopodobieństwo rozpadu stanu wzbudzonego zależy od gęstości stanów. Można to zaobserwować eksperymentalnie, mierząc szybkość zaniku dipola w pobliżu lustra: ponieważ obecność lustra tworzy obszary o większej i mniejszej gęstości stanów, zmierzona szybkość zanikania zależy od odległości między lustrem a dipolem.

Zobacz też

Rozpad wykładniczy – gęstość prawdopodobieństwa
Lista rzeczy nazwanych na cześć Enrico Fermiego – artykuł z listy Wikipedii
Rozpad cząstek
Funkcja sinc – specjalna funkcja matematyczna zdefiniowana jako sin(x)/x
Teoria zaburzeń zależnych od czasu
Reguła Sargenta

Languages

In other projects