Dystrybucja (teoria porządku) - Distributivity (order theory)

W matematycznym obszarze teorii porządku istnieją różne koncepcje wspólnego pojęcia dystrybutywności , stosowane do tworzenia supremy i infima . Większość z nich odnosi się do zbiorów częściowo uporządkowanych, które są co najmniej kratownicami , ale w rzeczywistości pojęcie to można rozsądnie uogólnić również na semilattices .

Sieci dystrybucyjne

Prawdopodobnie najczęstszym typem dystrybucji jest ten zdefiniowany dla krat , w których tworzenie binarnych supremy i infima zapewnia całkowite operacje join ( ) i meet ( ). Dystrybucja tych dwóch operacji jest następnie wyrażana przez wymaganie tożsamości ${\ displaystyle \ vee}$${\ displaystyle \ wedge}$

${\ Displaystyle x \ klin (y \ vee z) = (x \ klin y) \ vee (x \ klin z)}$

przytrzymaj dla wszystkich elementów x , y i z . To prawo dystrybucji definiuje klasę sieci dystrybucyjnych . Zauważ, że ten wymóg można przeformułować, mówiąc, że binarny spełnia zachowuje binarne łączenia. Wiadomo, że powyższe stwierdzenie jest równoważne jego kolejności podwójnej

${\ Displaystyle x \ vee (y \ klin z) = (x \ vee y) \ klin (x \ vee z)}$

tak, że jedna z tych właściwości wystarczy do zdefiniowania dystrybucji dla sieci. Typowymi przykładami sieci dystrybucji są zbiory całkowicie uporządkowane , algebry Boole'a i algebry Heytinga . Każda skończona sieć dystrybucji jest izomorficzna do sieci zbiorów uporządkowanych przez włączenie ( twierdzenie Birkhoffa o reprezentacji ).

Dystrybucja dla semilattices

Diagram Hassego dla definicji rozdzielności dla splotu półprzewodnikowego.

Semilattice jest częściowo uporządkowanym tylko jednej z dwóch operacji sieciowych, albo meet- lub Join-semilattice . Biorąc pod uwagę, że jest tylko jedna operacja binarna, rozdzielności oczywiście nie można zdefiniować w standardowy sposób. Niemniej jednak, ze względu na interakcję pojedynczej operacji z zadanym porządkiem, możliwa jest następująca definicja rozdzielności. Meet-semilattice jest rozdzielcze , jeśli dla a , b , i X :

Jeśli a ∧ b ≤ x, to istnieją a ′ i b ′ takie, że a ≤ a ′ , b ≤ b ' i x = a ′ ∧ b' .

Dystrybucyjne półatusze złączenia są zdefiniowane podwójnie : półatusze złączenia są rozdzielcze , jeśli dla wszystkich a , b i x :

Jeśli x ≤ a ∨ b, to istnieją a ′ i b ′ takie, że a ′ ≤ a , b ′ ≤ b i x = a ′ ∨ b ' .

W obu przypadkach a „i b” nie muszą być niepowtarzalne. Definicje te są uzasadnione faktem, że biorąc pod uwagę dowolną sieć L , poniższe stwierdzenia są równoważne:

• L jest rozdzielczy jako spotkanie-półksiężyc
• L jest rozdzielczy jako półsłupek złączenia
• L to krata rozdzielcza.

Tak więc każda dystrybucja spotkania-półatkaniny, w której istnieją binarne łączenia, jest kratą dystrybucyjną. Semilattice złączenia jest rozdzielcza wtedy i tylko wtedy, gdy krata jego ideałów (w trakcie włączania) jest rozdzielcza.

Ta definicja rozdzielności pozwala na uogólnienie niektórych stwierdzeń dotyczących sieci dystrybucyjnych na półwarstwy dystrybucyjne.

Prawa dystrybucji dla pełnych sieci

Aby uzyskać pełną siatkę, dowolne podzbiory mają zarówno infima, jak i suprema, a zatem dostępne są nieskończone operacje spotykania i łączenia. W ten sposób można opisać kilka rozszerzonych pojęć dystrybucyjnych. Na przykład, w przypadku nieskończonego prawa dystrybucji , skończone spotkania mogą rozkładać się na dowolne łączenia, tj

${\ displaystyle x \ wedge \ bigvee S = \ bigvee \ {x \ wedge s \ mid s \ in S \}}$

może zachowywać dla wszystkich elementów x i wszystkich podzbiorów S sieci. Pełne kraty z tą właściwością nazywane są ramkami , ustawieniami narodowymi lub pełnymi algebrami Heytinga . Powstają w związku z bezsensowną topologią i dualnością kamienia . To prawo podziału nie jest równoznaczne z jego podwójnym stwierdzeniem

${\ displaystyle x \ vee \ bigwedge S = \ bigwedge \ {x \ vee s \ mid s \ in S \}}$

który definiuje klasę podwójnych ramek lub kompletnych algebr co-Heytinga.

Teraz można pójść jeszcze dalej i zdefiniować rozkazy, w których arbitralne łączenia rozkładają się na dowolne spotkania. Takie struktury nazywane są sieciami całkowicie dystrybucyjnymi . Jednak wyrażenie tego wymaga sformułowań nieco bardziej technicznych. Rozważmy podwójnie indeksowaną rodzinę { x _{j , k} | j w J , k w K ( j )} elementów sieci całkowitej i niech F będzie zbiorem funkcji wyboru f wybierając dla każdego indeksu j z J jakiś indeks f ( j ) w K ( j ). Pełna krata jest całkowicie rozdzielcza, jeśli dla wszystkich takich danych zachodzi następująca instrukcja:

${\ displaystyle \ bigwedge _ {j \ in J} \ bigvee _ {k \ in K (j)} x_ {j, k} = \ bigvee _ {f \ in F} \ bigwedge _ {j \ in J} x_ {j, f (j)}}$

Całkowita dystrybucja jest ponownie własnością samodwójną, tj. Dualizacja powyższego stwierdzenia daje tę samą klasę pełnych sieci. Całkowicie dystrybucyjne kompletne kraty ( w skrócie zwane również całkowicie dystrybucyjnymi ) są w istocie wysoce specjalnymi strukturami. Zobacz artykuł o kratach całkowicie rozdzielczych .

Literatura

Dystrybucja to podstawowe pojęcie, które jest omawiane w każdym podręczniku dotyczącym teorii krat i porządku. Zobacz literaturę podaną dla artykułów dotyczących teorii porządku i teorii sieci . Bardziej szczegółowa literatura obejmuje:

• GN Raney, Completely distributions complete lattices , Proceedings of the American Mathematical Society , 3: 677 - 680, 1952.