Chirurgia Dehna - Dehn surgery

W topologii , gałęzi matematyki , chirurgia Dehna , nazwana na cześć Maxa Dehna , jest konstrukcją używaną do modyfikacji 3-rozmaitości . Proces przyjmuje jako dane wejściowe 3 rozmaitość wraz z łączem . Często konceptualizuje się to jako dwa etapy: wiercenie, a następnie wypełnianie .

Definicje

• Biorąc pod uwagę 3 kolektora i w związku , rozdzielacz wywierconymi wzdłuż otrzymuje się przez usuwanie otwartą cylindryczną sąsiedztwie o z . Jeśli wiercony rozdzielacz ma komponenty obwiedni torusa . Rozgałęzienie przewiercone wzdłuż jest również znane jako uzupełnienie łącznika , ponieważ jeśli usunie się odpowiadające mu zamknięte sąsiedztwo rurowe z , otrzymuje się rozmaitość dyfeomorficzną do .${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle L \ podzbiór M}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle L = L_ {1} \ filiżanka \ kropki \ filiżanka L_ {k}}$${\displaystyle k}$${\ Displaystyle T_ {1} \ filiżanka \ kropki \ filiżanka T_ {k}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M \ setminus L}$
• Mając 3-rozmaitość, której granica składa się z 2-tori , możemy skleić jeden stały torus za pomocą homeomorfizmu (odp. diffeomorphism ) jego granicy do każdego ze składowych granic torusa oryginalnej 3-rozmaitości. Ogólnie można to zrobić na wiele nierównych sposobów. Proces ten nazywa się napełnianiem Dehna .${\ Displaystyle T_ {1} \ filiżanka \ kropki \ filiżanka T_ {k}}$${\displaystyle T_{i}}$
• Chirurgia Dehna na trójdzielniku zawierającym łącznik polega na wywierceniu rurowego sąsiedztwa łącznika wraz z wypełnieniem Dehna na wszystkich elementach granicy odpowiadających łącznikowi.

W celu opisania operacji Dehna (zob. Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links (PDF) . Publish or Perish. s. 259.), wybiera się dwie zorientowane proste krzywe zamknięte i na odpowiadającym torusie granicznym wierconej trójdzielnicy, gdzie jest południkiem (krzywa pozostająca w małej kuli i mająca numer połączenia +1 z lub, równoważnie, krzywą, która ogranicza dysk, który przecina raz składnik ) i jest długością geograficzną (krzywa biegnąca raz wzdłuż lub równoważnie krzywą po takiej, że przecięcie algebraiczne jest równe +1). Krzywe i generowania podstawową grupę torusa i tworzą podstawę jego pierwszej grupy homologii . Daje to każdej prostej zamkniętej krzywej na torusie dwie współrzędne i , tak że . Współrzędne te zależą tylko od homotopii klasy z . ${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\ Displaystyle M}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle \ell_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\ Displaystyle \ langle \ ell _ {i}, m_ {i} \ rangle}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\ Displaystyle [\ gamma _ {i}] = [a_ {i} \ ell _ {i} + b_ {i} m_ {i}]}$${\ Displaystyle \ gamma _ {i}}$

Możemy określić homeomorfizm granicy bryły torusa do przez odwzorowanie krzywej południka bryły torusa na krzywą homotopic to . Tak długo, jak południk mapuje się do nachylenia operacji , wynikowa operacja Dehna da 3 rozmaitość, która nie będzie zależała od konkretnego klejenia (aż do homeomorfizmu). Stosunek jest nazywany współczynnikiem chirurgii z . ${\displaystyle T_{i}}$${\ Displaystyle \ gamma _ {i}}$ ${\ Displaystyle [\ gamma _ {i}]}$${\ Displaystyle b_ {i} / a_ {i} \ w \ mathbb {Q} \ filiżanka \ {\ infty \}}$${\displaystyle L_{i}}$

W przypadku powiązań w sferze 3 lub ogólniej sferze zorientowanej integralnej homologii, istnieje kanoniczny wybór długości geograficznych : każda długość geograficzna jest wybierana tak, aby była zerowa homologiczna w uzupełnieniu węzła – równoważnie, jeśli jest to granica powierzchni Seiferta . ${\displaystyle \ell_{i}}$

Gdy wszystkie proporcje są liczbami całkowitymi (zauważ, że warunek ten nie zależy od wyboru długości geograficznej, ponieważ odpowiada nowym południkom przecinającym się dokładnie raz z dawnymi południkami), operacja nazywana jest operacją integralną . Takie operacje są ściśle związane z handlebodys , kobordyzmem i funkcjami Morse'a . ${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

Przykłady

• Jeśli wszystkie współczynniki chirurgii są nieskończone, to każdy nowy południk jest homotopiczny do południka antycznego . Dlatego też typ homeomorfizmu kolektora pozostaje niezmieniony przez operację.${\ Displaystyle \ gamma _ {i}}$${\displaystyle m_{i}}$

• Jeżeli jest 3-sfera , jest węzeł , a współczynnik chirurgii wynosi , to chirurgiczny trójdzielnik wynosi .${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2} \ razy \ mathbb {S} ^ {1}}$

• Jeżeli jest 3-sfera , jest węzeł , a współczynnik chirurgii wynosi , to skośna trójdzielnica jest przestrzenią soczewki . W szczególności, jeśli współczynnik chirurgiczny ma postać , to chirurgiczna trójdzielność jest nadal trójsferą.${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle b/a}$ ${\ Displaystyle L (b, a)}$${\ Displaystyle \ pm 1/r}$

• Jeśli jest trójsferą , jest prawoskrętnym węzłem trójliściowym , a współczynnik chirurgiczny wynosi , to chirurgiczna trójdzielność jest przestrzenią dwunastościenną Poincarégo .${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle L}$${\displaystyle +1}$

Wyniki

Każdy zamknięty , orientowany , połączony trójdzielnik jest uzyskiwany przez wykonanie operacji Dehna na łączniku w trójkuli . Wynikiem tego, twierdzenie Lickorish-Wallace , został po raz pierwszy udowodnione przez Andrew H. Wallace w 1960 roku i niezależnie od WBR Lickorish w silniejszej formie w 1962 roku za pośrednictwem teraz dobrze znaną zależnością między prawdziwej chirurgii i bordyzm , wynik ten jest równoznaczne z twierdzenie, że zorientowana grupa 3- rozmaicieli kobordyzmu jest trywialna, twierdzenie pierwotnie udowodnione przez Władimira Abramowicza Rokhlina w 1951 roku.

Ponieważ wszystkie orientowalne 3 rozgałęzienia mogą być generowane przez odpowiednio udekorowane łącza, można by zapytać, jak różne mogą być ze sobą powiązane prezentacje chirurgiczne danego rozgałęzienia. Odpowiedź nazywa się rachunkiem Kirby'ego .

Zobacz też

• Hiperboliczna operacja Dehna
• Sąsiedztwo rurowe
• Chirurgia rozmaitości, w sensie ogólnym, zwana także modyfikacją sferyczną.

Bibliografia

• Dehn, Max (1938), "Die Gruppe der Abbildungsklassen" Acta Mathematica , 69 (1): 135-206, doi : 10.1007/BF02547712.
• Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables” , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17-86, doi : 10.1007/BF02566923 , MR  0061823
• Rolfsen, Dale (1976). Węzły i linki (PDF) . Cykl wykładów z matematyki. 346 . Berkeley, Kalifornia: Opublikuj lub zgiń. P. 439. Numer ISBN 9780914098164.
• Kirby, Rob (1978), „Rachunek dla linków w ramkach w S ³ ”, Inventiones Mathematicae , 45 (1): 35-56, doi : 10.1007/BF01406222 , MR  0467753.
• Fenna, Rogera; Rourke, Colin (1979), "Na rachunku Kirby'ego linków", Topologia , 18 (1): 1-15, doi : 10.1016/0040-9383 (79) 90010-7 , MR  0528232.
• Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999), 4-Manifolds and Kirby Calculus , Graduate Studies in Mathematics , 20 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090/gsm/020 , ISBN 0-8218-0994-6, MR  1707327.