Koordynować warunki - Coordinate conditions

W ogólnym wzgl , że prawa fizyki można wyrazić w ogólnie covariant formy. Innymi słowy, opis świata podane przez prawa fizyki nie zależy od naszego wyboru układów współrzędnych. Jednak często jest to przydatne do mocowania na konkretnym układzie współrzędnych, w celu rozwiązania rzeczywistych problemów lub podejmowania rzeczywistych prognoz. Warunkiem współrzędnych dobiera taki układ współrzędnych (s).

Nieokreśloność w ogólnej teorii względności

The Einstein równania pola nie określają jednoznacznie metrykę, nawet jeśli ktoś wie, co tensor metryczny równa wszędzie w początkowym czasie. Sytuacja ta jest analogiczna do awarii z równań Maxwella do określenia potencjału jednoznacznie. W obu przypadkach, dwuznaczność można usunąć mocowania przyrządów . W ten sposób, koordynacja warunki rodzajem stanu skrajni. Nie koordynować warunek jest zazwyczaj kowariantna, ale wiele współrzędnych warunki Lorentz kowariantna lub obrotowo kowariantna .

Naiwnie, można by pomyśleć, że koordynować warunki miałaby postać równań dla ewolucji czterech współrzędnych, a nawet w niektórych przypadkach (np harmoniczne współrzędnych stanu) można je umieścić w tej formie. Jednak jest to bardziej typowe dla nich pojawiają się cztery dodatkowe równań (oprócz Równanie Einsteina) dla ewolucji tensora metrycznego. Równania Einsteina terenowych sam nie w pełni określić ewolucję metrycznego względem układu współrzędnych. Mogłoby się wydawać, że będzie, ponieważ istnieje dziesięć równań w celu określenia dziesięć składników metryki. Jednak ze względu na drugie Bianchi tożsamości krzywizny tensor Riemanna , dywergencja tensora Einsteina jest zero, co oznacza, że cztery z dziesięciu równań są zbędne, pozostawiając cztery stopnie swobody, które mogą być związane z wyborem czterech współrzędnych. Należy zauważyć, że taki sam wynik można uzyskać z Kramersa-Moyal-Van-Kampen ekspansji równania głównego (z wykorzystaniem współczynników Clebsch-Gordan do rozkładu produkty tensora).

współrzędne harmonicznych

Szczególnie użyteczne współrzędnych stan jest stanem harmonicznej (również znany jako „Obudowa de Donder”):

${\ Displaystyle 0 = \ gamma _ {\ p \ gamma} ^ {\ a} g ^ {\ p \ gamma} \ !.}$

Tutaj, y jest symbolem Christoffel (znany również jako „afinicznej związku”), a „g” w indeksie górnym jest odwrotna w tensora metrycznego . Warunek ten harmoniczny jest często stosowany przez fizyków podczas pracy z fal grawitacyjnych . Warunek ten jest również często stosowana dla uzyskania post-newtonowskiej przybliżenia .

Chociaż stan harmoniczna współrzędnych nie jest na ogół kowariantna, to jest Lorentz kowariantna. Ten warunek koordynować postanawia dwuznaczność tensora metrycznego dostarczając cztery dodatkowe równania różniczkowe, że tensor metryczny musi spełnić. ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ v} \!}$

Synchroniczne współrzędne

Innym szczególnie użytecznym współrzędnych stanem jest stan synchroniczny:

${\ Displaystyle G_ {01} = G_ {02} = G_ {03} = 0! \}$

i

${\ Displaystyle G_ {00} = - 1! \}$,

Synchroniczne współrzędne są znane również jako Gaussa współrzędnych. Są one często stosowane w kosmologii .

Synchroniczna współrzędnych warunek nie jest ani ogólnie kowariantna ani Lorentz kowariantna. Ten warunek koordynować postanawia dwuznaczność tensora metrycznego poprzez dostarczenie czterech równań algebraicznych, że tensor metryczny musi spełnić. ${\ Displaystyle g _ {\ mu \ v} \!}$

Inne współrzędne

Wiele innych koordynować warunki zostały zatrudnione przez fizyków, choć nikt tak perwersyjnie jak te opisane powyżej. Prawie wszystko koordynować warunki stosowane przez fizyków, w tym harmonicznych i synchronicznych koordynować warunkach byłyby spełnione przez tensora metrycznego, że równa się tensor Minkowski wszędzie. (Jednakże, ponieważ Riemann i stąd tensor Ricci do Minkowskiego współrzędnych identycznie zerowego równania Einsteina daje zero energii / sprawy dla współrzędnych Minkowskiego, tak współrzędne Minkowskiego nie może być do zaakceptowania odpowiedź końcowa). W przeciwieństwie do warunków harmonicznych, jak i synchronicznym współrzędnych niektórych powszechnie używane warunki współrzędnych może być niedostatecznie decydujące lub zbyt decydujące.

Przykładem stanie pod-rozstrzygającą jest algebraiczne oświadczenie, że wyznacznikiem tensora metrycznego jest -1, co nadal pozostawia znaczną swobodę skrajni. Warunek ten będzie musiał być uzupełniony przez inne warunki w celu usunięcia niejasności w tensora metrycznego.

Przykładem stanu nadmiernej rozstrzygającą jest algebraiczne oświadczenie, że różnica między tensora metrycznego i tensora Minkowskiego jest po prostu zerowe czterowektor Itself czasy, który znany jest jako forma Kerr-Schild metryki. Ten warunek Kerr-Schild wykracza daleko poza usunięcie niejasności współrzędnych, a więc także określa typ struktury fizycznej czasoprzestrzeni. Wyznacznik tensora metrycznym metryki Kerr-Schild jest negatywny, co samo w sobie jest pod-rozstrzygające współrzędnych stanu.

Przy wyborze koordynować warunki, ważne jest, aby wystrzegać się iluzji i artefaktów, które mogą być tworzone przez tego wyboru. Na przykład, metryka Schwarzschilda może obejmować widoczną osobliwości w powierzchni, która jest oddzielona od źródła punktowego, ale to osobliwością jest jedynie artefakt o wyborze warunków współrzędnych raczej niż wynikające z faktyczny stan fizyczny.

Jeśli ktoś ma zamiar rozwiązać Einsteina równań pola za pomocą przybliżonych metod, takich jak post-newtonowskiej ekspansji , to należy spróbować wybrać warunek współrzędnych, które uczynią ekspansję zbiegają się tak szybko jak to możliwe (lub przynajmniej uniemożliwić rozbieżne). Podobnie, w przypadku metody numerycznej trzeba unikać kaustykę (współrzędnej osobliwości).

Lorentz covariant współrzędnych warunki

Jeśli ktoś łączy warunek współrzędnych, który jest Lorentza kowariantna, takich jak harmonicznej współrzędnych warunku, o którym mowa powyżej, z Równanie Einsteina , a następnie dostaje teorię, która jest w pewnym sensie zgodne zarówno specjalnej i ogólnej teorii względności. Wśród najprostszych przykładowych takich współrzędnych warunki są następujące:

1. ${\ Displaystyle g _ {\ a \ p \ y} \ eta ^ {\ p \ y} k = \, G _ {\ mu \ v \ a} \ eta ^ {\ mu \ v} \ ,.}$
2. ${\ Displaystyle g ^ {\ \ alpha beta} {} _ {\ p} k = \, G ^ {\ mu \ v} {} _ {\ y} \ r | _ {\ mu \ v} \ r | ^ {\ a \ y} \} ,.$

gdzie można ustalić stałą k być dowolny wygodny wartość.

Przypisy