Wypukła geometria - Convex geometry

W matematyce , geometria wypukła jest gałęzią geometrii studiuje zbiorów wypukłych , głównie w przestrzeni euklidesowej . Zestawy wypukłe występują naturalnie w wielu dziedzinach: geometrii obliczeniowej , Analiza wypukła , dyskretny geometrii , analizy funkcjonalnej , geometrii liczb , integralną geometrycznych , programowanie liniowe , teoria prawdopodobieństwa , teorii gier , etc.

Klasyfikacja

Zgodnie z klasyfikacją przedmiotów matematycznych MSC2010, dyscyplina matematyczna Geometria wypukła i dyskretna obejmuje trzy główne gałęzie:

  • ogólna wypukłość
  • wielościany i wielościany
  • dyskretna geometria

(chociaż tylko fragmenty tych dwóch ostatnich są objęte geometrią wypukłą).

Ogólna wypukłość jest dalej podzielona w następujący sposób:

  • wypukłość aksjomatyczna i uogólniona
  • zestawy wypukłe bez ograniczeń wymiarowych
  • zbiory wypukłe w topologicznych przestrzeniach wektorowych
  • zestawy wypukłe w 2 wymiarach (w tym krzywe wypukłe)
  • zestawy wypukłe w 3 wymiarach (w tym powierzchnie wypukłe)
  • zbiory wypukłe w n wymiarach (w tym hiperpowierzchnie wypukłe)
  • skończenie wymiarowe przestrzenie Banacha
  • losowe zbiory wypukłe i geometria całkowa
  • asymptotyczna teoria ciał wypukłych
  • aproksymacja zbiorami wypukłymi
  • warianty zbiorów wypukłych (gwiaździste, ( m, n )-wypukłe itp.)
  • Twierdzenia typu Helly'ego i geometryczna teoria poprzeczna
  • inne problemy kombinatorycznej wypukłości
  • długość, powierzchnia, objętość
  • mieszane tomy i tematy pokrewne
  • wyceny na korpusach wypukłych
  • nierówności i problemy ekstremalne
  • funkcje wypukłe i programy wypukłe
  • wypukłość sferyczna i hiperboliczna

Termin geometria wypukła jest również używany w kombinatoryce jako alternatywna nazwa dla antymatroidu , który jest jednym z abstrakcyjnych modeli zbiorów wypukłych.

Notatka historyczna

Geometria wypukła to stosunkowo młoda dyscyplina matematyczna. Chociaż pierwsze znane wkłady do geometrii wypukłej sięgają starożytności i można je doszukiwać się w pracach Euklidesa i Archimedesa , na przełomie XIX i XX wieku stała się ona samodzielną gałęzią matematyki, głównie dzięki pracom Hermanna Brunna i Hermanna Minkowskiego. w wymiarach drugim i trzecim. Duża część ich wyników została wkrótce uogólniona na przestrzenie o wyższych wymiarach, a w 1934 roku T. Bonnesen i W. Fenchel przeprowadzili obszerny przegląd geometrii wypukłej w przestrzeni euklidesowej R n . Dalszy rozwój geometrii wypukłej w XX wieku i jej związki z licznymi dyscyplinami matematycznymi podsumowano w Podręczniku geometrii wypukłej pod redakcją PM Grubera i JM Willsa.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Artykuły ekspozycyjne o geometrii wypukłej

  • K. Ball, Elementarne wprowadzenie do współczesnej geometrii wypukłej, w: Flavours of Geometry, s. 1–58, Math. Nauka. Res. Inst. Wyd. Cz. 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, dostępny online .
  • M. Berger, Wypukłość, Amer. Matematyka. Miesięcznie, tom. 97 (1990), 650-678. DOI: 10.2307/2324573
  • PM Gruber, Aspekty wypukłości i jej zastosowania, Ekspozycja. Matematyka, tom. 2 (1984), 47—83.
  • V. Klee, Co to jest zbiór wypukły? Amer. Matematyka. Miesięcznie, tom. 78 (1971), 616-631, DOI: 10.2307/2316569

Książki o geometrii wypukłej

  • T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlin, 1934. Tłumaczenie angielskie: Teoria ciał wypukłych, BCS Associates, Moskwa, ID, 1987.
  • RJ Gardner, Tomografia geometryczna, Cambridge University Press, Nowy Jork, 1995. Wydanie drugie: 2006.
  • PM Gruber , Geometria wypukła i dyskretna, Springer-Verlag, Nowy Jork 2007.
  • PM Gruber, JM Wills (red.), Podręcznik geometrii wypukłej. Cz. A. B, Holandia Północna, Amsterdam, 1993.
  • G. Pisier, Objętość ciał wypukłych i geometria przestrzeni Banacha, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
  • R. Schneider, Ciała wypukłe: teoria Brunna-Minkowskiego, Cambridge University Press, Cambridge, 1993; Wydanie drugie: 2014.
  • AC Thompson, geometria Minkowskiego, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
  • A. Koldobsky, V. Yaskin, The Interface between Convex Geometry and Harmonic Analysis, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2008.

Artykuły o historii geometrii wypukłej

  • W. Fenchel, Wypukłość przez wieki, (Duńskie) Duńskie Towarzystwo Matematyczne (1929-1973), s. 103-116, Dansk. Mata. Forening, Kopenhaga, 1973. Przekład angielski: Convexity through the Ages, w: PM Gruber, JM Wills (red.), Convexity and its Applications, s. 120–130, Birkhauser Verlag, Bazylea, 1983.
  • PM Gruber, Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen, w: G. Fischer, et al. (redaktorzy), Ein Jahrhundert Mathematik 1890—1990, s. 421—455, Dokumente Gesch. Matematyka, tom. 6, F. Wieweg i Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, Freiburg, 1990.
  • PM Gruber, Historia wypukłości, w: PM Gruber, JM Wills (red.), Podręcznik geometrii wypukłej. Cz. A, s. 1-15, Holandia Północna, Amsterdam, 1993.

Linki zewnętrzne