Twierdzenie Bircha - Birch's theorem

W matematyce , twierdzenie Birch jest , nazwana Bryan John Birch , jest oświadczenie o reprezentowalności zera przez dziwne formy stopnia.

Stwierdzenie twierdzenia Bircha

Niech K być Pole numeru algebraiczne , K , L i n są liczbami naturalnymi , r ₁ , ...,  r _k jest nieparzyste liczby naturalne i f ₁ , ...,  K _K być jednorodne wielomiany ze współczynnikami w K w stopniach r ₁ , ...,  r _k odpowiednio w n zmiennych. Wtedy istnieje liczba ψ ( r ₁ , ...,  r _k ,  l ,  K ) taka, że ​​if

${\ Displaystyle n \ geq \ psi (r_ {1}, \ ldots, r_ {k}, l, K)}$

wtedy istnieje l - wymiarowa podprzestrzeń wektorów V od K ⁿ taka, że

${\ Displaystyle f_ {1} (x) = \ cdots = f_ {k} (x) = 0 {\ tekst {dla wszystkich}} x \ w V.}$

Uwagi

Dowód twierdzenia jest przez indukcję nad stopniu maksymalnym form f ₁ , ...,  f _k . Istotny dla dowodu jest przypadek szczególny, który można udowodnić za pomocą metody koła Hardy'ego-Littlewooda , twierdzenia, które mówi, że jeśli n jest wystarczająco duże, a r jest nieparzyste, to równanie

${\ Displaystyle c_ {1} x_ {1} ^ {r} + \ cdots + c_ {n} x_ {n} ^ {r} = 0, \ quad c_ {i} \ w \ mathbb {Z}, \ ja =1,\ldots ,n}$

ma rozwiązanie w liczbach całkowitych x ₁ , ...,  x _n , z których nie wszystkie są równe 0.

Ograniczenie do nieparzystego r jest konieczne, ponieważ formy parzystego stopnia, takie jak dodatnio określone formy kwadratowe , mogą przyjmować wartość 0 tylko w początku.

Bibliografia