Problem z urną - Urn problem

W prawdopodobieństwa i statystyki , problemem urna jest wyidealizowany ćwiczenie umysłowe , w których niektóre przedmioty rzeczywistym interesie (takich jak atomy, ludzi, samochody, etc.) są reprezentowane jako kolorowe kulki w urnie lub innego pojemnika. Udaje się, że wyjmuje się z urny jedną lub więcej kul; celem jest określenie prawdopodobieństwa narysowania jednego lub drugiego koloru lub innych właściwości. Poniżej opisano kilka ważnych odmian.

Modelu urna jest albo zbiorem prawdopodobieństw opisujących wydarzenia w ramach problemu urn, czy jest to rozkład prawdopodobieństwa , czy rodzina takich rozkładów, od zmiennych losowych związanych z problemami urny.

Podstawowy model urny

W tym podstawowym modelu urny w teorii prawdopodobieństwa urna zawiera x białych i y czarnych kul, dobrze wymieszanych ze sobą. Jedna kula jest losowo losowana z urny i obserwuje się jej kolor; jest następnie umieszczana z powrotem w urnie (lub nie), a proces selekcji jest powtarzany.

Możliwe pytania, na które można odpowiedzieć w tym modelu to:

• Czy z n obserwacji mogę wywnioskować proporcje białych i czarnych kulek ? Z jakim stopniem pewności?
• Znając x i y , jakie jest prawdopodobieństwo narysowania określonej sekwencji (np. jeden biały, a potem jeden czarny)?
• Jeśli obserwuję tylko n kul, jak mogę być pewien, że nie ma czarnych kul? (Odmiana pierwszego pytania)

Przykłady problemów z urną

• Rozkład beta-dwumianowy : jak wyżej, z tym wyjątkiem, że za każdym razem, gdy obserwowana jest kula, do urny dodawana jest dodatkowa kula tego samego koloru. W związku z tym rośnie liczba wszystkich kulek w urnie. Zobacz model urny Pólya .
• rozkład dwumianowy : rozkład liczby udanych losowań (prób), tj. ekstrakcji białych kul, przy danym n losowaniach z zastąpieniem w urnie kulami czarnymi i białymi.
• Urna Hoppe : urna Pólya z dodatkową kulą zwaną mutatorem . Po narysowaniu mutatora zostaje on zastąpiony dodatkową kulką w zupełnie nowym kolorze.
• rozkład hipergeometryczny : kule nie wracają do urny po wydobyciu. W związku z tym zmniejsza się liczba wszystkich kulek w urnie. Nazywa się to „rysowaniem bez wymiany”, przez sprzeciw wobec „rysowania z wymianą”.
• wielowymiarowy rozkład hipergeometryczny : jak wyżej, ale z kulkami o więcej niż dwóch kolorach.
• rozkład geometryczny : liczba losowań przed pierwszym udanym (poprawnie pokolorowanym) losowaniem.
• rozkład wielomianowy : urna zawiera kule w więcej niż dwóch kolorach.
• ujemny rozkład dwumianowy : liczba losowań przed wystąpieniem określonej liczby niepowodzeń (niepoprawnie pokolorowane losowania).
• Problem ten może pomieścić : rozkład liczby zajętych urny po randomizacji z k kul w n urny, związane z problem kolekcjonera kuponów i urodziny problemu .
• Urna Pólya : za każdym razem, gdy losowana jest kula określonego koloru, jest ona zastępowana dodatkową kulą tego samego koloru.
• Fizyka statystyczna : wyprowadzenie rozkładów energii i prędkości.
• Paradoks Ellsberg .

Uwagi historyczne

W Ars Conjectandi (1713) Jacob Bernoulli rozważał problem określenia, biorąc pod uwagę liczbę kamyków pobranych z urny, proporcji różnych kolorowych kamyków w urnie. Problem ten, znany jako problem odwrotnego prawdopodobieństwa , był przedmiotem badań w XVIII wieku, przyciągając uwagę Abrahama de Moivre i Thomasa Bayesa .

Bernoulli użył łacińskiego słowa urna , które oznacza przede wszystkim gliniane naczynie, ale jest to również termin używany w starożytnym Rzymie dla wszelkiego rodzaju naczyń do zbierania głosów lub losów; dzisiejsze włoskie słowo oznaczające urnę wyborczą to nadal urna . Inspiracją Bernoulliego mogły być loterie , wybory lub gry losowe, które polegały na wyciąganiu piłek z pojemnika, a twierdzono, że wybory w średniowiecznej i renesansowej Wenecji , w tym wybory doży , często obejmowały losowanie elektorów , kule w różnych kolorach wyciągnięte z urny.

Zobacz też

• Piłki do pojemników
• Problemy z rzucaniem monet
• Problem kolekcjonera kuponów
• Rozkład Dirichleta-wielomianowy
• Niecentralne rozkłady hipergeometryczne

Bibliografia

Dalsza lektura

• Johnsona, Normana L.; i Kotz Samuel (1977); Modele urny i ich zastosowanie: podejście do współczesnej teorii prawdopodobieństwa dyskretnego , Wiley ISBN  0-471-44630-0
• Mahmoud, Hosam M. (2008); Pólya Urn Models , Chapman & Hall/CRC. ISBN  1-4200-5983-1