Trygonometria czworościanu - Trigonometry of a tetrahedron

Trygonometria z czworościanu wyjaśnia relacje między długościach i różnych rodzajów kątów ogólnej czworościanu .

Wielkości trygonometryczne

Klasyczne wielkości trygonometryczne

Poniżej przedstawiono wielkości trygonometryczne ogólnie związane z ogólnym czworościanem:

6 długości krawędzi - powiązanych z sześcioma krawędziami czworościanu.
12 kątów twarzy - są trzy z nich dla każdej z czterech ścian czworościanu.
W 6 kątów dwuściennych - powiązane z sześciu krawędziach Tetrahedron, ponieważ każde dwie powierzchnie czworościanu są połączone na krawędzi.
4 kąty bryłowe - powiązane z każdym punktem czworościanu.

Niech będzie czworościanem ogólnym, w którym znajdują się dowolne punkty w przestrzeni trójwymiarowej . ${\ displaystyle X = {\ overline {P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4}}}}$ ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4}}$

Ponadto niech będzie krawędzią, która się łączy i niech będzie twarzą czworościanu naprzeciwko punktu ; innymi słowy: ${\ displaystyle e_ {ij}}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle P_ {j}}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$

${\ displaystyle e_ {ij} = {\ overline {P_ {i} P_ {j}}}}$
${\ displaystyle F_ {i} = {\ overline {P_ {j} P_ {k} P_ {l}}}}$

gdzie i . ${\ Displaystyle ja, j, k, l \ in \ {1, 2, 3, 4 \}}$ ${\ Displaystyle i \ neq j \ neq k \ neq l}$

Zdefiniuj następujące ilości:

${\ displaystyle d_ {ij}}$ = długość krawędzi ${\ displaystyle e_ {ij}}$
${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$ = kąt twarzy w punkcie na twarzy ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle F_ {j}}$
${\ displaystyle \ theta _ {ij}}$ = kąt dwuścienny między dwiema ścianami przylegającymi do krawędzi ${\ displaystyle e_ {ij}}$
${\ displaystyle \ Omega _ {i}}$ = kąt bryłowy w punkcie ${\ displaystyle P_ {i}}$

Powierzchnia i objętość

Niech będzie obszar twarzy . Taką powierzchnię można obliczyć za pomocą wzoru Herona (jeśli znane są wszystkie trzy długości krawędzi): ${\ displaystyle \ Delta _ {i}}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$

{\ Displaystyle \ Delta _ {i} = {\ sqrt {\ Frac {(d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (- d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} -d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} + d_ {jl} -d_ {kl})} {16}}}}

lub za pomocą następującego wzoru (jeśli znany jest kąt i dwie odpowiadające mu krawędzie):

{\ Displaystyle \ Delta _ {i} = {\ Frac {1} {2}} d_ {jk} d_ {jl} \ sin \ alfa _ {j, i}}

Niech będzie wysokość od punktu do twarzy . Objętość czworościanu jest przez następujący wzór: ${\ displaystyle h_ {i}}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle V = {\ Frac {1} {3}} \ Delta _ {i} h_ {i}}

Spełnia następującą zależność:

{\ Displaystyle 288V ^ {2} = {\ rozpocząć {vmatrix} 2Q_ {12} i Q_ {12} + Q_ {13} -Q_ {23} i Q_ {12} + Q_ {14} -Q_ {24} \\ Q_ {12} + Q_ {13} -Q_ {23} i 2Q_ {13} i Q_ {13} + Q_ {14} -Q_ {34} \\ Q_ {12} + Q_ {14} -Q_ {24} i Q_ {13 } + Q_ {14} -Q_ {34} i 2Q_ {14} \ end {vmatrix}}}

gdzie są kwadraty (kwadrat długości) krawędzi. ${\ displaystyle Q_ {ij} = d_ {ij} ^ {2}}$

Podstawowe stwierdzenia trygonometrii

Trójkąt afiniczny

Weź twarz ; krawędzie będą miały długość, a odpowiednie przeciwne kąty są podane przez . ${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle d_ {jk}, d_ {jl}, d_ {kl}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {l, i}, \ alpha _ {k, i}, \ alpha _ {j, i}}$

Zwykłe prawa dotyczące trygonometrii planarnej trójkąta obowiązują dla tego trójkąta.

Trójkąt rzutowy

Rozważ trójkąt rzutowy (sferyczny) w punkcie ; wierzchołki tego trójkąta rzutowego to trzy linie, które łączą się z pozostałymi trzema wierzchołkami czworościanu. Krawędzie będą miały kuliste długości, a odpowiednie przeciwległe sferyczne kąty są podane przez . ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}, \ alpha _ {i, k}, \ alpha _ {i, l}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {ij}, \ theta _ {ik}, \ theta _ {il}}$

Zwykłe prawa trygonometrii sferycznej obowiązują dla tego trójkąta rzutowego.

Prawa trygonometrii dla czworościanu

Twierdzenie o naprzemiennych sinusach

Weź czworościan i potraktuj ten punkt jako wierzchołek. Twierdzenie o naprzemiennych sinusach ma następującą tożsamość: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$

{\ Displaystyle \ sin (\ alfa _ {j, l}) \ sin (\ alpha _ {k, j}) \ sin (\ alpha _ {l, k}) = \ sin (\ alpha _ {j, k }) \ sin (\ alpha _ {k, l}) \ sin (\ alpha _ {l, j})}

Można postrzegać dwa boki tej tożsamości jako odpowiadające orientacji powierzchni zgodnie z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Przestrzeń wszystkich kształtów czworościanów

Umieszczenie dowolnego z czterech wierzchołków w roli O daje cztery takie tożsamości, ale najwyżej trzy z nich są niezależne; jeśli pomnożone zostaną „zgodne” z ruchem wskazówek zegara strony trzech z czterech tożsamości i zostanie wywiedziony iloczyn równy iloczynowi „przeciwnych do ruchu wskazówek zegara” stron tych samych trzech tożsamości, a następnie wspólne czynniki zostaną anulowane z obu stron, wynik jest czwarta tożsamość.

Trzy kąty to kąty jakiegoś trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy ich suma wynosi 180 ° (π radianów). Jaki warunek 12 kątów jest konieczny i wystarczający, aby były to 12 kątów jakiegoś czworościanu? Oczywiście suma kątów po dowolnej stronie czworościanu musi wynosić 180 °. Ponieważ istnieją cztery takie trójkąty, istnieją cztery takie ograniczenia na sumach kątów, a liczba stopni swobody jest w ten sposób zmniejszana z 12 do 8. Cztery relacje określone przez prawo sinusowe dodatkowo zmniejszają liczbę stopni swobody, z 8 do nie 4, ale 5, ponieważ czwarte ograniczenie nie jest niezależne od pierwszych trzech. Zatem przestrzeń wszystkich kształtów czworościanów jest 5-wymiarowa.

Prawo sinusów dla czworościanu

Zobacz: Prawo sinusów

Prawo cosinusów dla czworościanu

Twierdzenie cosinusów dla czworościanu dotyczy obszarów każdej powierzchni czworościanu i kątów dwuściennych około punktu. Nadaje mu następująca tożsamość:

{\ Displaystyle \ Delta _ {i} ^ {2} = \ Delta _ {j} ^ {2} + \ Delta _ {k} ^ {2} + \ Delta _ {l} ^ {2} -2 (\ Delta _ {j} \ Delta _ {k} \ cos \ theta _ {il} + \ Delta _ {j} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ik} + \ Delta _ {k} \ Delta _ {l} \ cos \ theta _ {ij})}

Zależność między dwuściennymi kątami czworościanu

Weź ogólny czworościan i rzutuj twarze na płaszczyznę z twarzą . Niech . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F_ {i}, F_ {j}, F_ {k}}$ ${\ displaystyle F_ {l}}$ ${\ displaystyle c_ {ij} = \ cos \ theta _ {ij}}$

Następnie powierzchnia twarzy jest sumą rzutowanych powierzchni w następujący sposób: ${\ displaystyle F_ {l}}$

{\ Displaystyle \ Delta _ {l} = \ Delta _ {i} c_ {jk} + \ Delta _ {j} c_ {ik} + \ Delta _ {k} c_ {ij}}

Podstawiając każdą z czterech ścian czworościanu, otrzymujemy następujący jednorodny układ równań liniowych:

{\ Displaystyle ja, j, k, l \ in \ {1, 2, 3, 4 \}}

{\ displaystyle {\ begin {przypadków} - \ Delta _ {1} + \ Delta _ {2} c_ {34} + \ Delta _ {3} c_ {24} + \ Delta _ {4} c_ {23} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {34} - \ Delta _ {2} + \ Delta _ {3} c_ {14} + \ Delta _ {4} c_ {13} = 0 \\\ Delta _ { 1} c_ {24} + \ Delta _ {2} c_ {14} - \ Delta _ {3} + \ Delta _ {4} c_ {12} = 0 \\\ Delta _ {1} c_ {23} + \ Delta _ {2} c_ {13} + \ Delta _ {3} c_ {12} - \ Delta _ {4} = 0 \ end {cases}}}

Ten jednorodny system będzie miał rozwiązania właśnie wtedy, gdy:

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} -1 & c_ {34} & c_ {24} & c_ {23} \\ c_ {34} & - 1 & c_ {14} & c_ {13} \\ c_ {24} & c_ {14} & - 1 & c_ {12} \\ c_ {23} & c_ {13} & c_ {12} & - 1 \ end {vmatrix}} = 0}

Rozszerzając ten wyznacznik, uzyskuje się następującą zależność między dwuściennymi kątami czworościanu:

{\ Displaystyle 1- \ suma _ {1 \ równoważnik ja <j \ równoważnik 4} c_ {ij} ^ {2} + \ suma _ {j = 2 \ na szczycie k \ neq l \ neq j} ^ {4} c_ {1j} ^ {2} c_ {kl} ^ {2} = 2 \ left (\ sum _ {i = 1 \ atop j \ neq k \ neq l \ neq i} ^ {4} c_ {ij} c_ { ik} c_ {il} + \ sum _ {2 \ leq j <k \ leq 4 \ atop l \ neq j, k} c_ {1j} c_ {1k} c_ {jl} c_ {kl} \ right)}

Odległości skośne między krawędziami czworościanu

Weź ogólny czworościan i niech będzie punktem na krawędzi i punktem na krawędzi, tak aby odcinek linii był prostopadły do obu & . Niech będzie długością odcinka linii . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P_ {ij}}$ ${\ displaystyle e_ {ij}}$ ${\ displaystyle P_ {kl}}$ ${\ displaystyle e_ {kl}}$ ${\ displaystyle {\ overline {P_ {ij} P_ {kl}}}}$ ${\ displaystyle e_ {ij}}$ ${\ displaystyle e_ {kl}}$ ${\ displaystyle R_ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ overline {P_ {ij} P_ {kl}}}}$

Aby znaleźć : ${\ displaystyle R_ {ij}}$

Najpierw utwórz linię przechodzącą równolegle do i kolejną linię równoległą do . Niech będzie przecięciem tych dwóch linii. Dołącz do punktów i . Z założenia jest równoległobokiem, a zatem i są przystającymi trójkątami. Tak więc czworościan i mają taką samą objętość. ${\ displaystyle P_ {k}}$ ${\ displaystyle e_ {il}}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle e_ {kl}}$ ${\ displaystyle O}$ ${\ displaystyle O}$ ${\ displaystyle P_ {j}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OP_ {i} P_ {l} P_ {k}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OP_ {k} P_ {i}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OP_ {l} P_ {i}}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y = {\ overline {OP_ {i} P_ {j} P_ {k}}}}$

W konsekwencji ilość jest równa wysokości od punktu do czoła czworościanu ; jest to pokazane poprzez translację segmentu linii . ${\ displaystyle R_ {ij}}$ ${\ displaystyle P_ {k}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OP_ {i} P_ {j}}}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle {\ overline {P_ {ij} P_ {kl}}}}$

Według wzoru na objętość czworościan spełnia następującą zależność: ${\ displaystyle Y}$

{\ displaystyle 3V = R_ {ij} \ razy \ Delta ({\ overline {OP_ {i} P_ {j}}})}

gdzie jest obszar trójkąta . Ponieważ długość odcinka linii jest równa (podobnie jak równoległobok):

{\ displaystyle \ Delta ({\ overline {OP_ {i} P_ {j}}})}

{\ displaystyle {\ overline {OP_ {i} P_ {j}}}}

{\ displaystyle {\ overline {OP_ {i}}}}

{\ displaystyle d_ {kl}}

{\ displaystyle {\ overline {OP_ {i} P_ {l} P_ {k}}}}

{\ Displaystyle \ Delta ({\ overline {OP_ {i} P_ {j}}}) = {\ Frac {1} {2}} d_ {ij} d_ {kl} \ sin \ lambda}

gdzie . W ten sposób poprzednia relacja staje się:

{\ Displaystyle \ lambda = \ kąt OP_ {i} P_ {j}}

{\ Displaystyle 6V = R_ {ij} d_ {ij} d_ {kl} \ sin \ lambda}

Aby uzyskać , rozważ dwa sferyczne trójkąty:

{\ Displaystyle \ sin \ lambda}

Weź kulisty trójkąt czworościanu w punkcie ; będzie miał boki i przeciwne kąty . Zgodnie z sferycznym prawem cosinusów: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}, \ alpha _ {i, k}, \ alpha _ {i, l}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {ij}, \ theta _ {ik}, \ theta _ {il}}$ ${\ Displaystyle \ cos \ alfa _ {i, k} = \ cos \ alfa _ {ja, j} \ cos \ alfa _ {ja, l} + \ sin \ alfa _ {i, j} \ sin \ alfa _ {i, l} \ cos \ theta _ {ik}}$
Weź kulisty trójkąt czworościanu w tym punkcie . Boki są podane przez, a jedynym znanym przeciwnym kątem jest kąt , podany przez . Zgodnie z sferycznym prawem cosinusów: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i, l}, \ alpha _ {k, j}, \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ pi - \ theta _ {ik}}$ ${\ Displaystyle \ cos \ lambda = \ cos \ alfa _ {ja, l} \ cos \ alfa _ {k, j} - \ sin \ alfa _ {ja, l} \ sin \ alfa _ {k, j} \ cos \ theta _ {ik}}$