Całkowicie odłączona przestrzeń - Totally disconnected space

W topologii i powiązanych gałęziach matematyki , całkowicie rozłączona przestrzeń jest przestrzenią topologiczną, która jest maksymalnie rozłączona, w tym sensie, że nie ma nietrywialnych połączonych podzbiorów. W każdej przestrzeni topologicznej singletony (oraz, gdy uważamy, że jest on połączony, zbiór pusty) są połączone; w całkowicie odłączonej przestrzeni są to jedyne połączone właściwe podzbiory.

Ważnym przykładem całkowicie odłączonej przestrzeni jest zbiór Cantora . Innym przykładem, odgrywa kluczową rolę w algebraicznej teorii liczb , jest pole $Q p$ o p liczb -adic .

Definicja

Przestrzeń topologiczna jest całkowicie odłączona , gdy połączone elementy w to zestawy jeden punkt. Analogicznie, przestrzeń topologiczna jest całkowicie odłączony ścieżka- jeśli wszystkie path-komponenty w to zbiory jednopunktowe. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

Innym ściśle powiązanym pojęciem jest pojęcie przestrzeni całkowicie odseparowanej , tj. przestrzeni, w której quasikomponenty są singletonami. Równoważnie, przestrzeń topologiczna jest przestrzenią całkowicie oddzieloną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego przecięcia wszystkich sklonowanych sąsiedztw jest singleton . Równoważnie, dla każdej pary różnych punktach , znajduje się para rozłącznych otwartych okolic w taki sposób, że . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x \ w X}$ $x$ ${\ Displaystyle \ {x \}}$ $x,y\wX$ ${\ Displaystyle U, V}$ $x,y$ ${\ Displaystyle X = U \ sqcup V}$

Każda całkowicie oddzielona przestrzeń jest ewidentnie całkowicie odłączona, ale odwrotność jest fałszywa nawet dla przestrzeni metrycznych. Weźmy na przykład tipi Kantora, czyli wachlarz Knastera-Kuratowskiego z usuniętym wierzchołkiem. Wtedy jest całkowicie odłączony, ale jego quasi-komponenty nie są singletonami. Dla lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa te dwa pojęcia ( całkowicie rozłączne i całkowicie rozdzielone ) są równoważne. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

Niestety w literaturze (na przykład ), przestrzenie całkowicie rozłączone są czasami nazywane dziedzicznie rozłączonymi, podczas gdy terminologia całkowicie rozłączona jest używana dla przestrzeni całkowicie oddzielonych.

Przykłady

Oto przykłady całkowicie odłączonych przestrzeni:

Dyskretne przestrzenie
Te liczby wymierne
W liczb niewymiernych
Te liczby p-adyczne ; bardziej ogólnie, wszystkie grupy nieskończone są całkowicie odłączone.
Zbiór Cantora i przestrzeni Cantor
Przestrzeń Baire
Linia Sorgenfrey
Każda przestrzeń Hausdorffa o małym wymiarze indukcyjnym 0 jest całkowicie odłączona
Przestrzeń Erda ℓ ² jest całkowicie odłączoną przestrzenią Hausdorffa, która nie ma małego wymiaru indukcyjnego 0. ${\ Displaystyle \ \ czapka \ \ mathbb {Q} ^ {\ omega}}$
Niezwykle odłączone przestrzenie Hausdorffa
Kamienne przestrzenie
Wentylator Knaster-Kuratowskiego stanowi przykład podłączonego przestrzeni tak, że usunięcie jednego punktu wytwarza całkowicie odłączonego przestrzeni.

Nieruchomości

Podprzestrzenie , iloczyny i koprodukty całkowicie rozłącznych przestrzeni są całkowicie rozłączone.
Całkowicie odłączone przestrzenie T ₁ przestrzenie , gdyż Singleton'y są zamknięte.
Ciągłe obrazy całkowicie odłączonych przestrzeni niekoniecznie są całkowicie odłączone, w rzeczywistości każda zwarta przestrzeń metryczna jest ciągłym obrazem zbioru Cantora .
Lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa ma mały wymiar indukcyjny 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowicie odłączona.
Każda całkowicie odłączona zwarta przestrzeń metryczna jest homeomorficzna względem podzbioru policzalnego iloczynu przestrzeni dyskretnych .
Na ogół nie jest prawdą, że każdy otwarty zbiór w całkowicie odłączonej przestrzeni jest również zamknięty.
Na ogół nie jest prawdą, że domknięcie każdego zbioru otwartego w przestrzeni całkowicie rozłącznej jest otwarte, tj. nie każda całkowicie rozłączona przestrzeń Hausdorffa jest ekstremalnie rozłączona .

Konstruowanie całkowicie odłączonej przestrzeni

Niech będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Let wtedy i tylko wtedy, gdy (gdzie oznacza największy połączony podzbiór zawierający ). Jest to oczywiście relacja równoważności, której klasy równoważności są połączonymi składnikami . Zasilenia z topologią ilorazu , tj najlepszych topologii podejmowania mapa ciągły. Przy odrobinie wysiłku widzimy, że jest to całkowicie oderwane. Mamy również następującą uniwersalną własność : jeśli ciągłe odwzorowanie na całkowicie oddzieloną przestrzeń , to istnieje unikalne ciągłe odwzorowanie z . ${\ Displaystyle X}$ $x\sim y$ ${\ Displaystyle y \ w \ operatorname {conn} (x)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {conn} (x)}$ $x$ ${\ Displaystyle X}$ $X/{\sim}$ ${\ Displaystyle m: x \ mapsto \ operatorname {conn} (x)}$ $X/{\sim}$ $f:X\rightarrow Y$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\breve {f}}:(X/\sim)\rightarrow Y$ $f={\breve {f}}\circ m$