Integracja symboliczna - Symbolic integration

W rachunku , integracja symboliczny jest problem znalezienia formułę pierwotna lub nieoznaczona , danej funkcji f ( x ), tj znaleźć funkcji różniczkowalną F ( x ) w taki sposób, że

{\ Displaystyle {\ Frac {dF} {dx}} = f (x).}

Jest to również oznaczone

{\ Displaystyle F (x) = \ int f (x) \ dx.}

Dyskusja

Termin symboliczny służy do odróżnienia tego problemu od całkowania numerycznego , gdzie wartość F jest poszukiwana na określonym wejściu lub zestawie wejść, a nie na ogólnym wzorze na F .

Oba problemy miały znaczenie praktyczne i teoretyczne na długo przed erą komputerów cyfrowych, ale obecnie są powszechnie uważane za domenę informatyki , ponieważ komputery są obecnie najczęściej używane do rozwiązywania pojedynczych przypadków.

Znalezienie pochodnej wyrażenia jest prostym procesem, dla którego łatwo jest skonstruować algorytm . Odwrotna kwestia znalezienia całki jest znacznie trudniejsza. Wiele wyrażeń, które są stosunkowo proste, nie posiada całek, które można wyrazić w formie zamkniętej . Zobacz pierwotna i nonelementary całkę po więcej szczegółów.

Istnieje procedura zwana algorytmem Rischa , która jest w stanie określić, czy całka funkcji elementarnej (funkcja zbudowana ze skończonej liczby wykładników , logarytmów , stałych i n-tych pierwiastków poprzez złożenie i kombinacje przy użyciu czterech operacji elementarnych ) jest elementarna i zwracająca jeśli tak jest. W swojej pierwotnej postaci algorytm Rischa nie nadawał się do bezpośredniej implementacji, a jego pełna implementacja trwała długo. Po raz pierwszy został zaimplementowany w Reduce w przypadku funkcji czysto transcendentalnych; przypadek funkcji czysto algebraicznych został rozwiązany i zaimplementowany w Reduce przez Jamesa H. Davenporta ; ogólny przypadek został rozwiązany i zaimplementowany w Aksjomie przez Manuela Bronsteina.

Jednak algorytm Risch odnosi się tylko do nieokreślonym całek i większość całek zainteresowania fizyków, chemików i inżynierów teoretycznych, są konkretne Całki często związane z transformaty Laplace'a , transformaty Fouriera i transformaty Mellin . Z braku ogólnego algorytmu twórcy systemów algebry komputerowej zaimplementowali heurystykę opartą na dopasowywaniu wzorców i wykorzystywaniu funkcji specjalnych, w szczególności niepełnej funkcji gamma . Chociaż podejście to jest raczej heurystyczne niż algorytmiczne, jest to jednak skuteczna metoda rozwiązywania wielu całek oznaczonych napotykanych w praktycznych zastosowaniach inżynierskich. Wcześniejsze systemy, takie jak Macsyma, miały kilka całek oznaczonych związanych z funkcjami specjalnymi w tabeli przeglądowej. Jednak ta szczególna metoda, polegająca na różnicowaniu funkcji specjalnych pod względem ich parametrów, transformacji zmiennych, dopasowywania wzorców i innych manipulacji, była pionierem twórców systemu Maple , a następnie emulowanych przez systemy Mathematica , Axiom , MuPAD i inne.

Najnowsze postępy

Główny problem w klasycznym podejściu do integracji symbolicznej polega na tym, że jeśli funkcja jest reprezentowana w formie zamkniętej , to na ogół jej funkcja pierwotna nie ma podobnej reprezentacji. Innymi słowy, klasa funkcji, które mogą być reprezentowane w formie zamkniętej, nie jest domknięta w ramach funkcji pierwotna.

Funkcje holonomiczne to duża klasa funkcji, która jest zamknięta na antyderykacyjnie i pozwala na algorytmiczną implementację w komputerach całkowania i wielu innych operacji rachunku różniczkowego.

Dokładniej, funkcja holonomiczna jest rozwiązaniem jednorodnego liniowego równania różniczkowego ze współczynnikami wielomianowymi. Funkcje holonomiczne są zamknięte na dodawanie i mnożenie, derywację i antyderywację. Obejmują one algebraicznych funkcji , funkcja wykładnicza , logarytm , sinus , cosinus , odwrotne funkcje trygonometryczne , funkcje hiperboliczne odwrotne . Obejmują one również najczęstszą specjalne funkcje, takie jak funkcja Airy , funkcji błędu , funkcje Bessela i wszystkimi funkcjami hipergeometryczny .

Podstawową własnością funkcji holonomicznych jest to, że współczynniki ich szeregu Taylora w dowolnym punkcie spełniają liniową relację rekurencyjności ze współczynnikami wielomianowymi i że ta relacja rekurencyjności może być obliczona z równania różniczkowego definiującego funkcję. Odwrotnie, biorąc pod uwagę taką relację powtarzalności między współczynnikami szeregu potęgowego , ten szereg potęgowy definiuje funkcję holonomiczną, której równanie różniczkowe można obliczyć algorytmicznie. Ta zależność rekurencyjności pozwala na szybkie obliczenie szeregu Taylora, a tym samym wartości funkcji w dowolnym punkcie, z dowolnym małym błędem certyfikowanym.

To sprawia, że większość operacji rachunku różniczkowego jest algorytmiczna , gdy jest ograniczona do funkcji holonomicznych, reprezentowanych przez ich równanie różniczkowe i warunki początkowe. Obejmuje to obliczanie funkcji pierwotnych i całek oznaczonych (jest to równoznaczne z obliczaniem funkcji pierwotnej w punktach końcowych przedziału całkowania). Obejmuje to również obliczanie asymptotycznego zachowania funkcji w nieskończoności, a więc całek oznaczonych na przedziałach nieograniczonych.

Wszystkie te operacje są zaimplementowane w bibliotece algolib dla Maple . Zobacz także Dynamiczny słownik funkcji matematycznych.

Przykład

Na przykład:

{\ Displaystyle \ int x ^ {2} \ dx = {\ Frac {x ^ {3}} {3}} + C}

jest wynikiem symbolicznym dla całki nieoznaczonej (tu C jest stałą całkowania ),

{\ Displaystyle \ int _ {-1} ^ {1} x ^ {2} \, dx = \ lewo [{\ Frac {x ^ {3}} {3}} \ prawo] _ {-1} ^ { 1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}

jest wynikiem symbolicznym dla całki oznaczonej, a

{\ Displaystyle \ int _ {-1} ^ {1} x ^ {2} \ dx \ około 0,6667}

jest wynikiem liczbowym dla tej samej całki oznaczonej.

Zobacz też

Bibliografia

^ KO Geddes , ML Glasser, RA Moore i TC Scott, Ocena klas całek oznaczonych obejmujących funkcje elementarne poprzez różnicowanie funkcji specjalnych , AAECC (Algebra stosowana w inżynierii, komunikacji i informatyce), tom. 1, (1990), s. 149-165, [1]
^ KO Geddes i TC Scott, Recipes for Classes of Definite Całki z udziałem wykładników i logarytmów , Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics Conference (odbywającej się w MIT 12 czerwca 1989), pod redakcją E. Kaltofena i SM Watta, Springer-Verlag, Nowy Jork (1989), s. 192-201. [2]
^ Http://algo.inria.fr/libraries/ algolib
^ http://ddmf.msr-inria.inria.fr Dynamiczny słownik funkcji matematycznych

Bronstein, Manuel (1997), Integracja symboliczna 1 (funkcje transcendentalne) (2 wyd.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-60521-5
Mojżesz, Joel (23-25 marca 1971), „Integracja symboliczna: burzliwa dekada”, Proceedings of Second ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Manipulation , Los Angeles, Kalifornia: 427-440

Zewnętrzne linki

Bhatt, Bhuvanesh. „Algorytm Rischa” . MatematykaŚwiat .
Wolfram Integrator — Darmowa symboliczna integracja online z Mathematica

[1] KO Geddes , ML Glasser, RA Moore i TC Scott, Ocena klas całek oznaczonych obejmujących funkcje elementarne poprzez różnicowanie funkcji specjalnych , AAECC (Algebra stosowana w inżynierii, komunikacji i informatyce), tom. 1, (1990), s. 149-165, [1]

[2] KO Geddes i TC Scott, Recipes for Classes of Definite Całki z udziałem wykładników i logarytmów , Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics Conference (odbywającej się w MIT 12 czerwca 1989), pod redakcją E. Kaltofena i SM Watta, Springer-Verlag, Nowy Jork (1989), s. 192-201. [2]

[3] Http://algo.inria.fr/libraries/ algolib

[4] ttp://ddmf.msr-inria.inria.fr Dynamiczny słownik funkcji matematycznych

Languages

In other projects