Słowniczek symboli matematycznych - Glossary of mathematical symbols

Matematyczny symbol jest postacią lub kombinacją liczb, które są używane do reprezentowania matematycznego obiektu , na działanie obiektów matematycznych zależność pomiędzy obiektów matematycznych lub struktury inne symbole, które występują we wzorze . Ponieważ formuły składają się w całości z symboli różnych typów, wiele symboli jest potrzebnych do wyrażenia całej matematyki.

Najbardziej podstawowe symbole to cyfry dziesiętne (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) oraz litery alfabetu łacińskiego . Cyfry dziesiętne są używane do przedstawiania liczb w hindusko-arabskim systemie liczbowym . Historycznie, duże litery były używane do przedstawiania punktów w geometrii, a małe litery były używane do zmiennych i stałych . Litery są używane do reprezentowania wielu innych rodzajów obiektów matematycznych . Ponieważ liczba tych rodzajów dramatycznie wzrosła we współczesnej matematyce, używa się również alfabetu greckiego i niektórych liter hebrajskich . We wzorach matematycznych standardową czcionką jest kursywa dla liter łacińskich i małych liter greckich oraz pismo pionowe dla wielkich liter greckich. Aby uzyskać więcej symboli, używane są również inne kroje pisma, głównie pogrubienie , krój pisma ( pozostałe litery są rzadko używane ze względu na możliwość pomylenia ze standardową czcionką ), niemiecki fraktur i pogrubienie tablicowe (pozostałe litery są rzadko używane w tym obliczu, lub ich użycie jest niekonwencjonalne). $\mathbf {a,A,b,B},\ldots$ ${\mathcal {A,B}},\ldots$ ${\mathfrak {a,A,b,B}},\ldots$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N, Z, Q, R, C, H, F} _ {q}}$

W tym artykule nie opisano użycia liter łacińskich i greckich jako symboli oznaczania obiektów matematycznych . Dla takich zastosowań zobacz Zmienne (matematyka) i Lista stałych matematycznych . Jednak niektóre opisane tutaj symbole mają taki sam kształt jak litera, od której pochodzą, na przykład i . $\textstyle \prod {}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma {}}$

Litery nie wystarczają na potrzeby matematyków i używa się wielu innych symboli. Niektóre wywodzą się ze znaków interpunkcyjnych i diakrytycznych tradycyjnie stosowanych w typografii . Inne, takie jak $+$ i $=$ , zostały specjalnie zaprojektowane dla matematyki, często przez deformację niektórych liter, jak w przypadku i . ${\ Displaystyle \ w}$ $\forall$

Układ

Zazwyczaj wpisy w glosariuszu są uporządkowane tematycznie i posortowane alfabetycznie. Nie jest to tutaj możliwe, ponieważ nie ma naturalnego porządku na symbolach, a wiele symboli jest używanych w różnych częściach matematyki o różnych znaczeniach, często zupełnie niepowiązanych. W związku z tym należało dokonać pewnych arbitralnych wyborów, które podsumowano poniżej.

Artykuł jest podzielony na sekcje, które są posortowane według rosnącego poziomu technicznego. Oznacza to, że pierwsze sekcje zawierają symbole, które można spotkać w większości tekstów matematycznych i które powinny być znane nawet początkującym. Z drugiej strony, ostatnie sekcje zawierają symbole, które są specyficzne dla jakiejś dziedziny matematyki i są ignorowane poza tymi obszarami. Długa sekcja w nawiasach została jednak umieszczona blisko końca, chociaż większość jej wpisów jest elementarna: ułatwia to wyszukiwanie wpisu symbolu przez przewijanie.

Większość symboli ma wiele znaczeń, które na ogół można rozróżnić albo według dziedziny matematyki, w której są używane, albo według ich składni , to znaczy ich położenia w formule i charakteru innych części formuły, które są im bliskie.

Ponieważ czytelnicy mogą nie być świadomi dziedziny matematyki, z którą związany jest poszukiwany symbol, różne znaczenia symbolu są pogrupowane w sekcji odpowiadającej ich najczęstszemu znaczeniu.

Gdy znaczenie zależy od składni, symbol może mieć różne wpisy w zależności od składni. W celu podsumowania składni w nazwie wpisu symbol służy do reprezentowania sąsiednich części formuły zawierającej symbol. Zobacz § Nawiasy, aby zapoznać się z przykładami użycia. ${\ Displaystyle \ Box}$

Większość symboli ma dwie drukowane wersje. Mogą być wyświetlane jako znaki Unicode lub w formacie LaTeX . Dzięki wersji Unicode korzystanie z wyszukiwarek i kopiowanie-wklejanie jest łatwiejsze. Z drugiej strony renderowanie LaTeX jest często znacznie lepsze (bardziej estetyczne) i jest powszechnie uważane za standard w matematyce. Dlatego w tym artykule wersja Unicode symboli jest używana (jeśli to możliwe) do oznaczania ich wpisu, a wersja LaTeX jest używana w ich opisie. Tak więc, aby dowiedzieć się, jak wpisać symbol w LaTeX-ie, wystarczy spojrzeć na źródło artykułu.

W przypadku większości symboli nazwa wpisu jest odpowiednim symbolem Unicode. Tak więc, aby wyszukać wpis symbolu, wystarczy wpisać lub skopiować symbol Unicode do pola tekstowego wyszukiwania. Podobnie, jeśli to możliwe, nazwa wpisu symbolu jest również kotwicą , która umożliwia łatwe tworzenie linków z innego artykułu Wikipedii. Gdy nazwa wpisu zawiera znaki specjalne, takie jak [, ] i |, istnieje również kotwica, ale aby ją poznać, trzeba spojrzeć na źródło artykułu.

Wreszcie, gdy istnieje artykuł dotyczący samego symbolu (nie jego matematycznego znaczenia), jest on powiązany z nazwą wpisu.

Operatory arytmetyczne

$+$: 1. Oznacza dodawanie i jest odczytywany jako plus ; na przykład $3 + 2$ .; 2. Czasami używany zamiast na suma rozłączna z zestawów . $\sqcup$
$-$: 1. Oznacza odejmowanie i jest odczytywane jako minus ; na przykład $3 - 2$ .; 2. Oznacza odwrotność dodatku i jest odczytywana jako ujemna lub przeciwna do ; na przykład $-2$ .; 3. Używany również zamiast $\$ dla oznaczenia dopełnienia w teorii mnogości ; patrz \ w § Teoria mnogości .
$\times$: 1. W elementarnej arytmetyce oznacza mnożenie i jest odczytywany jako czasy ; na przykład $3 \times 2$ .; 2. W geometrii i algebrze liniowej , oznacza iloczyn poprzeczny .; 3. W teorii mnogości i teorii kategorii oznacza iloczyn kartezjański i iloczyn bezpośredni . Zobacz także × w § Teoria mnogości .
$\cdot$: 1. Oznacza mnożenie i jest odczytywany jako czasy ; na przykład $3 \cdot 2$ .; 2. W geometrii i algebrze liniowej , oznacza iloczyn skalarny .; 3. Symbol zastępczy używany do zastąpienia nieokreślonego elementu. Na przykład " wartość bezwzględna jest oznaczona $| \cdot |$ " jest jaśniejsza niż powiedzenie, że jest oznaczona jako $| |$ .
$\pm$: 1. Oznacza znak plus lub minus.; 2. Oznacza zakres wartości, jakie może mieć mierzona wielkość; na przykład $10 \pm 2$ oznacza nieznaną wartość, która leży między 8 a 12.
$\mp$: Używane w połączeniu z $\pm$ oznacza przeciwny znak; czyli $+$ jeśli $\pm$ to $-$ i $-$ jeśli $\pm$ to $+$ .
$\div$: Szeroko stosowany do oznaczania dzielenia w krajach anglojęzycznych, nie jest już powszechnie używany w matematyce i jego stosowanie jest „niezalecane”. W niektórych krajach może oznaczać odejmowanie.
$:$: 1. Oznacza stosunek dwóch wielkości.; 2. W niektórych krajach może oznaczać podział .; 3. W notacji set-builder , jest używany jako separator oznaczający "takie, że"; zobacz ${□ : □}$ .
$/$: 1. Oznacza dzielenie i jest odczytywane jako dzielenie przez lub przez . Często zastępowany poziomym paskiem. Na przykład $3 / 2$ lub . ${\frac {3}{2}}$; 2. Oznacza strukturę ilorazową . Na przykład, iloraz zadanej , iloraz grupowej , iloraz kategorii , etc.; 3. W teorii liczb i teorii pola , oznacza rozszerzenie ciała , gdzie $M$ JEST polu rozszerzenia w polu $E$ . ${\ Displaystyle F/E}$; 4. W rachunku prawdopodobieństwa oznacza prawdopodobieństwo warunkowe . Na przykład oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia $A$ , zakładając, że występuje $B.$ Oznaczone również : patrz " $|$ ". ${\ Displaystyle P (A/B)}$ ${\ Displaystyle P (A \ mid B)}$
$\sqrt$: Oznacza pierwiastek kwadratowy i jest odczytywany jako pierwiastek kwadratowy z . Rzadko używany we współczesnej matematyce bez poziomej kreski ograniczającej szerokość argumentu (patrz następny punkt). Na przykład $\sqrt2$ .
$\sqrt$: 1. Oznacza pierwiastek kwadratowy i jest odczytywany jako pierwiastek kwadratowy z . Na przykład . ${\sqrt {3+2}}$; 2. Z liczbą całkowitą większą niż 2 w lewym indeksie górnym, oznacza $n-$ ty pierwiastek . Na przykład . ${\sqrt[{7}]{3}}$
$^$: 1. Potęgowanie jest zwykle oznaczane indeksem górnym . Jednak często jest oznaczany jako $x$ $^$ $y,$ gdy indeksy górne nie są łatwo dostępne, na przykład w językach programowania (w tym LaTeX ) lub w wiadomościach e-mail zawierających zwykły tekst . ${\ Displaystyle x ^ {y}}$; 2. Nie mylić z ∧ .

Równość, równoważność i podobieństwo

$=$: 1. Oznacza równość .; 2. Używany do nazywania obiektu matematycznego w zdaniu, takiego jak „let ”, gdzie $E$ jest wyrażeniem . Na tablicy iw niektórych tekstach matematycznych może to być skrócone jako . Wiąże się to z pojęciem przydziału w informatyce, które jest różnie oznaczane (w zależności od używanego języka programowania ) ${\ Displaystyle x = E}$ ${\ Displaystyle x \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ E}$ $=,:=,==,\leftarrow,\ldots$
$\neq$: Oznacza nierówność i oznacza „nie równy”.
$\approx$: Oznacza "jest w przybliżeniu równy". Na przykład (aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie, zobacz pi ). ${\ Displaystyle \ pi \ około {\ Frac {22}{7}}}$
$~$: 1. Pomiędzy dwiema liczbami albo jest używany zamiast $\approx,$ aby oznaczać „w przybliżeniu równe”, albo oznacza „ma ten sam rząd wielkości co”.; 2. Oznacza asymptotyczną równoważność dwóch funkcji lub ciągów.; 3. Często używane do oznaczania innych rodzajów podobieństwa, na przykład podobieństwa macierzy lub podobieństwa kształtów geometrycznych .; 4. Standardowy zapis relacji równoważności .; 5. W prawdopodobieństwa i statystyki , można określić rozkład prawdopodobieństwa o zmiennej losowej . Na przykład oznacza, że rozkład zmiennej losowej $X$ jest standardowym normalnym . ${\ Displaystyle X \ SIM N (0,1)}$; 6. Notacja pokazująca proporcjonalność . Zobacz także ∝ dla mniej niejednoznacznego symbolu.
$\equiv$: 1. Oznacza tożsamość , czyli równość, która jest prawdziwa bez względu na to, jakie wartości zostaną nadane zmiennym w nim występującym.; 2. W teorii liczb , a dokładniej w arytmetyce modularnej , oznacza kongruencję modulo liczba całkowita.
$\cong$: 1. Może oznaczać izomorfizm między dwiema strukturami matematycznymi i jest odczytywany jako „jest izomorficzny z”.; 2. geometrię , może oznaczać identyczność dwóch geometryczne kształty (to jest równość do pomocą przemieszczenia ) i są odczytywane „jest przystający do”.

Porównanie

$<$: 1. Ścisła nierówność między dwiema liczbami; oznacza i jest czytane jako „ mniej niż ”.; 2. Powszechnie używane do oznaczania dowolnej ścisłej kolejności .; 3. Między dwiema grupami może oznaczać, że pierwsza jest odpowiednią podgrupą drugiej.
$>$: 1. Ścisła nierówność między dwiema liczbami; oznacza i jest czytane jako „ większe niż ”.; 2. Powszechnie używane do oznaczania dowolnej ścisłej kolejności .; 3. Między dwiema grupami może oznaczać, że druga jest odpowiednią podgrupą pierwszej.
$\leq$: 1. Oznacza "mniejszy lub równy". Oznacza to, że niezależnie od tego, jakie są $A$ i $B$ , $A \leq B$ jest równoważne $A < B lub A = B$ .; 2. Między dwiema grupami może oznaczać, że pierwsza jest podgrupą drugiej.
$\geq$: 1. Znaczy "większy lub równy". Oznacza to, że niezależnie od tego, jakie są $A$ i $B$ , $A \geq B$ jest równoważne $A > B lub A = B$ .; 2. Między dwiema grupami może oznaczać, że druga jest podgrupą pierwszej.
$,$: 1. Oznacza „znacznie mniej niż” i „dużo więcej niż”. Ogólnie rzecz biorąc, wiele nie jest formalnie zdefiniowane, ale oznacza, że mniejszą ilość można pominąć w stosunku do drugiej. Dzieje się tak zazwyczaj, gdy mniejsza ilość jest mniejsza od drugiej o jeden lub kilka rzędów wielkości .; 2. W teorii środka , oznacza, że środek ten jest całkowicie ciągły w odniesieniu do środka . ${\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ $\nu$
$≦$: 1. Rzadko używany synonim $\leq$ . Pomimo łatwego pomylenia z $\leq$ , niektórzy autorzy używają go w innym znaczeniu.
$,$: Często używany do oznaczenia zamówienia lub, bardziej ogólnie, przedsprzedaży , gdy użycie $<$ i $>$ byłoby mylące lub niewygodne .

Teoria mnogości

$\emptyset$: Oznacza pusty zestaw i jest częściej zapisywany . Używając notacji set-builder , może być również oznaczony ${ }.$ $\pusty zestaw$
$#$: 1. Liczba elementów: mogą oznaczać liczność o zadanej $S$ . Alternatywną notacją jest ; zobacz $|$ $□$ $|$ . ${\ Displaystyle \ # S}$ $|S|$; 2. Pierwotny : oznacza iloczyn liczb pierwszych nie większych niż $n$ . $n\#$; 3. topologii , oznacza połączoną sumę dwóch rozdzielaczy lub dwoma węzłami . $M\#N$
$\in$: Oznacza członkostwo w zbiorze i jest odczytywane jako „w” lub „należy do”. Oznacza to, że $x$ jest elementem zbioru $S$ . ${\ Displaystyle x \ w S}$
$\notin$: Oznacza „nie w”. Oznacza to, że . $x\notin S$ ${\ Displaystyle \ neg (x \ w S)}$
$\subset$: Oznacza włączenie zestawu . Powszechne są jednak dwie nieco różne definicje. Wydaje się, że ten pierwszy jest częściej stosowany w nowszych tekstach, ponieważ pozwala często uniknąć różnicowania przypadków.; 1 mogą oznaczać, że jest podzbiorem od $B$ , i może wynosić do $B$ ; to znaczy, że każdy element $A$ należy do $B$ ; w formule . ${\ Displaystyle A \ podzbiór B}$ ${\ Displaystyle \ forall x \, x \ w A \ Rightarrow x \ w B}$; 2 może oznaczać, że jest podzbiorem od $B$ , to dwa zestawy są różne, a każdy element $A$ należy do $B$ ; w formule . ${\ Displaystyle A \ podzbiór B}$ ${\ Displaystyle A \ neq B \ ziemia \ forall x \, x \ w A \ Rightarrow x \ w B}$
$\subseteq$: $A\subseteq B$ oznacza, że jest podzbiorem z $B$ . Służy do podkreślenia, że równość jest możliwa, lub gdy druga definicja jest używana dla . ${\ Displaystyle A \ podzbiór B}$
$⊊$: $A\subsetneq B$ oznacza, że jest podzbiorem z $B$ . Używany do podkreślenia tego lub gdy pierwsza definicja jest używana do . $A\neq B$ ${\ Displaystyle A \ podzbiór B}$
$, \supseteq ,$: Tak samo jak poprzednie z odwróconymi argumentami. Na przykład jest równoważne . ${\ Displaystyle B \ załamanie A}$ ${\ Displaystyle A \ podzbiór B}$
$\cup$: Oznacza unię mnogościową , czyli zbiór utworzony przez elementy $A$ i $B$ razem. To znaczy . ${\ Displaystyle A \ filiżanka B}$ ${\ Displaystyle A \ filiżanka B = \ {x \ mid (x \ w A) \ Lor (x \ w b) \}}$
$\cap$: Oznacza przecięcie mnogościowe , czyli zbiór utworzony przez elementy zarówno $A$ jak i $B$ . To znaczy . ${\ Displaystyle A \ czapka B}$ ${\ Displaystyle A \ czapka B = \ {x \ mid (x \ w A) \ ziemia (x \ w b) \}}$
$\$: Ustaw różnicę ; to znaczy jest zbiorem utworzonym przez elementy $A$ , które nie znajdują się w $B$ . Czasami jest używany zamiast; patrz – w § Operatory arytmetyczne . ${\ Displaystyle A \ setminus B}$ $AB$
$⊖$: Różnica symetryczna : czyli zbiór utworzony przez elementy należące dokładnie do jednego z dwóch zbiorów $A$ i $B$ . Używana jest również notacja ; zobacz Δ . ${\ Displaystyle A \ ominus B}$ ${\ Displaystyle A \ nazwa operatora {\ Delta} B}$
$∁$: 1. Z indeksem dolnym oznacza uzupełnienie zbioru : to znaczy, jeśli , to . $B\subseteq A$ ${\ Displaystyle \ uzupełnienie _ {A} B = A \ setminus B}$; 2. Bez indeksu dolnego, oznacza dopełnienie bezwzględne ; czyli , gdzie $U$ jest zbiorem niejawnie zdefiniowanym przez kontekst, który zawiera wszystkie rozważane zbiory. Ten zbiór $U$ jest czasami nazywany wszechświatem dyskursu . ${\ Displaystyle \ uzupełnienie A = \ uzupełnienie _ {U} A}$
$\times$: Zobacz także × w § Operatory arytmetyczne .; 1. Oznacza iloczyn kartezjański dwóch zbiorów. Oznacza to, że jest to zbiór utworzony przez wszystkie pary elementu $A$ i elementu $B$ . $A\razy B$; 2. Oznacza iloczyn prosty dwóch struktur matematycznych tego samego typu, który jest iloczynem kartezjańskim zbiorów bazowych, wyposażonych w strukturę tego samego typu. Na przykład iloczyn bezpośredni pierścieni , iloczyn bezpośredni przestrzeni topologicznych .; 3. W teorii kategorii oznacza iloczyn (często nazywany po prostu iloczynem ) dwóch przedmiotów, będący uogólnieniem poprzednich pojęć iloczynu.
$⊔$: Oznacza rozłączny związek . To znaczy, jeśli $A$ i $B$ są dwoma zbiorami, , gdzie $C$ jest zbiorem utworzonym przez elementy $B$ przemianowane na nie należące do $A$ . ${\ Displaystyle A \ sqcup B = A \ filiżanka C}$
${\textstyle \coprod}$: 1. Alternatywa dla oznaczenia rozłącznego związku . $\sqcup$; 2. oznacza koproduktu od struktur matematycznych lub obiektów w kategorii .

Podstawowa logika

Kilka symboli logicznych jest szeroko stosowanych we wszystkich dziedzinach matematyki i są one wymienione tutaj. Aby zapoznać się z symbolami, które są używane tylko w logice matematycznej lub są rzadko używane, zobacz Lista symboli logicznych .

$\neg$: Oznacza logiczną negację i jest odczytywane jako „nie”. Jeśli $E$ jest predykatem logicznym , jest predykatem , który ma wartość true wtedy i tylko wtedy , gdy $E ma$ wartość false . Dla jasności często zastępuje się go słowem „nie”. W językach programowania i niektórych tekstach matematycznych jest on czasami zastępowany przez „ $~$ ” lub „ $!$ ”, które są łatwiejsze do pisania na niektórych klawiaturach. ${\ Displaystyle \ neg E}$
$\lor$: 1. Oznacza logiczny lub , i jest odczytywany jako „lub”. Jeśli $E$ i $F$ są predykatami logicznymi , jest true , jeśli $E$ , $F$ lub oba są prawdziwe. Często jest zastępowany słowem „lub”. ${\ Displaystyle E \ lub F}$; 2. W teorii sieci oznacza operację sprzężenia lub najmniejszej górnej granicy .; 3. W topologii oznacza sumę klinów dwóch ostro zakończonych przestrzeni .
$\land$: 1. Oznacza logiczne i , i jest czytane jako „i”. Jeśli $E$ i $F$ są predykatami logicznymi , jest prawdziwe, jeśli $E$ i $F$ są prawdziwe. Często jest zastępowany słowem „i” lub symbolem „ $&$ ”. $E\land F$; 2. W teorii sieci oznacza operację spełnienia lub największej dolnej granicy .; 3. multilinear Algebra , geometrii i wielowymiarowej rachunku , oznacza produkt klina lub zewnętrznego produktu .
$⊻$: Wyłączne lub : jeśli $E$ i $F$ są dwiema zmiennymi boolowskimi lub predykatami , oznacza wyłączną lub. Notacje $E$ $XOR$ $F$ i są również powszechnie używane; zobacz ⊕ . ${\ Displaystyle E \ Veebar F}$ ${\ Displaystyle E \ oplus F}$
$\forall$: 1. Oznacza uniwersalną kwantyfikację i jest czytane „dla wszystkich”. Jeśli $E$ jest predykatem logicznym , oznacza to, że $E$ jest prawdziwe dla wszystkich możliwych wartości zmiennej $x$ . $\forall xE$; 2. Często używane niewłaściwie w zwykłym tekście jako skrót „dla wszystkich” lub „dla każdego”.
$\exists$: 1. Oznacza kwantyfikację egzystencjalną i czyta się „istnieje… takie, które”. Jeśli $E$ jest predykatem logicznym , oznacza to, że istnieje co najmniej jedna wartość $x,$ dla której $E$ jest prawdziwe. $\istnieje xE$; 2. Często używane niewłaściwie w zwykłym tekście jako skrót od „istnieje”.
$!$: Oznacza kwantyfikację unikalności , to znaczy „istnieje dokładnie jeden $x$ taki, że $P$ (jest prawdziwe)”. Innymi słowy, to skrót od . ${\ Displaystyle \ istnieje! xP}$ ${\ Displaystyle \ istnieje! xP (x)}$ ${\ Displaystyle \ istnieje x \ (P (x) \, \ klin \ neg \ istnieje r \, (P (y) \ klin r \ neq x))}$
$\Rightarrow$: 1. Oznacza warunki materialne i jest odczytywane jako „implikacje”. Jeśli $P$ i $Q$ są predykatami logicznymi , oznacza to, że jeśli $P$ jest prawdziwe, to $Q$ również jest prawdziwe. Jest więc logicznie równoważny z . ${\ Displaystyle P \ Strzałka w prawo Q}$ ${\ Displaystyle P \ Strzałka w prawo Q}$ ${\ Displaystyle Q \ lub \ neg P}$; 2. Często używane niewłaściwie w zwykłym tekście jako skrót od „implikacji”.
$\Leftrightarrow$: 1. Oznacza logiczną równoważność i jest czytane jako „jest równoważne” lub „ jeśli i tylko wtedy ”. Jeśli $P$ i $Q$ są predykatami logicznymi , jest zatem skrótem , lub . ${\ Displaystyle P \ Leftrightarrow Q}$ ${\ Displaystyle (P \ Strzałka w prawo Q) \ Ziemia (Q \ Strzałka w prawo P)}$ ${\ Displaystyle (P \ ziemia Q) \ lor (\ neg P \ ziemia \ neg Q)}$; 2. Często używane niewłaściwie w zwykłym tekście jako skrót „ wtedy i tylko wtedy ”.
$⊤$: 1. oznacza orzeczenie logiczne zawsze prawdziwe . ${\ Displaystyle \ top}$; 2. Oznacza również wartość logiczną prawda .; 3. Czasami oznacza elementu górnego o ograniczonej kraty (poprzednie znaczenia są specyficzne przykłady).; 4. Do wykorzystania jako indeks górny, zobacz $⊤ □$ .
$⊥$: 1. oznacza orzeczenie logiczne zawsze false . $\bot$; 2. Oznacza również wartość logiczną false .; 3. Czasami oznacza dolnego elementu o ograniczonej kraty (poprzednie znaczenia są specyficzne przykłady).; 4. Jako operator binarny , oznacza prostopadłość i ortogonalność . Na przykład, jeśli $A, B, C$ są trzema punktami w przestrzeni euklidesowej , oznacza to, że odcinki $AB$ i $AC$ są prostopadłe i tworzą kąt prosty . $AB\perp AC$; 5. W Kryptografii często oznacza błąd w miejscu regularnej wartości.; 6. Do wykorzystania jako indeks górny, zobacz $□ ⊥$ .

Pogrubienie tablicy

Tablica pogrubiony krój jest powszechnie używany dla oznaczenia podstawowych systemów numerycznych . Systemy te są często również oznaczane odpowiednią pogrubioną wielką literą. Wyraźną zaletą pogrubienia tablicy jest to, że tych symboli nie można pomylić z niczym innym. Pozwala to na ich wykorzystanie w dowolnej dziedzinie matematyki, bez konieczności przypominania sobie ich definicji. Na przykład, jeśli spotyka się z kombinatoryki , jeden powinien natychmiast wiedzieć, że to oznacza z liczb rzeczywistych , choć kombinatoryki nie uczyć liczb rzeczywistych (ale używa ich do wielu dowodów). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$: Oznacza zbiór liczb naturalnych lub czasami . Jest często oznaczany również przez . ${\ Displaystyle \ {0,1,2,\ldots \}}$ ${\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {N}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$: Oznacza zbiór liczb całkowitych . Jest często oznaczany również przez . $\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$: 1. Oznacza zbiór $p$ -adycznych liczb całkowitych , gdzie $p$ jest liczbą pierwszą .; 2. Czasami oznacza liczby całkowite modulo $n$ , gdzie $n$ jest liczbą całkowitą większą od 0. Notacja jest również używana i jest mniej niejednoznaczna. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$: Oznacza zbiór liczb wymiernych (ułamki dwóch liczb całkowitych). Jest często oznaczany również przez . ${\ Displaystyle \ mathbf {Q}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$: Oznacza zbiór liczb $p-$ adycznych , gdzie $p$ jest liczbą pierwszą .
${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$: Oznacza zbiór liczb rzeczywistych . Jest często oznaczany również przez . ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$
${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$: Oznacza zbiór liczb zespolonych . Jest często oznaczany również przez . ${\ Displaystyle \ mathbf {C} }$
${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$: Oznacza zbiór kwaternionów . Jest często oznaczany również przez . ${\ Displaystyle \ mathbf {H} }$
${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {q}}$: Oznacza pole skończone z elementami $q$ , gdzie $q$ jest potęgą pierwszą (w tym liczbami pierwszymi ). Jest to również oznaczane przez $GF(q)$ .

Rachunek różniczkowy

$□ "$: Notacja Lagrange'a dla pochodnej : jeśli $f$ jest funkcją pojedynczej zmiennej, , czytane jako „f prim”, jest pochodną $f$ względem tej zmiennej. Druga pochodna jest pochodną i jest oznaczona . $f'$ $f'$ $f''$
${\kropka {\pudełko}}$: Notacja Newtona , najczęściej używana dla pochodnej po czasie: jeśli $x$ jest zmienną zależną od czasu, to jest jej pochodną po czasie. W szczególności, jeśli $x$ reprezentuje ruchomy punkt, to jest jego prędkość . ${\kropka {x}}$ ${\kropka {x}}$
${\ddot {\pudełko}}$: Notacja Newtona , dla drugiej pochodnej : w szczególności, jeśli $x$ jest zmienną reprezentującą ruchomy punkt, to jest to jego przyspieszenie . ${\ddot {x}}$
$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} d □/d □$: Notacja Leibniza dla pochodnej , która jest używana na kilka nieco innych sposobów.; 1. Jeśli $y$ jest zmienną zależną od $x$ , to , czytane jako "dy przez d x", jest pochodną $y$ względem $x$ . ${\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {dy} {dx}}}$; 2. Jeżeli $f$ jest funkcją pojedynczej zmiennej $x$ , to jest pochodną $f$ i jest wartością pochodnej w $a$ . $\textstyle {\frac {df}{dx}}$ $\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)$; 3. Pochodna całkowita : jeśli jest funkcją kilku zmiennych, które zależą od $x$ , to pochodna $f jest$ uważana za funkcję $x$ . To znaczy . $f(x_{1},\ldots,x_{n})$ $\textstyle {\frac {df}{dx}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {df} {dx}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy x_ {i}}} \ {\ Frac {dx_{i}}{dx}}}$
$\partial □ / \partial □$: Pochodna częściowa : jeśli jest funkcją kilku zmiennych, jest pochodną względem $i-$ tej zmiennej uważanej za zmienną niezależną , pozostałe zmienne uważane są za stałe. $f(x_{1},\ldots,x_{n})$ $\textstyle {\frac {\częściowy f}{\częściowy x_{i}}}$
$δ □ / δ □$: Pochodna funkcjonalna : jeśli jest funkcjonałem kilku funkcji , jest pochodną funkcjonalną względem n- tej funkcji uważanej za zmienną niezależną , pozostałe funkcje uważa się za stałe. $f(y_{1},\ldots,y_{n})$ $\textstyle {\frac {\deltaf}{\delta y_{i}}}$
${\overline {\box}}$: 1. Sprzężenie zespolone : jeśli $z$ jest liczbą zespoloną , to jest jej sprzężeniem zespolonym. Na przykład . ${\overline {z}}$ ${\overline {a+bi}}=a-bi$; 2. topologiczne zamknięcie : jeżeli $S$ jest podgrupa o topologii przestrzeni $T$ , to jest jego topologiczna zamknięcia, to jest najmniejszą zamknięty podzbiór od $T$ , która zawiera $S$ . ${\overline {S}}$; 3. Zamknięcie algebraiczna : jeśli $M$ jest pole , to jest jego algebraiczna zamknięcia, to znaczy, że najmniejsza algebraicznie zamknięty obszar , który zawiera $K$ . Na przykład jest polem wszystkich liczb algebraicznych . ${\overline {F}}$ ${\overline {\mathbb {Q}}}$; 4. Wartość średnia : jeśli $x$ jest zmienną, która przyjmuje swoje wartości w jakimś zbiorze liczb $S$ , to może oznaczać średnią elementów $S$ . ${\overline {x}}$
$\to$: 1. oznacza funkcję z domeną $A$ i przeciwdziedziną $B$ . Aby nazwać taką funkcję, pisze się , co jest czytane jako „ $f$ od $A$ do $B$ ”. ${\ Displaystyle A \ do B}$ ${\ Displaystyle f: A \ do B}$; 2. Bardziej ogólnie, oznacza homomorfizm lub morfizm od $A$ do $B$ . ${\ Displaystyle A \ do B}$; 3. Może oznaczać logiczną implikację . W przypadku implikacji materiałowej, która jest szeroko stosowana w rozumowaniu matematycznym, jest obecnie na ogół zastępowana przez ⇒ . W logice matematycznej pozostaje on używany do oznaczania implikacji, ale jego dokładne znaczenie zależy od konkretnej badanej teorii.; 4. Nad nazwą zmiennej oznacza, że zmienna reprezentuje wektor w kontekście, w którym zwykłe zmienne reprezentują skalary ; na przykład . Boldface ( ) lub okalającej ( ) są często wykorzystywane do tego samego celu. ${\overrightarrow {v}}$ $\mathbf {v}$ ${\kapelusz {v}}$; 5. euklidesowa geometria , a bardziej ogólnie w geometrii afinicznej , oznacza wektor zdefiniowany przez dwoma punktami $P$ i $Q$ , które mogą być zidentyfikowane przy translacji , który mapuje $P$ do $Q$ . Ten sam wektor można również oznaczać ; zobacz Przestrzeń afiniczna . ${\overrightarrow {PQ}}$ $QP$
$\mapsto$: Służy do definiowania funkcji bez konieczności jej nazywania. Na przykład jest funkcją kwadrat . ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {2}}$
$○$: 1. Złożenie funkcji : jeśli $f$ i $g$ są dwiema funkcjami, to funkcja jest taka, że dla każdej wartości $x$ . $g\circ f$ ${\ Displaystyle (g \ circ f) (x) = g (f (x))}$; 2. Iloczyn Hadamarda macierzy : jeśli $A$ i $B$ są dwiema macierzami tej samej wielkości, to czy macierz jest taka, że . Ewentualnie jest również używany zamiast $⊙$ dla produktu Hadamarda z serii power . $A\circ B$ ${\ Displaystyle (A \ circ B) _ {i, j} = (A) _ {i, j} (B) _ {i, j}}$ $\circ$
$\partial$: 1. Granica o topologii podprzestrzeni : jeżeli $S$ jest podprzestrzeni przestrzeni topologicznej, a jego graniczna , oznaczony , jest zestaw różnica pomiędzy zamknięciem a wewnątrz z $S$ . ${\ Displaystyle \ częściowe S}$; 2. Pochodna cząstkowa : patrz $\partial □ / \partial □$ .
$\int$: 1. bez indeksu, oznacza pierwotna . Na przykład . ${\ Displaystyle \ textstyle \ int x ^ {2} dx = {\ Frac {x ^ {3}} {3}} + C}$; 2. Z indeksem dolnym i indeksem górnym lub wyrażeniami umieszczonymi poniżej i powyżej, oznacza całkę oznaczoną . Na przykład . ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {a} ^ {b} x ^ {2} dx = {\ Frac {b ^ {3}-a ^ {3}} {3}}}$; 3. Z indeksem oznaczającym krzywą oznacza całkę krzywoliniową . Na przykład , jeśli $r$ jest parametryzacją krzywej $C$ , od $a$ do $b$ . ${\ Displaystyle \ textstyle \ int _ {C} f = \ int _ {a} ^ {b} f (r (t)) r '(t) dt}$
$\oint$: Często stosowane zazwyczaj w dziedzinie fizyki, zamiast do całek linii nad zamkniętej krzywej . $\textstyle\int$
$,$: Podobnie jak i dla całek powierzchniowych . $\textstyle\int$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ oint}$
$\nabla$: Nabla , wektorowy operator różniczkowy , zwany także del . ${\ Displaystyle \ textstyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}}, {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy y}}, {\ Frac {\ częściowy} }{\ częściowy Z}} \ Prawidłowy)}$
$Δ$: 1. Operator Laplace'a lub Laplace'a : . Oznaczony również $\nabla$ $2$ , przy czym kwadrat oznacza rodzaj iloczyn skalarny z $\nabla$ zaś sama. ${\ Displaystyle \ textstyle {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowy ^ {2}} {\ częściowy y ^ {2}}} + { \frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy z^{2}}}}$; 2. Może oznaczać symetryczną różnicę dwóch zbiorów, czyli zbiór elementów należących dokładnie do jednego ze zbiorów. Oznaczany także $⊖$ .; 3. Używane również do oznaczenia operatora różnicy skończonej .
$□$: Oznacza operator d'Alembertowski lub d'Alembertowski , który jest uogólnieniem przestrzeni Laplace'a na nieeuklidesowe .

Algebra liniowa i wieloliniowa

$\sum$ ( notacja Sigma ): 1. Oznacza sumę skończonej liczby terminów, które są określone przez indeksy dolne i górne (które mogą być również umieszczone poniżej i powyżej), na przykład w lub . ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {0<i<j<n}ji}$; 2. Oznacza szereg, a jeśli szereg jest zbieżny , sumę szeregu . Na przykład . ${\ Displaystyle \ textstyle \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {x ^ {i}} {i!}} = e ^ {x}}$
$\prod$ ( notacja duże-pi ): 1. Oznacza iloczyn skończonej liczby terminów, które są określone przez indeksy dolne i górne (które mogą być również umieszczone poniżej i powyżej), na przykład w lub . ${\ Displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2}}$ $\textstyle \prod_{0<i<j<n}ji$; 2. Oznacza iloczyn nieskończony . Na przykład wzór iloczynu Eulera dla funkcji zeta Riemanna to . ${\ Displaystyle \ textstyle \ zeta (z) = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ Frac {1} {1-p_ {n} ^ {-z}}}}$; 3. Stosowany również dla iloczynu kartezjańskiego dowolnej liczby zbiorów i iloczynu bezpośredniego dowolnej liczby struktur matematycznych .
$\oplus$: 1. Wewnętrzna bezpośredni suma : jeśli $E$ i $F$ są abelowe podgrupy z a grupa przemienna $V$ , notacja oznacza, że $V$ jest bezpośrednim suma $E$ i $F$ ; oznacza to, że każdy element $V$ można zapisać w unikalny sposób jako sumę elementu $E$ i elementu $F$ . Odnosi się to również wtedy, gdy $E$ i $F$ są podprzestrzeni liniowe lub podmoduły z przestrzeni wektorowej lub modułu $V$ . ${\ Displaystyle V = E \ oplus F}$; 2. Suma prosta : jeśli $E$ i $F$ są dwiema grupami abelowymi , przestrzeniami wektorowymi lub modułami , to ich sumą prostą, oznaczoną jest grupa abelowa, przestrzeń wektorowa lub moduł (odpowiednio) wyposażony w dwa monomorfizmy i taki, który jest suma i . Ta definicja ma sens, ponieważ ta bezpośrednia suma jest unikalna aż do unikalnego izomorfizmu . ${\ Displaystyle E \ oplus F}$ ${\ Displaystyle f: E \ do E \ oplus F}$ ${\ Displaystyle g: F \ do E \ oplus F}$ ${\ Displaystyle E \ oplus F}$ ${\ Displaystyle f (E)}$ ${\ Displaystyle g (F)}$; 3. Wyłączne lub : jeśli $E$ i $F$ są dwiema zmiennymi boolowskimi lub predykatami , może oznaczać wyłączne lub. Notacje $E$ $XOR$ $F$ i są również powszechnie używane; zobacz ⊻ . ${\ Displaystyle E \ oplus F}$ ${\ Displaystyle E \ Veebar F}$
$\otimes$: Oznacza iloczyn tensorowy . Jeżeli $E$ i $F$ są grupa przemienna , miejsca wektora lub moduły nad pierścienia przemiennego , a następnie produkt napinacz z $E$ i $F$ , oznaczona jest grupa przemienna, przestrzeń wektorową lub moduł (odpowiednio), wyposażony w mapie dwuliniowa od się , tak że dwuliniowe odwzorowania z do dowolnej grupy abelowej, przestrzeni wektorowej lub modułu $G$ mogą być utożsamiane z liniowymi odwzorowaniami od do $G$ . Jeśli $E$ i $F$ są przestrzeniami wektorowymi nad ciałem $R$ lub modułami nad pierścieniem $R$ , iloczyn tensorowy jest często oznaczany, aby uniknąć niejednoznaczności. ${\ Displaystyle E \ czasami F}$ ${\ Displaystyle (e, f) \ mapsto e \ otimes f}$ ${\ Displaystyle E \ razy F}$ ${\ Displaystyle E \ czasami F}$ ${\ Displaystyle E \ razy F}$ ${\ Displaystyle E \ czasami F}$ ${\ Displaystyle E \ otimes _ {R} F}$
$⊤ □$: 1. transpozycja : jeśli jest macierzą, oznacza transpozycję w $A$ , to znaczy, że matrycę otrzymaną przez wymianę rzędy i kolumny $A$ . Używana jest również notacja . Symbol jest często zastępowany literą $T$ lub $t$ . ${\ Displaystyle ^ {\ Top} \! \! A}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ góra}}$ ${\ Displaystyle \ top}$; 2. Aby zapoznać się z użyciem symbolu w linii, patrz ⊤ .
$□ ⊥$: 1. ortogonalne dopełnienie : jeśli $W$ jest liniowy podprzestrzeń o wewnętrznej przestrzeni produktu $V$ , po czym oznacza ich ortogonalne dopełnienie , czyli liniową przestrzeń elementów $V$ , którego wewnętrzna wyroby z elementami $W,$ z których wszystkie są zerowe. ${\ Displaystyle W ^ {\ bot}}$; 2. ortogonalne podprzestrzeni w podwójnego miejsca : jeśli $W$ jest podprzestrzeń liniowa (lub modułem ) z miejscem wektora (lub do modułu ), $V$ , a może oznaczać prostopadły podprzestrzeni z $W$ , to znaczy, że zestaw wszystkich postaciach liniowe że odwzorowuje $W$ na zero. ${\ Displaystyle W ^ {\ bot}}$; 3. W przypadku użycia symbolu w linii, patrz ⊥ .

Zaawansowana teoria grup

$⋉$ $⋊$: 1. Wewnętrznej iloczynów produkt : Jeżeli $N$ i $H$ są podgrupy w grupie $G$ , tak że $N$ jest normalnie podgrupy z $G$ , po czym i oznacza, że $G$ jest iloczynów produkt $N$ i $H$ , to znaczy, że każdy element $G$ może rozkładać się jednoznacznie jako iloczyn elementu $N$ i elementu $H$ (w przeciwieństwie do iloczynu bezpośredniego grup , element $H$ może się zmienić, jeśli zmieni się kolejność czynników). ${\ Displaystyle G = N \ rrazy H}$ ${\ Displaystyle G = H \ lrazy N}$; 2. Zewnętrzna produkt iloczynów : W przypadku $N$ i $H$ są dwie grupy , a to homomorfizm grupy od $N$ do grupy automorfizm z $H$ , a oznacza grupę $G$ , unikalny aż do izomorfizmie grupy , który jest produktem iloczynów $N$ i $H$ , z komutacją elementów $N$ i $H$ określoną przez . $\varphi$ ${\ Displaystyle N \ rtimes _ {\ varphi } H = H \ ltimes _ {\ varphi } N}$ $\varphi$
$≀$: W teorii grupy , oznacza produkt wieniec z grupy $G$ i $H$ . Jest również oznaczony jako lub ; zobacz produkt Wianek § Notacja i konwencje dla kilku wariantów notacji. ${\ Displaystyle G \ Wr H}$ ${\ Displaystyle G \ nazwa operatora {wr} H}$ ${\ Displaystyle G \ operatorname {Wr} H}$

Liczby nieskończone

$\infty$: 1. Symbol jest odczytywany jako nieskończoność . Jako górna granica sumowania , iloczyn nieskończony , całka itd. oznacza, że obliczenie jest nieograniczone. Podobnie dolna granica oznacza, że obliczenia nie są ograniczone do wartości ujemnych. $-\infty$; 2. i są uogólnionymi liczbami, które są dodawane do linii rzeczywistej w celu utworzenia rozszerzonej linii rzeczywistej . $-\infty$ $+\infty$; 3. to uogólniona liczba dodawana do prostej rzeczywistej w celu utworzenia rzutowo przedłużonej linii rzeczywistej . $\infty$
$𝔠$: ${\mathfrak {c}}$ oznacza moc kontinuum , czyli moc zbioru liczb rzeczywistych .
$ℵ$: Z liczbą porządkową $i$ jako indeksem dolnym, oznacza $i-$ ty alef , czyli $i-$ ty nieskończony kardynał . Na przykład jest najmniejszym nieskończonym kardynałem, czyli kardynałem liczb naturalnych. $\aleph_{0}$
$ℶ$: Z liczbą porządkową $i$ jako indeksem dolnym, oznacza $i-$ tą liczbę beth . Na przykład jest kardynałem liczb naturalnych i jest kardynałem kontinuum . $\beth_{0}$ $\beth_{1}$
$ω$: 1. Oznacza pierwszy limit porządkowy . Jest także oznaczany i może być utożsamiany z uporządkowanego zbioru z liczb naturalnych . ${\ Displaystyle \ omega _ {0}}$; 2. Z liczbą porządkową $i$ jako indeksem dolnym, oznacza $i-$ tą graniczną liczbę porządkową , której kardynalność jest większa niż wszystkich poprzednich liczb porządkowych.; 3. W informatyce , oznacza (nieznane) kres dolny za wykładnik złożoności obliczeniowej z mnożenia macierzy .; 4. Zapisany jako funkcja innej funkcji, służy do porównania asymptotycznego wzrostu dwóch funkcji. Zobacz notację Big O § Powiązane notacje asymptotyczne .; 5. W teorii liczb może oznaczać pierwszą funkcję omega . Oznacza to, że jest to liczba odrębnych czynników pierwszych liczby całkowitej $n$ . ${\ Displaystyle \ omega (n)}$

Wsporniki

W matematyce używa się wielu rodzajów nawiasów. Ich znaczenia zależą nie tylko od ich kształtów, ale także od charakteru i układu tego, co przez nie wyznaczane, a czasem tego, co pojawia się między nimi lub przed nimi. Z tego powodu w tytułach wpisów symbol $□$ służy do schematyzacji składni leżącej u podstaw znaczenia.

Zdanie wtrącone

$(□)$: Używane w wyrażeniu do określenia, że podwyrażenie w nawiasach należy traktować jako pojedynczą jednostkę; zwykle używane do określania kolejności operacji .
$□(□)$ $□(□, □)$ $□(□, ..., □)$: 1. Notacja funkcjonalna : jeśli pierwszy jest nazwą (symbolem) funkcji , oznacza wartość funkcji zastosowanej do wyrażenia w nawiasach; na przykład , . W przypadku funkcji wielowymiarowej nawiasy zawierają kilka wyrażeń oddzielonych przecinkami, takich jak . ${\ Displaystyle \ Box}$ $f(x)$ ${\ Displaystyle \ sin (x+y)}$ $f(x,y)$; 2. Może również oznaczać produkt, np. w . Gdy możliwe jest zamieszanie, kontekst musi rozróżniać, które symbole oznaczają funkcje, a które oznaczają zmienne . ${\ Displaystyle a (b + c)}$
$(□, □)$: 1. oznacza uporządkowaną parę z obiektów matematycznych , na przykład . $(\pi ,0)$; 2. Jeżeli i $b$ są liczbami rzeczywistymi , , i , i $<$ $b$ , a następnie oznacza otwarty przedział ograniczony przez i $b$ . Zobacz $]□, □[$ dla alternatywnej notacji. $-\infty$ $+\infty$ ${\ Displaystyle (a, b)}$; 3. Jeżeli i $b$ są liczbami całkowitymi , może oznaczać największy wspólny dzielnik z i $b$ . Notacja jest często używana zamiast tego. ${\ Displaystyle (a, b)}$ ${\ Displaystyle \ gcd (a, b)}$
$(□, □, □)$: Jeśli $x, y, z$ są wektorami w , to może oznaczać potrójny iloczyn skalarny . Zobacz także [□,□,□] w § Nawiasy kwadratowe . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $(x,y,z)$
$(□, ..., □)$: Oznacza krotkę . Jeśli istnieje $n$ obiektów oddzielonych przecinkami, jest to $n$ -krotka.
$(□, □, ...)$ $(□, ..., □, ...)$: Oznacza nieskończoną sekwencję .
${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} \ Box & \ cdots & \ Box \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ \ Box & \ cdots & \ Box \ koniec {pmatrix}}}$: Oznacza macierz . Często oznaczany nawiasami kwadratowymi .
${\ Displaystyle {\ Binom {\ Box} {\ Box}}}$: Oznacza współczynnik dwumianowy : Biorąc pod uwagę dwie nieujemne liczby całkowite , jest odczytywany jako " $n$ wybierz $k$ " i jest definiowany jako liczba całkowita ( jeśli $k$ $= 0$ , jego wartość wynosi umownie $1$ ). Używając wyrażenia po lewej stronie, oznacza ono wielomian w $n$ , a zatem jest zdefiniowane i używane dla dowolnej rzeczywistej lub zespolonej wartości $n$ . ${\binom {n}{k}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {n (n-1) \ cdots (n-k + 1) {1 \ cdot 2 \ cdots k}} = {\ Frac {n!} {k! \ (nk)! }}}$
$(□ / □)$: Symbol Legendre'a : Jeśli $p$ jest nieparzystą liczbą pierwszą, a $a$ jest liczbą całkowitą , wartość wynosi 1, jeśli $a$ jest resztą kwadratową modulo $p$ ; wynosi –1 jeśli $a$ jest kwadratowym nieresztowym modulo $p$ ; wynosi 0, jeśli $p$ dzieli $a$ . Ta sama notacja jest używana dla symbolu Jacobiego i symbolu Kroneckera , które są uogólnieniami, gdzie $p$ jest odpowiednio dowolną nieparzystą dodatnią liczbą całkowitą lub dowolną liczbą całkowitą. ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {a} {p}} \ po prawej)}$

Nawiasy kwadratowe

$[□]$: 1. Czasami używany jako synonim $(□) w$ celu uniknięcia nawiasów zagnieżdżonych.; 2. Klasa równoważności : biorąc pod uwagę relację równoważności , często oznacza klasę równoważności elementu $x$ . $[x]$; 3. Część składowa : jeśli $x$ jest liczbą rzeczywistą , $[x]$ często oznacza integralną część lub obcinanie z $X$ , to znaczy, że liczba całkowita uzyskana poprzez usunięcie wszystkich cyfr po znaku dziesiętnego . Ten zapis został również użyty dla innych wariantów funkcji podłogi i sufitu .; 4. Nawias Iversona : jeśli $P$ jest predykatem , może oznaczać nawias Iversona, czyli funkcję, która przyjmuje wartość $1$ dla wartości wolnych zmiennych w $P,$ dla których $P$ jest prawdziwe, aw przeciwnym wypadku przyjmuje wartość $0$ . Na przykład jest funkcją delta Kroneckera , która jest równa jedynce, jeśli i zero w przeciwnym razie. ${\ Displaystyle [P]}$ $[x=y]$ $x=y$
$[□]$: Obraz podzbioru : jeżeli $S$ jest podzbiorem z dziedziną funkcji $F$ , a następnie jest czasami wykorzystywane do oznaczenia obraz $S$ . Gdy nie ma możliwości pomyłki, powszechnie stosuje się notację $f$ $($ $S$ $)$ . $f[S]$
$[□, □]$: 1. Zamknięty przedział : jeśli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi takimi, że , to oznacza zdefiniowany przez nie przedział domknięty. $a\leq b$ $[a,b]$; 2. Komutator (teoria grupę) : jeśli i $b$ , należące do grupy , a następnie . ${\ Displaystyle [a, b] = a ^ {-1} b ^ {-1} ab}$; 3. Komutator (teoria pierścienia) : jeśli i $b$ należą do pierścienia , a następnie . $[a,b]=ab-ba$; 4. Oznacza nawias Lie , działanie algebry Liego .
$[□ : □]$: 1. Stopień rozszerzenia pola : jeśli $F$ jest przedłużeniem z pola $E$ , to oznacza stopień rozszerzenie ciała . Na przykład . ${\ Displaystyle [F: E]}$ ${\ Displaystyle F/E}$ ${\ Displaystyle [\ mathbb {C} :\ mathbb {R}] = 2}$; 2. Wskaźnik podgrupy : jeśli $H$ jest podgrupą z grupy $E$ , a następnie oznacza indeks $H$ w $G$ . Notacja $|$ $G:H$ $|$ jest również używany ${\ Displaystyle [G:H]}$
$[□, □, ]$: Jeśli $x, y, z$ są wektorami w , to może oznaczać potrójny iloczyn skalarny . Zobacz także (□,□,□) w § Nawiasy . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $[x,y,z]$
${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ Box & \ cdots & \ Box \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ \ Box & \ cdots & \ Box \ koniec {bmatrix}}}$: Oznacza macierz . Często oznaczany nawiasami .

Aparat ortodontyczny

${}$: Notacja konstruktora zbioru dla pustego zbioru , oznaczana również lub ∅ . $\pusty zestaw$
${□}$: 1. Czasami używany jako synonim $(□)$ i $[□] w$ celu uniknięcia nawiasów zagnieżdżonych.; 2. Notacja konstruktora zestawów dla zestawu singleton : oznacza zestaw, który ma $x$ jako pojedynczy element. ${\ Displaystyle \ {x \}}$
${□, ..., }$: Notacja konstruktora zestawów : oznacza zestaw, którego elementy są wymienione w nawiasach klamrowych, oddzielone przecinkami.
${□ : □}$ ${□ | }$: Notacja konstruktora zbioru : jeśli jest predykatem zależnym od zmiennej $x$ , to oba i oznaczają zbiór utworzony przez wartości $x,$ dla których jest prawdziwe. ${\ Displaystyle P (x)}$ ${\ Displaystyle \ {x: P (x) \}}$ ${\ Displaystyle \ {x \ średni P (x) \}}$ ${\ Displaystyle P (x)}$
Pojedynczy klamra: 1. Używane dla podkreślenia, że kilka równań należy traktować jako równania równoczesne ; na przykład . ${\ Displaystyle \ textstyle {\ zacząć {przypadki} 2x + y = 1 \ \ 3x-y = 1 \ koniec {przypadki}}}$; 2. Odcinkowa definicja; na przykład . ${\ Displaystyle \ textstyle | x | = {\ zacząć {przypadki} x i {\ tekst {jeśli}} x \ geq 0 \ \ - x i {\ tekst {jeśli}} x <0 \ koniec {przypadki}}}$; 3. Używane do zgrupowanych adnotacji elementów we wzorze; na przykład , , ${\ Displaystyle \ textstyle \ underbrace {(a, b, \ ldots, z)} _ {26}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ overbrace {1 + 2 + \ cdots + 100} ^ {= 5050}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle \ lewo. {\ zacznij {bmatrix} A \ \ B \ koniec {bmatrix}} \ prawo \} m + n {\ tekst {wiersze}}}$

Inne nawiasy

$|□|$

1. Wartość bezwzględna : jeśli

x

jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną , oznacza jej wartość bezwzględną.

|x|

2. Liczba elementów: Jeżeli

S

jest zbiorem , może oznaczać jego liczność , czyli liczbę elementów. jest również często używany, zobacz

#

.

|x|

{\ Displaystyle \ # S}

3. Długość odcinka linii : Jeśli

P

i

Q

są dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej , to często oznacza długość odcinka linii , który definiują , czyli odległość od

P

do

Q

, i jest często oznaczana .

|PQ|

{\ Displaystyle d (P, Q)}

4. Aby zobaczyć podobnie wyglądający operator, zobacz

|

.

$| :□ |$

Indeks podgrupy : jeśli

H

jest podgrupą z grupy

G

, a następnie oznacza indeks

H

w

G

. Używany jest również zapis

[G:H]

{\ Displaystyle | G: H |}

${\ Displaystyle \ textstyle {\ zacząć {vmatrix} \ Box & \ cdots & \ Box \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ \ Box & \ cdots & \ Box \ koniec {vmatrix}}}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {vmatrix} x_ {1,1} & \ cdots & x_ {1, n} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ x_ {n, 1} & \ cdots & x_ {n, n }\end{vmatrix}}}

oznacza determinantę w macierzy kwadratowej .

{\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} x_ {1,1} & \ cdots & x_ {1, n} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ x_ {n, 1} & \ cdots & x_ {n, n }\koniec{bmatrycy}}}

$||□||$

1. Oznacza normę elementu unormowanej przestrzeni wektorowej .

2. Dla podobnie wyglądającego operatora o nazwie równoległy , zobacz

∥

.

$?$

Funkcja podłogi : jeśli

x

jest liczbą rzeczywistą, jest największą liczbą całkowitą nie większą niż

x

.

\lpodłoga x\rpodłoga

$?$

Funkcja Ceil : jeśli

x

jest liczbą rzeczywistą, jest najniższą liczbą całkowitą nie mniejszą niż

x

.

\lceil x\rceil

$?$

Funkcja Nearest Integer : jeśli

x

jest liczbą rzeczywistą, jest liczbą całkowitą najbliższą

x

.

\lpodłoga x\rceil

$]□, □[$

Otwarty przedział : Jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi, , lub , i , oznacza otwarty przedział ograniczony przez a i b. Zobacz

(□, □)

dla alternatywnej notacji.

-\infty

+\infty

a<b

{\displaystyle]a,b[}

$(□, □]$ $]□, □]$

Obie notacje są używane dla przedziału otwartego w lewo .

$[□, □)$ $[□, □[$

Obie notacje są używane dla przedziału prawostronnie otwartego .

$ja$

1. Wygenerowany obiekt : jeśli

S

jest zbiorem elementów w strukturze algebraicznej, często oznacza obiekt generowany przez

S

. Jeśli piszemy (to znaczy pomijamy nawiasy). W szczególności może to oznaczać:

{\ Displaystyle \ langle S \ rangle}

{\ Displaystyle S = \ {s_ {1}, \ ldots, s_ {n} \}}

{\ Displaystyle \ langle s_ {1} \ ldots , s_ {n} \ rangle }

rozpiętość liniowy w przestrzeni wektorowej (często oznaczany $przęsła (S)$ ),
wygenerowana podgrupa w grupie ,
wygenerowany ideał w ringu ,
wygenerowany podmoduł w module .

2. Często używany, głównie w fizyce, do oznaczania wartości oczekiwanej . W teorii prawdopodobieństwa , jest generalnie używany w miejsce .

{\ Displaystyle E (X)}

{\ Displaystyle \ langle S \ rangle}

$, □⟩$ $⟨□ | ?$

Oba i są powszechnie używane do oznaczania produktu wewnętrznego w przestrzeni produktu wewnętrznego .

\langle x,y\rangle

{\ Displaystyle \ langle x \ średni r \ rangle }

$|$ i $|□⟩$

Notacja bra-keta lub notacja Diraca : jeśli

x

i

y

są elementami przestrzeni produktu wewnętrznego , jest wektorem określonym przez

x

i jest kowektorem określonym przez

y

; ich wewnętrznym produktem jest .

|x\rangle

{\ Displaystyle \ langle y |}

{\ Displaystyle \ langle r \ mid x \ rangle }

Symbole, które nie należą do formuł

W tej sekcji wymienione symbole są używane jako pewnego rodzaju znaki interpunkcyjne w rozumowaniu matematycznym lub jako skróty angielskich zwrotów. Zazwyczaj nie są używane w formule. Niektóre z nich były używane w logice klasycznej do wskazywania logicznej zależności między zdaniami pisanymi prostym językiem angielskim. Z wyjątkiem pierwszych dwóch, nie są one zwykle używane w drukowanych tekstach matematycznych, ponieważ dla zachowania czytelności zaleca się, aby między dwoma wzorami znajdował się co najmniej jeden wyraz. Jednak nadal są używane na czarnej tablicy do wskazywania relacji między formułami.

$■ ,$: Służy do oznaczania końca korekty i oddzielania go od aktualnego tekstu. Initialism Q.ED lub QED ( Łacińskiej : ąuod erat demonstrandum „jak to było wykazać”) jest często wykorzystywany do tego samego celu, albo w postaci górnej obudowy lub małe.
$☡$: Symbol niebezpiecznego zakrętu Bourbaki : Czasami używany na marginesie, aby ostrzec czytelników przed poważnymi błędami, w przypadku których ryzykują upadkiem, lub aby zaznaczyć fragment, który jest trudny przy pierwszym czytaniu z powodu szczególnie subtelnego argumentu.
$∴$: Skrót od „dlatego”. Umieszczony pomiędzy dwoma asercjami oznacza, że pierwsze implikuje drugie. Na przykład: „Wszyscy ludzie są śmiertelni, a Sokrates jest człowiekiem. ∴ Sokrates jest śmiertelny”.
$∵$: Skrót od „ponieważ” lub „od”. Umieszczony pomiędzy dwoma asercjami oznacza, że pierwsze jest implikowane przez drugie. Na przykład: „ $11$ jest liczbą pierwszą ∵ nie ma żadnych dodatnich czynników całkowitych poza sobą i jedynką”.
$∋$: 1. Skrót od „taki, że”. Na przykład, normalnie wypisywane jest " $x$ takie, że ". $x\ni x>3$ $x>3$; 2. Czasami używany do odwracania operandów ; to znaczy, ma takie samo znaczenie jak . Zobacz ∈ w § Teoria mnogości . ${\ Displaystyle \ w}$ $S\nix$ ${\ Displaystyle x \ w S}$
$α$: Skrót „jest proporcjonalny do”.

Różnorodny

$!$: 1. Silnia : jeśli $n$ jest dodatnią liczbą całkowitą , $n!$ jest iloczynem pierwszych $n$ dodatnich liczb całkowitych i jest czytane jako „n silnia”.; 2. Podczynnik : jeśli $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, $! n$ jest liczbą odchyleń zbioru $n$ elementów i jest odczytywane jako „podczynnik n”.
$*$: Wiele różnych zastosowań w matematyce; patrz Gwiazdka § Matematyka .
$|$: 1. Podzielność : jeśli $m$ i $n$ są dwiema liczbami całkowitymi, oznacza to, że $m$ dzieli $n$ równo. $m\mid n$; 2. W notacji set-builder , jest używany jako separator oznaczający "takie, że"; patrz ${□ | }$ .; 3. Ograniczenie funkcji : jeśli $f$ jest funkcją , a $S$ jest podzbiorem jej dziedziny , to jest funkcją z $S$ jako dziedziną równą $f$ na $S$ . ${\ Displaystyle f | _ {S}}$; 4. Prawdopodobieństwo warunkowe : oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia $X$ przy założeniu, że zdarzenie $E$ ma miejsce. Oznaczony również ; zobacz " / ". $P(X\mid E)$ ${\ Displaystyle P (X/E)}$; 5. kilku zastosowań, jak wsporniki (w parach lub z $⟨$ i $⟩$ ), patrz § innych wsporników .
$∤$: Niepodzielność : oznacza, że $n$ nie jest dzielnikiem $m$ . $n\nśrednie m$
$∥$: 1. Oznacza równoległość w elementarnej geometrii : jeśli $PQ$ i $RS$ są dwiema prostymi , oznacza to, że są równoległe. $PQ\równoległy RS$; 2. Równolegle , operacja arytmetyczna stosowana w elektrotechnice do modelowania rezystorów równoległych : . ${\ Displaystyle x \ równoległy y = {\ Frac {1} {{\ Frac {1} {x}} + {\ Frac {1} {y}}}}}$; 3. Użyty w parach jako nawias oznacza normę ; patrz $||□||$ .
$∦$: Czasami używany do oznaczenia, że dwie linie nie są równoległe; na przykład . ${\ Displaystyle PQ \ nie \ równoległy RS}$
$⊙$: Iloczyn Hadamarda szeregu potęgowego : jeśli i , to . Ewentualnie jest również używany zamiast $○$ dla iloczynu macierzy Hadamarda . ${\ Displaystyle \ textstyle S = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} s_ {i} x ^ {i}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle T = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} t_ {i} x ^ {i}}$ ${\ Displaystyle \ textstyle S \ dot T = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} s_ {i} t_ {i} x ^ {i}}$ $\dot$