Kwadratura koła -Squaring the circle

Kwadratura koła: pola tego kwadratu i tego koła są równe . W 1882 roku udowodniono, że figury tej nie da się zbudować w skończonej liczbie kroków za pomocą wyidealizowanego cyrkla i linijki .
Pewne pozorne rozwiązania częściowe przez długi czas dawały fałszywą nadzieję. Na tej figurze zacieniowana postać to księżyc Hipokratesa . Jego pole jest równe polu trójkąta ABC (odnalezionego przez Hipokratesa z Chios ).

Kwadratura koła jest problemem w geometrii zaproponowanym po raz pierwszy w matematyce greckiej . Wyzwaniem jest skonstruowanie kwadratu o powierzchni koła przy użyciu tylko skończonej liczby kroków za pomocą cyrkla i linijki . Trudność problemu nasuwała pytanie, czy określone aksjomaty geometrii euklidesowej dotyczące istnienia prostych i okręgów implikowały istnienie takiego kwadratu.

W 1882 roku zadanie to okazało się niemożliwe w wyniku twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa , które dowodzi, że pi ( ) jest liczbą przestępną . Oznacza to, że nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych . Od dziesięcioleci było wiadomo, że konstrukcja byłaby niemożliwa, gdyby była transcendentalna, ale fakt ten nie został udowodniony aż do 1882 roku. Istnieją przybliżone konstrukcje z dowolną niedoskonałą dokładnością i znaleziono wiele takich konstrukcji.

Mimo dowodu na to, że jest to niemożliwe, próby podniesienia koła do kwadratu są powszechne w pseudomatematyce (praca maniaków matematycznych). Wyrażenie „kwadrat koła” jest czasem używane jako metafora próby dokonania niemożliwego. Termin kwadratura koła jest czasami używany jako synonim kwadratury koła, ale może również odnosić się do przybliżonych lub numerycznych metod określania pola koła .

Historia

Metody obliczania przybliżonej powierzchni danego koła, które można uznać za prekursorski problem kwadratury koła, znane były już w wielu starożytnych kulturach. Metody te można podsumować, podając przybliżenie do π , które wytwarzają. Około 2000 roku pne matematycy babilońscy zastosowali przybliżenie , a mniej więcej w tym samym czasie matematycy starożytni egipscy używali . Ponad 1000 lat później w Księgach Królewskich Starego Testamentu zastosowano prostsze przybliżenie . Starożytna indyjska matematyka , jak zapisano w Shatapatha Brahmana i Shulba Sutras , używała kilku różnych przybliżeń . Archimedes udowodnił wzór na pole koła, zgodnie z którym . W chińskiej matematyce , w III wieku naszej ery, Liu Hui znalazł jeszcze dokładniejsze przybliżenia przy użyciu metody podobnej do metody Archimedesa, a w V wieku Zu Chongzhi znalazł przybliżenie znane jako Milü .

Problem budowy kwadratu, którego powierzchnia jest dokładnie taka, jak koło, a nie jego przybliżeniem, pochodzi z matematyki greckiej . Pierwszym znanym Grekiem, który zbadał ten problem, był Anaksagoras , który pracował nad tym w więzieniu. Hipokrates z Chios zaatakował ten problem, znajdując kształt ograniczony okrągłymi łukami, księżyc Hipokratesa , który można by kwadratu. Antyfona sofista wierzyła, że ​​wpisanie regularnych wielokątów w okrąg i podwojenie liczby boków ostatecznie wypełni obszar koła (jest to metoda wyczerpania ). Argumentował, że skoro każdy wielokąt może być podniesiony do kwadratu, okrąg może być podniesiony do kwadratu. W przeciwieństwie do tego, Eudemus twierdził, że wielkości nie mogą być dzielone bez ograniczeń, więc obszar koła nigdy nie zostanie wykorzystany. Równocześnie z Antyfoną Bryson z Heraklei twierdził, że skoro istnieją zarówno większe, jak i mniejsze koła, musi istnieć krąg o równej powierzchni; zasada ta może być postrzegana jako forma współczesnego twierdzenia o wartości pośredniej . Bardziej ogólny cel wykonania wszystkich konstrukcji geometrycznych przy użyciu jedynie cyrkla i linijki był często przypisywany enopidesowi , ale dowody na to są poszlakowe.

Problem znajdowania pola pod dowolną krzywą, obecnie znany jako całkowanie w rachunku różniczkowym lub kwadratura w analizie numerycznej , był znany jako kwadratura przed wynalezieniem rachunku różniczkowego. Ponieważ techniki rachunku różniczkowego nie były znane, powszechnie zakładano, że kwadraturę należy wykonać za pomocą konstrukcji geometrycznych, czyli za pomocą cyrkla i linijki. Na przykład Newton napisał do Oldenburga w 1676 r. „Wierzę, że M. Leibnitz nie będzie nie lubił twierdzenia na początku mojego listu na s. 4 o geometrycznym kwadraturowaniu linii krzywych”. We współczesnej matematyce terminy te rozeszły się w znaczeniu, z kwadraturą powszechnie używaną, gdy dozwolone są metody z rachunku różniczkowego, podczas gdy kwadratura krzywej zachowuje ideę używania tylko ograniczonych metod geometrycznych.

James Gregory próbował udowodnić niemożność kwadratury koła w Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Prawdziwa kwadratura koła i hiperboli) w 1667. Chociaż jego dowód był błędny, był to pierwszy artykuł, w którym podjęto próbę rozwiązania tego problemu wykorzystując właściwości algebraiczne . Johann Heinrich Lambert udowodnił w 1761 roku, że jest to liczba niewymierna . Dopiero w 1882 roku Ferdynandowi von Lindemannowi udało się dobitniej udowodnić, że π jest liczbą przestępną , a tym samym udowodnić niemożność kwadratury koła za pomocą cyrkla i linijki.

Częściowa historia prób rozwiązania problemu autorstwa Floriana Cajori .

Po dowodzie niemożliwości Lindemanna problem został uznany za rozwiązany przez zawodowych matematyków, a jego późniejsza matematyczna historia jest zdominowana przez pseudomatematyczne próby konstrukcji z kwadratu koła, głównie przez amatorów, oraz przez obalanie tych wysiłków. Ponadto kilku późniejszych matematyków, w tym Srinivasa Ramanujan , opracowało konstrukcje kompasu i linii prostej, które dokładnie przybliżają problem w kilku krokach.

Dwa inne klasyczne problemy starożytności, słynące z niemożliwości, to podwojenie sześcianu i podzielenie kąta na trzy . Podobnie jak kwadratura koła, nie można ich rozwiązać za pomocą kompasu i linijki. Mają jednak inny charakter niż kwadratura koła, ponieważ ich rozwiązanie wymaga pierwiastka z równania sześciennego , a nie jest transcendentalne. Dlatego do konstruowania rozwiązań tych problemów można zastosować metody o większej mocy niż konstrukcje kompasowe i prostoliniowe, takie jak konstrukcja neusis lub składanie papieru matematycznego .

Niemożliwość

Rozwiązanie problemu kwadratury koła za pomocą cyrkla i linijki wymaga skonstruowania liczby , czyli długości boku kwadratu o polu równym polu jednostkowego koła. Gdyby była liczbą konstruowalną , wynikałaby ze standardowych konstrukcji cyrkla i liniału , które również byłyby konstruowalne. W 1837 roku Pierre Wantzel wykazał, że długości, które można konstruować za pomocą cyrkla i linijki, muszą być rozwiązaniami pewnych równań wielomianowych o współczynnikach wymiernych. Zatem długości konstruowalne muszą być liczbami algebraicznymi . Gdyby okrąg mógł być podniesiony do kwadratu tylko za pomocą cyrkla i linijki, musiałby to być numer algebraiczny. Dopiero w 1882 roku Ferdinand von Lindemann dowiódł transcendencji i tym samym wykazał niemożliwość tej konstrukcji. Ideą Lindemanna było połączenie dowodu transcendencji liczby Eulera , wykazanego przez Charlesa Hermite'a w 1873 roku, z tożsamością Eulera

Tożsamość ta od razu pokazuje, że jest to liczba niewymierna , ponieważ moc wymierna liczby transcendentalnej pozostaje transcendentalna. Lindemann był w stanie rozszerzyć ten argument, poprzez twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa o liniowej niezależności potęg algebraicznych , aby pokazać, że jest to transcendentalne, a zatem kwadratura koła jest niemożliwa.

Naginanie reguł poprzez wprowadzenie dodatkowego narzędzia, pozwalającego na nieskończoną liczbę operacji kompasu i prostoliniowości lub wykonywanie operacji w pewnych geometriach nieeuklidesowych umożliwia w pewnym sensie kwadraturę koła. Na przykład twierdzenie Dinostratusa używa kwadratury Hippiasza do kwadratu koła, co oznacza, że ​​jeśli ta krzywa jest już w jakiś sposób dana, to można z niej skonstruować kwadrat i okrąg o równych powierzchniach. Spiralę Archimedesa można wykorzystać do innej podobnej konstrukcji. Chociaż koło nie może być podniesione do kwadratu w przestrzeni euklidesowej , czasami może być w geometrii hiperbolicznej pod odpowiednią interpretacją terminów. Płaszczyzna hiperboliczna nie zawiera kwadratów (czworokątów z czterema kątami prostymi i czterema równymi bokami), ale zamiast tego zawiera regularne czworokąty , kształty o czterech równych bokach i czterech równych kątach, ostrzejsze niż kąty proste. Na płaszczyźnie hiperbolicznej ( przeliczalnie ) istnieje nieskończenie wiele par możliwych do skonstruowania okręgów i możliwych do skonstruowania regularnych czworokątów o równej powierzchni, które jednak są konstruowane jednocześnie. Nie ma metody na rozpoczęcie od dowolnego regularnego czworoboku i skonstruowanie koła o równej powierzchni. Symetrycznie nie ma metody na rozpoczęcie od dowolnego okręgu i zbudowanie regularnego czworoboku o równej powierzchni, a dla wystarczająco dużych okręgów taki czworokąt nie istnieje.

Przybliżone konstrukcje

Chociaż kwadratura koła dokładnie za pomocą cyrkla i linijki jest niemożliwa, przybliżenia do kwadratu koła można podać, konstruując długości bliskie . Wystarczy elementarna geometria, aby przekształcić dowolne racjonalne przybliżenie w odpowiednią

konstrukcję kompasu i liniału mierniczego , ale takie konstrukcje są zwykle bardzo rozwlekłe w porównaniu z dokładnością, jaką osiągają. Gdy okazało się, że dokładny problem jest nierozwiązywalny, niektórzy matematycy wykorzystali swoją pomysłowość do znalezienia przybliżeń do kwadratu koła, które są szczególnie proste wśród innych możliwych do wyobrażenia konstrukcji, które dają podobną precyzję.

Budowa Kochańskiego

Przybliżona konstrukcja Kochańskiego
Kontynuacja kołem i kwadratem o równej powierzchni; oznacza promień początkowy

Jedna z wielu wczesnohistorycznych konstrukcji przybliżonych kompasowo-prostoliniowych pochodzi z pracy polskiego jezuity Adama Adamandy Kochańskiego z 1685 roku, dając przybliżenie odbiegające od piątego miejsca po przecinku. Chociaż znane były już znacznie dokładniejsze przybliżenia liczbowe , konstrukcja Kochańskiego ma tę zaletę, że jest dość prosta. Na lewym schemacie

W tej samej pracy Kochański wyprowadził także ciąg coraz dokładniejszych racjonalnych przybliżeń dla .

Konstrukcje z wykorzystaniem 355/113

Konstrukcja 355/113 Jacoba de Geldera
Budowa 355/113 Ramanujana

Jacob de Gelder opublikował w 1849 roku konstrukcję opartą na aproksymacji

Wartość ta jest z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku i jest znana w Chinach od V wieku jako ułamek Zu Chongzhi , aw Europie od XVII wieku.

Gelder nie zbudował boku placu; wystarczyło, że znalazł wartość

Ilustracja przedstawia konstrukcję de Geldera.

W 1914 indyjski matematyk Srinivasa Ramanujan podał inną konstrukcję geometryczną dla tego samego przybliżenia.

Konstrukcje wykorzystujące złoty podział

Konstrukcja złotego podziału Hobsona
Konstrukcja złotego podziału Dixona

Przybliżona konstrukcja EW Hobsona z 1913 roku jest z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Konstrukcja Hobsona odpowiada przybliżonej wartości

gdzie jest
złoty podział , .

Ta sama przybliżona wartość pojawia się w konstrukcji Roberta Dixona z 1991 roku .

Druga konstrukcja autorstwa Ramanujan

Kwadratura koła, przybliżona konstrukcja według Ramanujana z 1914 roku, z kontynuacją konstrukcji (linie przerywane, średnia proporcjonalna czerwona linia), patrz animacja .
Szkic „Rękopis księgi 1 Srinivasa Ramanujan” s. 54

W 1914 Ramanujan dał konstrukcję, która była równoznaczna z przyjęciem przybliżonej wartości za

podając osiem miejsc po przecinku . Opisuje budowę segmentu liniowego OS w następujący sposób.
Niech AB (rys.2) będzie średnicą okręgu, którego środek to O. Podziel na pół łuk ACB w C i przetnij AO w T. Połącz BC i odetnij od niego CM i MN równe AT. Połącz AM i AN i odetnij od tego ostatniego AP równe AM. Poprzez P narysuj PQ równolegle do MN i spotkaj AM w Q. Dołącz do OQ i przez T narysuj TR równolegle do OQ i spotkaj AQ w R. Narysuj AS prostopadle do AO i równe AR i dołącz do OS. Wtedy średnia proporcjonalna między OS i OB będzie prawie równa jednej szóstej obwodu, błąd jest mniejszy niż jedna dwunasta cala, gdy średnica ma długość 8000 mil.

Nieprawidłowe konstrukcje

Na starość angielski filozof Thomas Hobbes przekonał sam siebie, że udało mu się kwadraturę koła, co zostało obalone przez Johna Wallisa w ramach sporu Hobbes–Wallis . W XVIII i XIX wieku fałszywe poglądy, że problem kwadratury koła jest w jakiś sposób powiązany z problemem długości geograficznej i że za rozwiązanie zostanie przyznana duża nagroda, stały się powszechne wśród niedoszłych kwadratów koła. W 1851 roku John Parker opublikował książkę Quadrature of the Circle , w której twierdził, że podniósł okrąg do kwadratu. Jego metoda faktycznie dała przybliżenie z dokładnością do sześciu cyfr.

Charles Lutwidge Dodgson, matematyk, logik i pisarz epoki wiktoriańskiej, lepiej znany pod pseudonimem Lewis Carroll , również wyraził zainteresowanie obaleniem nielogicznych teorii kwadratury okręgów. W jednym ze swoich wpisów do pamiętnika z 1855 r. Dodgson wymienił książki, które miał nadzieję napisać, w tym jedną zatytułowaną „Zwykłe fakty dla kwadratów koła”. We wstępie do „Nowej teorii paraleli” Dodgson opowiedział o próbie wykazania błędów logicznych kilku okrąg-kwadratom, stwierdzając:

Pierwszy z tych dwóch nierozważnych wizjonerów napełnił mnie wielką ambicją dokonania wyczynu, o którym nigdy nie słyszałem, aby był dokonany przez człowieka, a mianowicie przekonania kwadratu koła o jego błędzie! Wartość, którą mój przyjaciel wybrał dla Pi, wynosiła 3,2: ogromny błąd skusił mnie pomysłem, że można go łatwo wykazać, że BYŁ błędem. Wymieniono ponad dwadzieścia listów, zanim nabrałem smutnego przekonania, że ​​nie mam szans.

Ośmieszenie kwadratury koła pojawia się w książce Augusta De Morgana A Budget of Paradoxes , wydanej pośmiertnie przez wdowę po nim w 1872 roku. jego śmierć. Popularność kwadratury koła spadła po XIX wieku i uważa się, że pomogła w tym praca De Morgana.

Książka Heisela z 1934 r.

Nawet po tym, jak okazało się to niemożliwe, w 1894 roku matematyk-amator Edwin J. Goodwin twierdził, że opracował metodę kwadratu koła. Opracowana przez niego technika nie doprowadziła dokładnie do kwadratu koła i zapewniła niepoprawny obszar koła, który zasadniczo został przedefiniowany jako równy 3,2. Następnie Goodwin zaproponował

ustawę Indiana Pi w legislaturze stanu Indiana, aby umożliwić stanowi stosowanie jego metody w edukacji bez płacenia mu tantiem. Ustawa została uchwalona bez sprzeciwu w izbie państwowej, ale projekt został zgłoszony i nigdy nie głosowano w Senacie, pośród nasilających się kpin ze strony prasy.

Matematyczny maniak Carl Theodore Heisel również twierdził, że podniósł okrąg do kwadratu w swojej książce z 1934 r. „Oto! Wielki problem nie jest już nierozwiązany: okrąg jest kwadratem nie do obalenia”. Paul Halmos określił książkę jako „klasyczną książkę wariata”.

W literaturze

Problem kwadratury koła był poruszany w wielu różnych epokach literackich, z różnymi znaczeniami metaforycznymi . Jego literackie użycie datuje się co najmniej na rok 414 pne, kiedy to po raz pierwszy wystawiono sztukę Ptaki Arystofanesa . W nim postać Meton z Aten wspomina kwadraturę koła, być może wskazując na paradoksalny charakter jego utopijnego miasta.

Raj Dantego , canto XXXIII, wiersze 133–135, zawierają wers:

Jak geometr, jego umysł przykłada się
do kwadratu koła, ani dla całego swojego dowcipu
, Znajduje właściwą formułę, jednak próbuje

Dla Dantego kwadratura koła reprezentuje zadanie przekraczające ludzkie pojmowanie, które porównuje do własnej niezdolności do zrozumienia Raju. Obraz Dantego przywodzi również na myśl fragment Witruwiusza , słynnie zilustrowany później w

Człowieku witruwiańskim Leonarda da Vinci , przedstawiający człowieka wpisanego jednocześnie w okrąg i kwadrat. Dante używa koła jako symbolu Boga i być może wspomniał o tej kombinacji kształtów w odniesieniu do jednoczesnej boskiej i ludzkiej natury Jezusa. Wcześniej, w kantonie XIII, Dante nazywa greckiego kwadratura Brysona, że ​​szukał wiedzy zamiast mądrości.

Kilka dzieł XVII-wiecznej poetki Margaret Cavendish omawia problem kwadratury koła i jego metaforyczne znaczenia, w tym kontrast między jednością prawdy i frakcyjności oraz niemożnością racjonalizacji „fantazji i kobiecej natury”. W 1742 roku, kiedy Alexander Pope opublikował czwartą księgę swojej Dunciad , próby wyrównywania kół do kwadratu zaczęły być postrzegane jako „dzikie i bezowocne”:

Sam Mad Mathesis był nieskrępowany,
Zbyt szalony, by związać zwykłe materialne łańcuchy,
Teraz ku czystej przestrzeni unosi swe ekstatyczne spojrzenie,
Teraz biegnąc po okręgu, stwierdza, że ​​jest kwadratowy.

Podobnie w operze komicznej Gilberta i Sullivana Księżniczka Ida pojawia się piosenka, która w satyryczny sposób wymienia niemożliwe cele kobiecego uniwersytetu prowadzonego przez tytułową bohaterkę, takie jak znalezienie perpetuum mobile . Jednym z tych celów jest „A koło – wyprostują go/pewnego pięknego dnia”.

Sestina , poetycka forma użyta po raz pierwszy w XII wieku przez Arnauta Daniela , podobno podniosła okrąg w kwadratową liczbę linijek (sześć zwrotek po sześć linijek każda) z kołowym schematem sześciu powtarzających się słów. Spanos (1978) pisze, że forma ta przywołuje znaczenie symboliczne, w którym okrąg oznacza niebo, a kwadrat oznacza ziemię. Podobna metafora została użyta w „Squaring the Circle”, opowiadaniu O. Henry'ego z 1908 roku, opowiadającym o wieloletniej rodzinnej kłótni. W tytule tej opowieści okrąg reprezentuje świat przyrody, a kwadrat miasto, świat człowieka.

W późniejszych pracach okrąg-kwadraty, jak Leopold Bloom w powieści Jamesa Joyce'a Ulisses i prawnik Paravant w Czarodziejskiej górze Thomasa Manna , są postrzegani jako smutni złudzenia lub jako nieziemskie marzyciele, nieświadomi swojej matematycznej niemożliwości i snujący wspaniałe plany na osiągnięcie rezultatu. nigdy nie osiągną.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsze czytanie i linki zewnętrzne