Podział kwaternionów - Split-quaternion

Mnożenie kwaternionów

×	1	i	J	k
1	1	i	J	k
i	i	-1	k	−j
J	J	−k	1	−i
k	k	J	i	1

W algebry abstrakcyjnej , że splitowe kwaterniony lub coquaternions stanowią algebraiczną strukturę wprowadzoną przez Jamesa kąkol w 1849 roku pod tym ostatnim nazwiskiem. Tworzą one algebrę asocjacyjną wymiaru czwartego nad liczbami rzeczywistymi .

Po wprowadzeniu w 20 wieku współrzędnych wolne definicji pierścieni i algebrach , wykazano, że Algebra dzielonych quaternions jest izomorficzny z pierścieniem z 2 x 2 rzeczywistym macierzy . Tak więc badanie podzielonych kwaternionów można sprowadzić do badania rzeczywistych macierzy, co może wyjaśniać, dlaczego w literaturze matematycznej XX i XXI wieku niewiele jest wzmianek o podzielonych kwaternionach.

Definicja

W splitowe kwaterniony są kombinacje liniowe (o współczynnikach rzeczywistych) z czterech elementów bazowych 1, i, j, k , które spełniają poniższe zasady dotyczące produktu:

ja ² = -1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

Przez asocjatywność te relacje implikują:

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

a także ijk = 1 .

Zatem podzielone kwaterniony tworzą rzeczywistą przestrzeń wektorową o wymiarze czwartym z {1, i, j, k} jako podstawą . Tworzą one również nieprzemienny pierścień , rozszerzając powyższe zasady iloczynu o rozdzielność na wszystkie podzielone kwaterniony.

Rozważmy macierze kwadratowe

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ pogrubiony symbol {1}} = {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}} \ qquad i {\ pogrubienie {i}} = {\ zacząć {pmatrix }0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{wyrównany}}}$

Spełniają tę samą tabliczkę mnożenia, co odpowiadające im kwaterniony. Ponieważ te macierze tworzą bazę dwójki przez dwie macierze, funkcja odwzorowująca 1, i, j, k na (odpowiednio) indukuje izomorfizm algebry z podzielonych kwaternionów do dwóch przez dwie rzeczywiste macierze. ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {1}}, {\ boldsymbol {i}}, {\ boldsymbol {j}}, {\ boldsymbol {k}}}$

Powyższe zasady mnożenia implikują, że osiem elementów 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k tworzy grupę pod tym mnożeniem, która jest izomorficzna z grupą dwuścienną D ₄ , grupą symetrii kwadrat . W rzeczywistości, jeśli weźmiemy pod uwagę kwadrat, którego wierzchołkami są punkty o współrzędnych 0 lub 1 , macierz jest obrotem zgodnym z ruchem wskazówek zegara o ćwierć obrotu, jest symetrią wokół pierwszej przekątnej i jest symetrią wokół osi x . ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

Nieruchomości

Podobnie jak kwaterniony wprowadzone przez Hamiltona w 1843 roku, tworzą czterowymiarową rzeczywistą algebrę asocjacyjną . Ale podobnie jak macierze i w przeciwieństwie do kwaternionów, podzielone kwaterniony zawierają nietrywialne dzielniki zera , elementy nilpotentne i idempotentne . (Na przykład, 1/2(1 + j) jest idempotentnym dzielnikiem zerowym, a i − j jest nilpotentnym.) Jako algebra nad liczbami rzeczywistymi , algebra podziału kwaternionów jest izomorficzna z algebrą 2×2 macierzy rzeczywistych przez wyżej zdefiniowany izomorfizm .

Ten izomorfizm pozwala na identyfikację każdego podzielonego kwaternionu za pomocą macierzy 2x2. Tak więc każda właściwość podzielonych kwaternionów odpowiada podobnej właściwości macierzy, która często jest inaczej nazywana.

Koniugat dzielonej kwaternion q = W + x i + r j + oo k , to Q ^* = w - x i - r j - oo k . Jeśli chodzi o macierze, koniugat jest macierzą kofaktorową uzyskaną przez zamianę wpisów diagonalnych i zmianę znaku dwóch pozostałych wpisów.

Produktem rozszczepionego kwaternionu z jego koniugatem jest izotropowa forma kwadratowa :

${\ Displaystyle N (q) = qq ^ {*} = w ^ {2} + x ^ {2}-y ^ {2}-z ^ {2},}$

który jest nazywany normą podziału kwaternionów lub wyznacznikiem powiązanej macierzy.

Rzeczywista część podzielonego kwaternionu q = w + x i + y j + z k to w = ( q ^∗ + q )/2 . Jest równy śladowi powiązanej macierzy.

Norma iloczynu dwóch podzielonych kwaternionów jest iloczynem ich norm. Równoważnie wyznacznik iloczynu macierzy jest iloczynem ich wyznaczników.

Oznacza to, że podział kwaternionów i macierze 2×2 tworzą algebrę złożeń . Ponieważ istnieją niezerowe podziały kwaternionów o zerowej normie, split-quaternions tworzą „algebrę dzielonego składu” – stąd ich nazwa.

Podział kwaternion z niezerową normą ma odwrotność multiplikatywną , a mianowicie q ^∗ / N ( q ) . Jeśli chodzi o macierz, jest to reguła Cramera, która twierdzi, że macierz jest odwracalna, jeśli i tylko jej wyznacznik jest niezerowy, i w tym przypadku odwrotnością macierzy jest iloraz macierzy kofaktora przez wyznacznik.

Izomorfizm pomiędzy split-quaternionami i macierzami 2×2 pokazuje, że multiplikatywna grupa podzielonych kwaternionów z niezerową normą jest izomorficzna z a grupa podzielonych kwaternionów normy 1 jest izomorficzna z${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R}),}$${\ Displaystyle \ Operatorname {SL} (2, \ mathbb {R}).}$

Reprezentacja jako złożone macierze

Jest przedstawienie dzielonej quaternions jako unital asocjacyjnej podalgebrą z 2 x 2 matryc złożonych pozycji. Ta reprezentacja może być zdefiniowana przez homomorfizm algebry, który odwzorowuje podział kwaternionów w + x i + y j + z k na macierz

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} w + xi i y + zi \ \ y-zi i w-xi \ koniec {pmatrix}}.}$

Tutaj i ( kursywa ) jest jednostką urojoną , której nie należy mylić z podstawowym dzielonym kwaternionem i ( rzymska pionowa ).

Obrazem tego homomorfizmu jest macierzowy pierścień utworzony przez macierze postaci

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} u & v \ \ v ^ {*} i u ^ {*} \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie indeks górny oznacza złożoną koniugat . ${\ Displaystyle ^ {*}}$

Ten homomorfizm odwzorowuje odpowiednio podział kwaternionów i, j, k na macierzach

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} i 0 \ \ 0 i ja \ koniec {pmatrix}}, \ quad {\ zacząć {pmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}, \ quad {\ zacząć {pmatrix} 0 i \\-i&0\end{pmatrix}}.}$

Dowód, że ta reprezentacja jest homomorfizmem algebry, jest prosty, ale wymaga pewnych nudnych obliczeń, których można uniknąć, zaczynając od wyrażenia podziału kwaternionów jako 2×2 rzeczywistych macierzy i używając podobieństwa macierzy . Niech S będzie macierzą

${\ Displaystyle S = {\ zacząć {pmatrix} 1 i \ \ i i 1 \ koniec {pmatrix}}}.$

Następnie, zastosowany do reprezentacji podzielonych kwaternionów jako macierze rzeczywiste 2×2 , powyższy homomorfizm algebry jest podobieństwem macierzowym.

${\ Displaystyle M \ mapsto S ^ {-1} MS.}$

Wynika z tego niemal natychmiast, że dla podzielonego kwaternionu reprezentowanego jako złożona macierz, koniugat jest macierzą kofaktorów, a norma jest wyznacznikiem.

Z reprezentacją podzielonych kwaternionów jako złożonych macierzy. macierze kwaternionów normy 1 są dokładnie elementami specjalnej grupy unitarnej SU(1,1) . Jest to wykorzystywane w geometrii hiperbolicznej do opisywania hiperboliczne wniosków o modelu dysku Poincaré .

Generowanie z liczb split-complex

Kevin McCrimmon wykazała, jak wszystkie algebrami kompozycji może być zbudowana na podobieństwo opublikowaną przez LE Dickson i Adrian Albert do podziału algebr C , H i O . Rzeczywiście, przedstawia zasadę mnożenia

${\ Displaystyle (a, b) (c, d) \ = \ (ac + d ^ {*} b, \ da + bc ^ {*})}$

do wykorzystania przy wytwarzaniu podwójnego produktu w przypadkach z podziałem rzeczywistym. Tak jak poprzednio, podwojony koniugat , aby ${\ Displaystyle (a, b) ^ {*} = (a ^ {*}, -b)}$

${\ Displaystyle N (a, b) \ = \ (a, b) (a, b) ^ {*} \ = \ (aa ^ {*} -bb ^ {*}, 0).}$

Jeśli a i b są liczbami podzielonymi zespolonymi i podzielonymi kwaternionami${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

następnie ${\ Displaystyle N (q) = aa ^ {*} -bb ^ {*} = w ^ {2}-z ^ {2} - (y ^ {2} - x ^ {2}) = w ^ {2} }+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Stratyfikacja

W tej sekcji badane i klasyfikowane są podalgebry generowane przez pojedynczy podział kwaternionów.

Niech p = w + x i + y j + z k będzie podzielonym kwaternionem. Jego rzeczywista część to w = 1/2( p + p ^* ) . Niech q = p – w =1/2( p – p ^* ) będzie jego nierzeczywistą częścią . Jeden ma q ^* = – q , a zatem Wynika z tego, że jest to liczba rzeczywista wtedy i tylko p jest albo liczbą rzeczywistą ( q = 0 i p = w ) albo czysto nierzeczywistym podzielonym kwaternionem ( w = 0 i p = q ) . ${\ Displaystyle p ^ {2} = w ^ {2} +2 wq-N (q).}$${\displaystyle p^{2}}$

Struktura podalgebry generowanej przez p jest prosta. Jeden ma ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p] = \ mathbb {R} [q] = \ {a + bq \ mid a, b \ w \ mathbb {R} \}}$

a to jest algebra przemienna . Jego wymiar wynosi dwa, chyba że p jest rzeczywiste (w tym przypadku podalgebra to po prostu ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Nierzeczywiste elementy, których kwadrat jest rzeczywisty, mają postać aq z${\ Displaystyle \ mathbb {R} [p]}$${\ Displaystyle a \ w \ mathbb {R}.}$

Należy rozważyć trzy przypadki, które są szczegółowo opisane w kolejnych podrozdziałach.

Przypadek nilpotentny

Z powyższego zapisu, jeśli (to znaczy, jeśli q jest nilpotentne ), to N ( q ) = 0 , to znaczy, To implikuje, że istnieją w i t w takich, że 0 ≤ t < 2 π i ${\displaystyle q^{2}=0,}$${\ Displaystyle x ^ {2}-y ^ {2}-z ^ {2} = 0.}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle p = w + a \ operatorname {i} + a \ cos (t) \ operatorname {j} + a \ sin (t) \ operatorname {k}}.$

Jest to parametryzacja wszystkich podzielonych kwaternionów, których nierzeczywista część jest nilpotentna.

Jest to również parametryzacja tych podalgebr przez punkty okręgu: podzielone kwaterniony postaci tworzą okrąg ; podalgebra generowana przez element nilpotent zawiera dokładnie jeden punkt okręgu; a okrąg nie zawiera żadnego innego punktu. ${\ Displaystyle \ operatorname {i} + \ cos (t) \ operatorname {j} + \ sin (t) \ operatorname {k}}$

Algebra generowana przez element nilpotentny jest izomorficzna z przestrzenią liczb podwójnych . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} \ rangle}$

Rozkładany futerał

Tak jest w przypadku, gdy N ( q )>0 . Pozwalając się ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\ Displaystyle q ^ {2} = - q ^ {*} q = N (q) = n ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} - z ^ {2}.}$

Wynika, że 1/n q należy do hiperboloidy dwóch arkuszy równaniaDlatego istnieją liczby rzeczywiste n , t , u takie, że 0 ≤ t < 2 π oraz ${\ Displaystyle x ^ {2}-y ^ {2}-z ^ {2} = 1.}$

${\ Displaystyle p = w + n \ cosh (u) \ operatorname {i} + n \ sinh (u) \ cos (t) \ operatorname {j} + n \ sinh (u) \ sin (t) \ operatorname { k} .}$

Jest to parametryzacja wszystkich podzielonych kwaternionów, których nierzeczywista część ma normę dodatnią.

Jest to również parametryzacja odpowiednich podalgebr przez pary przeciwległych punktów hiperboloidu dwóch arkuszy: podzielone kwaterniony postaci tworzą hiperboloid dwóch arkuszy; podalgebra generowana przez podział kwaternionów z nierzeczywistą częścią normy dodatniej zawiera dokładnie dwa przeciwstawne punkty na tej hiperboloidzie, po jednym na każdym arkuszu; a hiperboloid nie zawiera żadnego innego punktu. ${\ Displaystyle \ cosh (u) \ operatorname {i} + \ sinh (u) \ cos (t) \ operatorname {j} + \ sinh (u) \ sin (t) \ operatorname {k}}$

Algebra generowana przez split-quaternion z nierzeczywistą częścią normy dodatniej jest izomorficzna do i do przestrzeni liczb split-complex . Jest również izomorficzny (jako algebra) do przez odwzorowanie zdefiniowane przez ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2}-1 \ rangle}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Nierozkładalny futerał

Tak jest w przypadku, gdy N ( q )<0 . Pozwalając się ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\ Displaystyle q ^ {2} = - q ^ {*} q = N (q) = - n ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} - z ^ {2}.}$

Wynika, że 1/n q należy do hiperboloidy jednego arkusza równaniaDlatego istnieją liczby rzeczywiste n , t , u takie, że 0 ≤ t < 2 π oraz ${\ Displaystyle y ^ {2} + z ^ {2}-x ^ {2} = 1.}$

${\ Displaystyle p = w + n \ sinh (u) \ operatorname {i} + n \ cosh (u) \ cos (t) \ operatorname {j} + n \ cosh (u) \ sin (t) \ operatorname { k} .}$

Jest to parametryzacja wszystkich podzielonych kwaternionów, których nierzeczywista część ma normę ujemną.

Jest to również parametryzacja odpowiednich podalgebr przez pary przeciwległych punktów hiperboloidy jednego arkusza: podzielone kwaterniony postaci tworzą hiperboloidę jednego arkusza; podalgebra generowana przez podział kwaternionów z nierzeczywistą częścią normy ujemnej zawiera dokładnie dwa przeciwstawne punkty na tym hiperboloidzie; a hiperboloid nie zawiera żadnego innego punktu. ${\ Displaystyle \ sinh (u) \ operatorname {i} + \ cosh (u) \ cos (t) \ operatorname {j} + \ cosh (u) \ sin (t) \ operatorname {k}}$

Algebra generowana przez split-quaternion z nierzeczywistą częścią normy ujemnej jest izomorficzna do iz ciałem liczb zespolonych. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} + 1 \ rangle }$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Stratyfikacja według normy

Jak widać powyżej, czysto nierzeczywisty podział kwaternionów normy –1, 1 i 0 tworzą odpowiednio hiperboloidę jednego arkusza, hiporboloidę dwóch arkuszy i okrągły stożek w przestrzeni nierzeczywistych kwaternionów.

Te powierzchnie są parami asymptoty i nie przecinają się. Ich uzupełnienie składa się z sześciu połączonych regionów:

• dwa regiony znajdujące się po wklęsłej stronie hiperboloidy dwóch arkuszy, gdzie ${\displaystyle N(q)>1}$
• dwa regiony między hiperboloidą dwóch arkuszy a stożkiem, gdzie ${\ Displaystyle 0<N(q)<1}$
• obszar między stożkiem a hiperboloidą jednego arkusza, gdzie ${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• obszar poza hiperboloidą jednego arkusza, gdzie ${\ Displaystyle N (q) <-1}$

Stratyfikacja ta może być udoskonalona poprzez rozważenie podziału kwaternionów ustalonej normy: dla każdej liczby rzeczywistej n ≠ 0 całkowicie nierzeczywiste podzielone kwaterniony normy n tworzą hiperboloidę. Wszystkie te hiperboloidy są asymptotą do powyższego stożka i żadna z tych powierzchni nie przecina się z inną. Ponieważ zbiór czysto nierzeczywistych podzielonych kwaternionów jest rozłącznym połączeniem tych powierzchni, zapewnia to pożądane rozwarstwienie.

Notatki historyczne

Kokwaterniony zostały początkowo wprowadzone (pod tą nazwą) w 1849 roku przez Jamesa Cockle'a w czasopiśmie filozoficznym London-Edinburgh-Dublin . Referaty wprowadzające według kąkol został wycofany w 1904 Bibliografii w quaternion Society . Alexander Macfarlane nazwał strukturę wektorów split-quaternion układem ekssferycznym, kiedy przemawiał na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu w 1900 roku.

Sferę jednostkową rozważał w 1910 roku Hans Beck. Na przykład, grupa dwuścienna pojawia się na stronie 419. Struktura podziału kwaternionów została również pokrótce wspomniana w Annals of Mathematics .

Synonimy

• Para-quaternions (Ivanov i Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Rozmaitości o strukturach para-quaternionowych są badane w geometrii różniczkowej i teorii strun . W literaturze para-quaternionicznej k zastępuje się przez −k.
• System sferyczny (Macfarlane 1900)
• Podzielone kwaterniony (Rosenfeld 1988)
• Antykwaterniony (Rosenfeld 1988)
• Pseudokwaterniony (Jaglom 1968 Rosenfeld 1988)

Zobacz też

• Matryce Pauliego
• Split-biquaternions
• Podział-oktonony
• Liczby hiperzłożone
• Podwójne kwaterniony

Uwagi

Dalsza lektura

• Brody, Dorje C. i Eva-Maria Graefe . „O złożonej mechanice i kokwaternionach”. Journal of Physics A: Matematyczne i teoretyczne 44,7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Iwanow, Stefan; Zamkovoy Simeon (2005), "Parahermitian i kolektory paraquaternionic" Differential Geometry i jej zastosowania 23 , pp 205-234,. ArXiv : math.DG / 0310415 , MR 2158044 .
• Mohaupt, Thomas (2006), "Nowe osiągnięcia w specjalnej geometrii", arXiv : hep-th/0602171 .
• Özdemir, M. (2009) „Korzenie podzielonej kwaternionów”, Applied Mathematics Letters 22: 258-63. [1]
• Özdemir, M. i AA Ergin (2006) „Obrót z timelike kwaternionów w Minkowskiego 3-przestrzeni”, Journal of Geometry and Physics 56: 322-36. [2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008) Niektóre algebraiczne i analityczne właściwości algebry kokwaternionów , Postępy w stosowanych algebrach Clifforda .