Grupa wirowania - Spin group

W matematyce grupa wirowania wirówki ( n ) jest podwójna osłona o specjalnej grupy prostopadłym SO ( n ) = SO ( n , R ) , tak że istnieje krótki dokładnej sekwencji z grupy Lie (gdy n ≠ 2 )

Jako grupa Lie Spin ( n ) zatem dzieli wymiar , N ( N - 1) / 2 , a jego Lie Algebra ze szczególną grupą ortogonalną.

Dla n > 2 , wirowania ( n ) jest po prostu połączone więc pokrywa się z uniwersalnego pokrywy w SO ( n ) .

Nieoczywiste elementem jądra są oznaczone 1, które nie powinny być mylone z transformacji ortogonalnej odbicia przez początek układu , ogólnie oznaczone - I .

Spin ( n ) można skonstruować jako podgrupę elementów odwracalnych w algebrze Clifforda Cl ( n ). Odrębny artykuł omawia reprezentacje spinu .

Motywacja i interpretacja fizyczna

Grupa spinowa jest używana w fizyce do opisu symetrii (elektrycznie obojętnych, nienaładowanych) fermionów . Jego kompleksowość, Spinc, jest używana do opisania naładowanych elektrycznie fermionów, w szczególności elektronu . Ściśle mówiąc, grupa spinowa opisuje fermion w zerowymiarowej przestrzeni; Ale oczywiście, przestrzeń nie jest zero-wymiarowej, a więc grupy wirowania jest używany do określenia struktury wirowania w (pseudo-) Riemanna rozdzielaczy : grupa wirowania jest grupa struktura z wiązki Spinor . Połączenie afiniczne na wiązce spinora jest połączeniem spinowym ; połączenie spinowe jest przydatne, ponieważ może uprościć i nadać elegancji wielu zawiłym obliczeniom ogólnej teorii względności . Połączenie spinowe z kolei umożliwia zapisanie równania Diraca w zakrzywionej czasoprzestrzeni (efektywnie we współrzędnych tetradowych ), co z kolei stanowi podstawę dla kwantowej grawitacji , a także formalizuje promieniowanie Hawkinga (gdzie jedno z pary splątanych, wirtualne fermiony wykraczają poza horyzont zdarzeń, a inne nie). Krótko mówiąc, grupa spinowa jest kluczowym kamieniem węgielnym, kluczowym dla zrozumienia zaawansowanych koncepcji współczesnej fizyki teoretycznej. W matematyce grupa spinowa jest interesująca sama w sobie: nie tylko z tych powodów, ale z wielu innych powodów.

Budowa

Konstrukcja grupy Spin często zaczyna się od konstrukcji algebry Clifforda na rzeczywistej przestrzeni wektorowej V o określonej formie kwadratowej q . Algebra Clifforda jest ilorazem algebry tensorowej T V z V przez dwustronny ideał. Algebra tensorów (po liczbach rzeczywistych) może być zapisana jako

Algebra Clifforda Cl ( V ) jest więc algebrą ilorazową

gdzie jest kwadratowa forma zastosowana do wektora . Powstała przestrzeń jest naturalnie stopniowana (jako przestrzeń wektorowa) i można ją zapisać jako

gdzie i . Wirowania Algebra jest zdefiniowany jako

gdzie ostatnia jest krótką ręką dla V będącej rzeczywistą przestrzenią wektorową o rzeczywistym wymiarze n . To jest algebra Liego ; posiada naturalne działanie na V , i w ten sposób można wykazać być izomorficzna z algebrą Liego na specjalnej grupy ortogonalnej .

Grupa pinów jest podgrupą grupy Clifforda zawierającą wszystkie elementy formularza

gdzie każdy ma długość jednostkową:

Grupa spinowa jest wtedy definiowana jako

gdzie jest podprzestrzeń generowana przez elementy, które są iloczynem parzystej liczby wektorów. Oznacza to, że Spin ( V ) składa się ze wszystkich elementów Pin ( V ), podanych powyżej, z zastrzeżeniem, że k jest liczbą parzystą. Ograniczenie do parzystej podprzestrzeni jest kluczem do tworzenia dwuskładnikowych spinorów (Weyla), skonstruowanych poniżej.

Jeśli zbiór jest bazą ortonormalną (rzeczywistej) przestrzeni wektorowej V , to powyższy iloraz nadaje przestrzeni naturalną strukturę antykomunikacyjną:

dla

co wynika uznając za . Okazuje się, że ta anty-komutacja ma znaczenie w fizyce, ponieważ oddaje ducha zasady wykluczenia Pauliego dla fermionów . Precyzyjne sformułowanie jest tu poza zakresem, ale wiąże się z utworzeniem wiązki spinorowej w czasoprzestrzeni Minkowskiego ; powstałe pola spinorowe mogą być postrzegane jako przeciwdziałające dojazdom do pracy jako produkt uboczny konstrukcji algebry Clifforda. Ta właściwość przeciwkomutacyjna jest również kluczowa do sformułowania supersymetrii . Algebra Clifforda i grupa spinowa mają wiele interesujących i ciekawych właściwości, z których niektóre wymieniono poniżej.

Podwójne pokrycie

Dla przestrzeni kwadratowej V , podwójne pokrycie SO ( V ) przez Spin ( V ) można podać wyraźnie, jak poniżej. Pozwolić być Baza Ortonormalna dla V . Zdefiniuj antyautomorfizm wg

Można to rozszerzyć na wszystkie elementy poprzez liniowość. Od tego czasu jest to antyhomomorfizm

Zauważ, że Pin ( V ) można wtedy zdefiniować jako wszystkie elementy, dla których

Teraz zdefiniuj automorfizm, który na elementach stopnia 1 jest dany przez

i oznaczmy , co jest antyautomorfizmem Cl ( V ). W tym zapisie wyraźnym podwójnym pokryciem jest homomorfizm podany przez

gdzie . Gdy a ma stopień 1 (tj. ), Odpowiada odbiciu w poprzek hiperpłaszczyzny prostopadłej do a ; wynika to z właściwości algebry Clifforda przeciwko dojeżdżaniu do pracy.

Daje to podwójne pokrycie zarówno O ( V ) przez Pin ( V ), jak i SO ( V ) przez Spin ( V ), ponieważ daje taką samą transformację jak .

Przestrzeń Spinor

Warto przyjrzeć się, jak zbudowane są przestrzenie spinorowe i spinory Weyla , biorąc pod uwagę ten formalizm. Biorąc pod uwagę rzeczywistą przestrzeń wektorową V o wymiarze n = 2 m liczbą parzystą, jej złożoność wynosi . Można go zapisać jako bezpośrednią sumę podprzestrzeni spinorów i podprzestrzeni antyspinorów:

Przestrzeń jest rozpięta przez spinory dla i rozpiętość złożonych spinorów sprzężonych . Łatwo zauważyć, że spinory przeciwdziałają komutacji, a iloczyn spinora i antyspinora jest skalarem.

Przestrzeń spinorowa jest definiowana jako algebra zewnętrzna . (Złożona) algebra Clifforda działa naturalnie w tej przestrzeni; (złożona) grupa spinowa odpowiada endomorfizmom zachowującym długość . Algebra zewnętrzna ma stopniowanie naturalne: iloczyn nieparzystej liczby kopii odpowiada pojęciu fizyki fermionów; parzysta podprzestrzeń odpowiada bozonom. Reprezentacje działania grupy spinowej w przestrzeni spinora można zbudować w stosunkowo prosty sposób.

Złożona sprawa

Grupa Spin C jest zdefiniowana przez dokładną sekwencję

Jest multiplikatywna podgrupa complexification algebry Clifford, a konkretnie jest to podgrupa generowane Spin ( V ) i koło jednostka C . Alternatywnie jest to iloraz

gdzie równoważność identyfikuje ( a , u ) z (- a , - u ) .

Ma to ważne zastosowania w teorii 4-rozmaitości i teorii Seiberga-Wittena . W fizyce grupa Spin jest odpowiednia do opisania nienaładowanych fermionów, podczas gdy grupa Spin C jest używana do opisania fermionów naładowanych elektrycznie. W tym przypadku (1) symetrii U szczególności grupa miernik z elektromagnetyzmu .

Wyjątkowe izomorfizmy

W małych wymiarach istnieją izomorfizmy wśród klasycznych grup Liego zwanych izomorfizmami wyjątkowymi . Na przykład istnieją izomorfizmy między niskowymiarowymi grupami spinowymi a pewnymi klasycznymi grupami Liego, ze względu na niskowymiarowe izomorfizmy między systemami korzeni (i odpowiadającymi im izomorfizmami diagramów Dynkina ) różnych rodzin prostych algebr Liego . Pisząc R dla liczb rzeczywistych, C dla liczb zespolonych, H dla kwaternionów i ogólne zrozumienie, że Cl ( n ) jest krótką ręką dla Cl ( R n ) i że Spin ( n ) jest krótką ręką dla Spin ( R n ) i tak dalej, wtedy mamy to

Cl even (1) = R liczby rzeczywiste
Pin (1) = {+ i, −i, +1, −1}
Spin (1) = O (1) = {+1, −1} ortogonalna grupa wymiaru zero.

-

Cl nawet (2) = C liczby zespolone
Spin (2) = U (1) = SO (2) , który działa na z w R 2 przez podwójną rotację faz z u 2 z . dim = 1

-

Cl także (3) = h do quaternions
Spin (3) = Sp (1) = SU (2) , odpowiadające . dim = 3

-

Cl nawet (4) = H H
Spin (4) = SU (2) × SU (2), odpowiadające . dim = 6

-

Cl nawet (5) = M (2, H ) macierze dwa na dwa ze współczynnikami czwartorzędowymi
Spin (5) = Sp (2) , odpowiadające . dim = 10

-

Cl nawet (6) = M (4, C ) macierze cztery na cztery ze złożonymi współczynnikami
Spin (6) = SU (4) , odpowiadające . dim = 15

Istnieją pewne pozostałości tych izomorfizmów dla n = 7, 8 ( więcej szczegółów w Spin (8) ). Dla wyższego n te izomorfizmy zanikają całkowicie.

Podpis na czas nieokreślony

W sygnaturze nieokreślonej grupa spinowa Spin ( p , q ) jest konstruowana przez algebry Clifforda w podobny sposób jak standardowe grupy spinowe. Jest podwójna osłona z SO 0 ( p , q ) , z połączonym składnikiem identyczności z nieokreślonym grupy prostopadłym SO ( p , q ) . Dla p + q > 2 , Spin ( p , q ) jest połączony; dla ( p , q ) = (1, 1) są dwa połączone elementy. Jak w sygnaturze określonej, w małych wymiarach występują przypadkowe izomorfizmy:

Spin (1, 1) = GL (1, R )
Spin (2, 1) = SL (2, R )
Spin (3, 1) = SL (2, C )
Spin (2, 2) = SL (2, R ) × SL (2, R )
Spin (4, 1) = Sp (1, 1)
Spin (3, 2) = Sp (4, R )
Spin (5, 1) = SL (2, H )
Wirowanie (4, 2) = SU (2, 2)
Spin (3, 3) = SL (4, R )
Wirowanie (6, 2) = SU (2, 2, H )

Zauważ, że Spin ( p , q ) = Spin ( q , p ) .

Zagadnienia topologiczne

Połączone i po prostu połączone grupy Liego są klasyfikowane według ich algebry Liego. Więc jeśli G jest połączona grupa Lie z algebry proste kłamstwo, z G 'z powszechnego ubezpieczenia od G , jest włączenie

z Z ( G ') centrum z G '. Włączenie i Algebra Lie z G określenia G całkowicie (Należy zauważyć, że nie jest to przypadek, i π 1 ( G ) określa G w całości, na przykład SL (2, R ) i PSL, (2, R ) ma takie same Lie algebraiczne i ta sama podstawowa grupa Z , ale nie są izomorficzne).

Określone podpisy Spin ( n ) są po prostu połączone dla n  > 2, więc są to uniwersalne pokrycia SO ( n ).

W sygnaturze nieokreślonej Spin ( p , q ) niekoniecznie jest połączony, a generalnie składnik tożsamości , Spin 0 ( p , q ), nie jest po prostu połączony, więc nie jest to uniwersalna osłona. Podstawową grupę najłatwiej zrozumieć, biorąc pod uwagę maksymalną zwartą podgrupę SO ( p , q ), która jest SO ( p ) × SO ( q ), i zauważając, że zamiast być iloczynem podwójnych pokryw (stąd a Okładka 4-krotna), Spin ( p , q ) to okładka 2-krotna przekątna - jest to iloraz okładki 4-krotnej. Najwyraźniej maksymalna zwarta połączona podgrupa Spin ( p , q ) to

Spin ( p ) × Spin ( q ) / {(1, 1), (−1, −1)}.

To pozwala nam obliczyć podstawowe grupy Spin ( p , q ), przyjmując p q :

Zatem gdy p , q > 2, podstawową grupą jest Z 2 , ponieważ jest to dwukrotny iloraz iloczynu dwóch uniwersalnych pokryw.

Mapy dotyczące grup podstawowych podano poniżej. Dla p , q > 2 , to implikuje, że mapa π 1 (Spin ( p , q )) → π 1 (SO ( p , q )) jest dana przez 1 ∈ Z 2 idące do (1, 1) ∈ Z 2 × Z 2 . Dla p = 2, q > 2 , ta mapa jest dana wzorem 1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z 2 . I wreszcie, dla p = q = 2 , (1, 0) ∈ Z × Z jest wysyłane do (1,1) ∈ Z × Z, a (0, 1) jest wysyłane do (1, −1) .

Środek

Środki grup spinowych, dla n ≥ 3 (zespolone i rzeczywiste) są podane w następujący sposób:

Grupy ilorazowe

Grupy ilorazowe można otrzymać z grupy spinowej przez ilorazowanie przez podgrupę centrum, przy czym grupa spinowa jest wówczas grupą pokrywającą wynikowy iloraz, a obie grupy mają tę samą algebrę Liego.

Ilorazowanie przez całe centrum daje minimalną taką grupę, rzutową specjalną grupę ortogonalną , która jest bez środka , podczas gdy iloraz na zewnątrz przez {± 1} daje specjalną grupę ortogonalną - jeśli środek jest równy {± 1} (czyli w nieparzystym wymiarze) , te dwie grupy ilorazów są zgodne. Jeśli grupa spinowa jest po prostu połączona (ponieważ Spin ( n ) jest dla n > 2 ), to Spin jest maksymalną grupą w sekwencji, a jedna ma sekwencję trzech grup,

Spin ( n ) → SO ( n ) → PSO ( n ),

podział według rentowności parytetu:

Spin (2 n ) → SO (2 n ) → PSO (2 n ),
Spin (2 n +1) → SO (2 n +1) = PSO (2 n +1),

które są trzema zwartymi formami rzeczywistymi (lub dwoma, jeśli SO = PSO ) zwartej algebry Liego

Do grupy homotopy pokrywy i iloraz są związane przez długi dokładnej sekwencji o fibration z włókna dyskretny (włókno jest jądro) - stąd każdego homotopii o k > 1 są równe, ale gatunku 0 i π 1 mogą się różnić .

Dla n > 2 Spin ( n ) jest po prostu połączony ( π 0 = π 1 = Z 1 jest trywialne), więc SO ( n ) jest połączone i ma grupę podstawową Z 2, podczas gdy PSO ( n ) jest połączone i ma grupę podstawową równą do centrum Spin ( n ).

W podpisie nieokreślonym okładki i grupy homotopii są bardziej skomplikowane - Spin ( p , q ) nie jest po prostu połączony, a ilorazowanie wpływa również na połączone elementy. Analiza jest prostsza, jeśli weźmie się pod uwagę maksymalny (połączony) zwarty SO ( p ) × SO ( q ) ⊂ SO ( p , q ) i grupę składową Spin ( p , q ) .

Wieża Whitehead

Grupa spinowa pojawia się w wieży Whitehead zakotwiczonej przez grupę ortogonalną :

Wieżę uzyskuje się poprzez sukcesywne usuwanie (zabijanie) grup homotopii o rosnącym porządku. Odbywa się to poprzez konstruowanie krótkich, dokładnych sekwencji zaczynających się od przestrzeni Eilenberga-MacLane'a, aby usunąć grupę homotopii. Zabijając grupę homotopii π 3 w Spin ( n ), otrzymujemy nieskończenie-wymiarową grupę ciągów String ( n ).

Dyskretne podgrupy

Dyskretne podgrupy grupy spinowej można zrozumieć, odnosząc je do dyskretnych podgrup specjalnej grupy ortogonalnej (grupy punktów rotacyjnych ).

Biorąc pod uwagę podwójne pokrycie Spin ( n ) → SO ( n ) , zgodnie z twierdzeniem o kratownicy , istnieje powiązanie Galois między podgrupami Spin ( n ) i podgrupami SO ( n ) (obrotowe grupy punktów): obraz podgrupy Spin ( n ) jest rotacyjną grupą punktów, a preimage grupy punktowej jest podgrupą Spin ( n ), a operator zamknięcia podgrup Spin ( n ) jest pomnożony przez {± 1}. Można je nazwać „grupami punktów binarnych”; najbardziej znany jest przypadek trójwymiarowy, znany jako binarne grupy wielościenne .

Konkretnie, każda binarna grupa punktów jest albo przedobrazem grupy punktów (stąd oznaczona jako 2 G , dla grupy punktów G ) lub jest podgrupą indeksu 2 przedobrazu grupy punktów, która odwzorowuje (izomorficznie) na grupę punktów; w tym drugim przypadku pełna grupa binarna jest abstrakcyjna (ponieważ {± 1} jest centralna). Jako przykład tego ostatniego, biorąc pod uwagę cykliczną grupę o nieparzystej kolejności w SO ( n ), jej przedobrazem jest cykliczna grupa o podwójnej kolejności, a podgrupa Z 2 k +1 <Spin ( n ) odwzorowuje izomorficznie do Z 2 k +1 <SO ( n ) .

Na szczególną uwagę zasługują dwie serie:

W przypadku grup punktów, które odwracają orientację, sytuacja jest bardziej skomplikowana, ponieważ istnieją dwie grupy pinów , więc istnieją dwie możliwe grupy binarne odpowiadające danej grupie punktów.

Zobacz też

Powiązane grupy

Bibliografia

Dalsza lektura