Funkcje specjalne - Special functions

Funkcje specjalne są poszczególne funkcje matematyczne , które mają mniej lub bardziej określone nazwy i oznaczenia ze względu na ich znaczenie w analizie matematycznej , analizy funkcjonalnej , geometrii , fizyki lub innych aplikacji.

Termin jest zdefiniowany na zasadzie konsensusu, a zatem brakuje mu ogólnej definicji formalnej, ale Lista funkcji matematycznych zawiera funkcje, które są powszechnie akceptowane jako specjalne.

Tabele funkcji specjalnych

Wiele funkcji specjalnych pojawiają się jako rozwiązań równań różniczkowych lub całki z funkcji elementarnych . Dlatego tablice całek zwykle zawierają opisy funkcji specjalnych, a tablice funkcji specjalnych zawierają najważniejsze całki; przynajmniej integralna reprezentacja funkcji specjalnych. Ponieważ symetrie równań różniczkowych są niezbędne zarówno w fizyce, jak i matematyce, teoria funkcji specjalnych jest ściśle powiązana z teorią grup Liego i algebrami Liego , a także z niektórymi zagadnieniami fizyki matematycznej .

Symboliczne silniki obliczeniowe zwykle rozpoznają większość funkcji specjalnych.

Notacje używane do funkcji specjalnych

Funkcje o ustalonych notacjach międzynarodowych to sinus ( ), cosinus ( ), funkcja wykładnicza ( ) i funkcja błędu ( lub ).

Niektóre funkcje specjalne mają kilka notacji:

  • Logarytmu naturalnego może być oznaczona , , lub w zależności od kontekstu.
  • Funkcja styczna może być oznaczona , , lub ( jest używana głównie w literaturze rosyjskiej i bułgarskiej ).
  • Arcus tangens można oznaczyć , , lub .
  • Funkcje Bessela można oznaczyć

Indeksy dolne są często używane do wskazywania argumentów, zazwyczaj liczb całkowitych. W kilku przypadkach jako separatora używany jest średnik (;) lub nawet odwrotny ukośnik (\). W takim przypadku tłumaczenie na języki algorytmiczne dopuszcza niejasności i może prowadzić do nieporozumień.

Indeksy górne mogą wskazywać nie tylko potęgowanie, ale także modyfikację funkcji. Przykłady (szczególnie z funkcjami trygonometrycznymi i funkcjami hiperbolicznymi ) obejmują:

  • zwykle oznacza
  • jest typowo , ale nigdy
  • zwykle oznacza , a nie ; ten zwykle powoduje najwięcej zamieszania, ponieważ interpretacja z tą wartością wykładnika jest niespójna z innymi.

Ocena funkcji specjalnych

Większość funkcji specjalnych jest traktowana jako funkcja zmiennej złożonej . Są analityczne ; opisane są osobliwości i cięcia; znane są reprezentacje różniczkowe i całkowe oraz dostępne są rozwinięcia w szereg Taylora lub szereg asymptotyczny . Ponadto czasami istnieją relacje z innymi funkcjami specjalnymi; skomplikowaną funkcję specjalną można wyrazić w kategoriach prostszych funkcji. Do oceny można wykorzystać różne reprezentacje; najprostszym sposobem oceny funkcji jest rozwinięcie jej w szereg Taylora. Jednak taka reprezentacja może zbiegać się powoli lub wcale. W językach algorytmicznych zwykle stosuje się przybliżenia racjonalne , chociaż mogą one źle się zachowywać w przypadku złożonych argumentów.

Historia funkcji specjalnych

Klasyczna teoria

Chociaż trygonometrię można skodyfikować — co było jasne już dla doświadczonych matematyków XVIII wieku (jeśli nie wcześniej), — poszukiwania kompletnej i zunifikowanej teorii funkcji specjalnych trwają od XIX wieku. Punktem kulminacyjnym teorii funkcji specjalnych w latach 1800–1900 była teoria funkcji eliptycznych ; traktaty, które były zasadniczo kompletne, takie jak Tannery i Molk , można by pisać jako podręczniki do wszystkich podstawowych tożsamości teorii. Opierały się na technikach analizy złożonej .

Od tego czasu należałoby przyjąć, że podstawowym narzędziem była teoria funkcji analitycznych , która już ujednoliciła funkcje trygonometryczne i wykładnicze . Koniec stulecia to także bardzo szczegółowe omówienie harmoniki sferycznej .

Zmieniające się i stałe motywacje

Oczywiście pragnienie szerokiej teorii obejmującej jak najwięcej znanych funkcji specjalnych ma swój urok intelektualny, ale warto zwrócić uwagę na inne motywacje. Przez długi czas funkcje specjalne znajdowały się w szczególnej dziedzinie matematyki stosowanej ; zastosowania w naukach fizycznych i inżynierii określiły względne znaczenie funkcji. W czasach przed komputerem elektronicznym ostatecznym uzupełnieniem specjalnej funkcji było ręczne obliczanie rozszerzonych tabel jej wartości . Był to bardzo kapitałochłonny proces, mający na celu udostępnienie funkcji przez wyszukiwanie , tak jak w przypadku znanych tablic logarytmicznych . Aspekty teorii, które wtedy miały znaczenie, mogą być wtedy dwa:

W przeciwieństwie do tego, można by powiedzieć, istnieją podejścia typowe dla zainteresowań czystej matematyki : analiza asymptotyczna , kontynuacja analityczna i monodromia na płaszczyźnie zespolonej oraz odkrycie zasad symetrii i innych struktur za fasadą niekończących się formuł w rzędach. W rzeczywistości nie ma prawdziwego konfliktu między tymi podejściami.

Dwudziesty wiek

W XX wieku pojawiło się kilka fal zainteresowania teorią funkcji specjalnych. Klasyczny podręcznik Whittakera i Watsona (1902) starał się ujednolicić teorię za pomocą złożonych zmiennych ; GN Watson Tome Traktat o teorii funkcji Bessela popchnął technik jak najdalej na jednym ważnym typu, szczególnie przyjęci asymptotyka być badane.

Późniejszy Bateman Manuscript Project , pod redakcją Arthura Erdélyi , próbował być encyklopedyczny i pojawił się w czasie, gdy obliczenia elektroniczne wysuwały się na pierwszy plan, a tabulacja przestała być głównym problemem.

Współczesne teorie

Współczesna teoria wielomianów ortogonalnych ma określony, ale ograniczony zakres. Szeregi hipergeometryczne stały się teorią skomplikowaną, wymagającą późniejszego koncepcyjnego uporządkowania. Grupy Liego , aw szczególności ich teoria reprezentacji , wyjaśniają, czym w ogóle może być funkcja sferyczna ; od 1950 r. znaczne części teorii klasycznej można było przekształcić w grupy Liego. Co więcej, prace nad kombinatoryką algebraiczną również ożywiły zainteresowanie starszymi częściami teorii. Przypuszczenia Iana G. Macdonalda pomogły otworzyć duże i aktywne nowe pola o typowym smaku funkcji specjalnych. Równania różnicowe zaczęły zajmować miejsce obok równań różniczkowych jako źródło funkcji specjalnych.

Funkcje specjalne w teorii liczb

W teorii liczb tradycyjnie badano pewne funkcje specjalne, takie jak poszczególne szeregi Dirichleta i formy modułowe . Odzwierciedlają się tam prawie wszystkie aspekty teorii funkcji specjalnych, a także kilka nowych, takich jak teoria potwornego bimbru .

Badacze

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Gradsztejn, Izrail Salomonovich ; Ryżik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Jurij Wieniaminowicz ; Tseytlin, Michaił Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [październik 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (red.). Tabela całek, serii i produktów . Przetłumaczone przez Scripta Technica, Inc. (8 wyd.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .
  2. ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irena A. (1964). Podręcznik funkcji matematycznych .

Linki zewnętrzne