Wykres Smitha - Smith chart

Wykres Smitha , wynaleziony przez Phillip H. Smith (1905-1987) i niezależnie przez Mizuhashi Tosaku, to graficzny kalkulator lub Nomogram zaprojektowany dla inżynierów elektryków i elektroników specjalizujących się w częstotliwości radiowej (RF), inżynierii, aby pomóc w rozwiązywaniu problemów z linii przesyłowych i pasujące obwody. Wykres Smitha może być używany do jednoczesnego wyświetlania wielu parametrów, w tym impedancji , admitancji , współczynników odbicia , parametrów rozpraszania , okręgów szumów , konturów stałego wzmocnienia i obszarów dla bezwarunkowej stabilności , w tym analizy drgań mechanicznych . Wykres Smitha jest najczęściej używany w obszarze promienia jedności lub w jego obrębie. Jednak pozostała część jest nadal istotna matematycznie i jest wykorzystywana na przykład w projektowaniu oscylatorów i analizie stabilności . Podczas gdy użycie papierowych wykresów Smitha do rozwiązywania złożonej matematyki związanej z dopasowywaniem problemów zostało w dużej mierze zastąpione metodami opartymi na oprogramowaniu, wykres Smitha jest nadal bardzo przydatną metodą pokazywania, jak zachowują się parametry RF przy jednej lub kilku częstotliwościach, alternatywą dla używania informacje tabelaryczne . Dlatego większość programów do analizy obwodów RF zawiera opcję wykresu Smitha do wyświetlania wyników, a wszystkie, z wyjątkiem najprostszych przyrządów do pomiaru impedancji, mogą wykreślać zmierzone wyniki na wyświetlaczu wykresu Smitha. ${\displaystyle S_{nn}\,}$

Wykres Smitha impedancji (bez wykresu danych)

Przegląd

Analizator sieci ( HP 8720A) pokazuje wykres Smitha.

Wykres Smitha jest wykreślany na płaszczyźnie złożonego współczynnika odbicia w dwóch wymiarach i jest skalowany w znormalizowanej impedancji (najczęściej), znormalizowanej admitancji lub obu, przy użyciu różnych kolorów, aby je rozróżnić. Są one często znane jako odpowiednio wykresy Z, Y i YZ Smith. Znormalizowane skalowanie umożliwia wykorzystanie wykresu Smitha do problemów związanych z dowolną charakterystyką lub impedancją systemu, która jest reprezentowana przez punkt centralny wykresu. Najczęściej stosowana impedancja normalizacyjna to 50  omów . Po uzyskaniu odpowiedzi za pomocą konstrukcji graficznych opisanych poniżej, łatwo jest dokonać konwersji między znormalizowaną impedancją (lub znormalizowaną admitancją) a odpowiednią nieznormalizowaną wartością przez pomnożenie przez impedancję charakterystyczną (admitancję). Współczynniki odbicia można odczytać bezpośrednio z wykresu, ponieważ są to parametry niemianowane.

Wykres Smitha ma skalę na obwodzie lub obwodzie, która jest wyskalowana w długościach fal i stopniach . Skala długości fal jest używana w problemach z komponentami rozproszonymi i reprezentuje odległość mierzoną wzdłuż linii przesyłowej połączonej między generatorem lub źródłem a obciążeniem do rozważanego punktu. Skala stopni reprezentuje kąt współczynnika odbicia napięcia w tym punkcie. Wykres Smitha może być również używany do rozwiązywania problemów związanych z dopasowaniem i analizą elementów skupionych .

Korzystanie z wykresu Smitha i interpretacja uzyskanych za jego pomocą wyników wymaga dobrego zrozumienia teorii obwodów prądu przemiennego i teorii linii transmisyjnych, które są warunkiem wstępnym dla inżynierów RF.

Ponieważ impedancje i admitancje zmieniają się wraz z częstotliwością, problemy za pomocą wykresu Smitha można rozwiązać ręcznie tylko przy użyciu jednej częstotliwości na raz, a wynik jest reprezentowany przez punkt . Jest to często odpowiednie dla zastosowań wąskopasmowych (zwykle do około 5% do 10% szerokości pasma ), ale dla szerszych szerokości pasma zwykle konieczne jest zastosowanie technik wykresu Smitha przy więcej niż jednej częstotliwości w całym paśmie częstotliwości roboczej. Zakładając, że częstotliwości są dostatecznie zbliżone, wynikowe punkty wykresu Smitha mogą być połączone liniami prostymi w celu utworzenia miejsca .

Locus punktów na wykresie Smitha obejmujących zakres częstotliwości można wykorzystać do wizualnego przedstawienia:

• jak pojemnościowe lub jak indukcyjne jest obciążenie w całym zakresie częstotliwości
• jak trudne może być dopasowanie na różnych częstotliwościach
• jak dobrze dopasowany jest dany składnik.

Dokładność wykresu Smitha jest zmniejszona w przypadku problemów związanych z dużym umiejscowieniem impedancji lub admitancji, chociaż skalowanie można powiększyć dla poszczególnych obszarów, aby je uwzględnić.

Podstawa matematyczna

Najbardziej podstawowe zastosowanie wykresu impedancji Smitha. Fala biegnie wzdłuż linii przesyłowej o impedancji charakterystycznej Z ₀ , zakończonej obciążeniem o impedancji Z _L i impedancji znormalizowanej z = Z _L / Z ₀ . Występuje odbicie sygnału o współczynniku Γ. Każdy punkt na wykresie Smitha jednocześnie reprezentuje zarówno wartość z (dolny lewy), jak i odpowiadającą mu wartość Γ (dolny prawy), powiązaną przez z =(1 + Γ)/(1 − Γ).

Rzeczywista i znormalizowana impedancja i admitancja

Linię przesyłową o charakterystycznej impedancji może być powszechnie uważa się, że jest charakterystyczny wstęp w którym ${\displaystyle Z_{0}\,}$${\displaystyle Y_{0}\,}$

${\ Displaystyle Y_ {0} = {\ Frac {1} {Z_ {0}}} \,}$

Dowolną impedancję wyrażoną w omach można znormalizować dzieląc ją przez impedancję charakterystyczną, tak więc znormalizowaną impedancję za pomocą małej litery z _T podaje się wzorem ${\displaystyle Z_{\tekst{T}}\,}$

${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {Z_ {\ tekst {T}}} {Z_ {0}}} \,}$

Podobnie dla dopuszczenia znormalizowanego

${\ Displaystyle y_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {Y_ {\ tekst {T}}} {Y_ {0}}} \,}$

SI modułu od impedancji jest om symbolem górnej obudowy greckiej litery omega (co) i jednostki SI dla dopuszczenia jest Siemens symbolem górnego impedancji litery S. znormalizowanych znormalizowanej dopuszczenia są bezwymiarowe . Rzeczywiste impedancje i admitancje należy znormalizować przed użyciem ich na wykresie Smitha. Po uzyskaniu wyniku można go zdenormalizować w celu uzyskania wyniku rzeczywistego.

Znormalizowany wykres Smitha impedancji

Linie transmisyjne zakończone obwodem otwartym (góra) i zwarciem (dół). Impuls doskonale odbija się od obu tych końcówek, ale znak odbitego napięcia jest odwrotny w obu przypadkach. Czarne kropki reprezentują elektrony, a strzałki pokazują pole elektryczne.

Korzystanie teorię linii przesyłowych, jeżeli linia transmisji jest zakończony w impedancji ( ), który różni się od jej impedancji ( ), A fali stojącej zostanie utworzona na linii zawierającej wypadkową zarówno zdarzenie lub f orward ( ) i R fale odbite lub odwrócone ( ). Używając złożonej notacji wykładniczej : ${\displaystyle Z_{\tekst{T}}\,}$${\displaystyle Z_{0}\,}$${\ Displaystyle V_ {\ tekst {F}} \,}$${\displaystyle V_{\tekst{R}}\,}$

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {F}} = A \ exp (j \ omega t) \ exp (+ \ gamma \ ell) ~ \,}$ oraz

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {R}} = B \ exp (j \ omega t) \ exp (- \ gamma \ ell) \}$

gdzie

${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$jest czasową częścią fali

${\displaystyle \exp(\pm \gamma \ell)\,}$ jest przestrzenną częścią fali i

${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f \,}$ gdzie

${\ Displaystyle \ omega \,}$to częstotliwość kątowa w radianach na sekundę (rad/s)

${\displaystyle f\,}$to częstotliwość w hercach (Hz)

${\displaystyle t\,}$ to czas w sekundach (s)

${\displaystyle A\,}$i są stałymi${\displaystyle B\,}$

${\displaystyle \ell \,}$ to odległość mierzona wzdłuż linii przesyłowej od obciążenia do generatora w metrach (m)

Także

${\ Displaystyle \ gamma = \ alfa + j \ beta \,}$jest stałą propagacji, która ma jednostki 1/m

gdzie

${\displaystyle \alfa \,}$jest stałą tłumienia w neperach na metr (Np/m)

${\ Displaystyle \ beta \,}$jest stałą fazową w radianach na metr (rad/m)

Wykres Smitha jest używany z jedną częstotliwością ( ) na raz i tylko przez jedną chwilę ( ) na raz, więc czasowa część fazy ( ) jest stała. Wszystkie terminy są faktycznie mnożone przez to, aby uzyskać fazę chwilową , ale jest to konwencjonalne i zrozumiałe, aby ją pominąć. W związku z tym, ${\ Displaystyle \ omega}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {F}} = A \ exp (+ \ gamma \ ell) \,}$ oraz

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {R}} = B \ exp (- \ gamma \ ell) \,}$

gdzie i są odpowiednio amplitudami napięcia do przodu i do tyłu na obciążeniu. ${\displaystyle A\,}$${\displaystyle B\,}$

Zmienność złożonego współczynnika odbicia z położeniem wzdłuż linii

Patrząc w kierunku obciążenia przez długość bezstratnej linii przesyłowej, impedancja zmienia się wraz ze wzrostem, zgodnie z niebieskim kółkiem. (Impedancja ta odznacza się współczynnikiem odbicia ). Niebieski okrąg, wyśrodkowany w wykres impedancji Smith, czasami nazywany koło SWR (skrót stały współczynnik fali stojącej ).${\displaystyle \ell \,}$${\displaystyle \ell \,}$${\ Displaystyle V_ {\ tekst {odbity}} / V_ {\ tekst {incydent}}}$

Złożony współczynnik odbicia napięcia definiuje się jako stosunek fali odbitej do fali padającej (lub do przodu). W związku z tym, ${\ Displaystyle \ Gamma \,}$

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {V_ {\ tekst {R}}} {V_ {\ tekst {F}}}} = {\ Frac {B \ exp (- \ Gamma \ ell)} {A \ exp (+\gamma \ell )}}=C\exp(-2\gamma \ell )\,}$

gdzie C jest również stałą.

W przypadku jednolitej linii transmisyjnej (w której jest stała) złożony współczynnik odbicia fali stojącej zmienia się w zależności od położenia na linii. Jeśli linia jest stratna ( jest niezerowa), jest to reprezentowane na wykresie Smitha przez spiralną ścieżkę. Jednak w większości problemów z wykresem Smitha można założyć, że straty są znikome ( ), a zadanie ich rozwiązania jest znacznie uproszczone. W przypadku przypadku bezstratnego wyrażenie na zespolony współczynnik odbicia staje się ${\ Displaystyle \ gamma \,}$${\displaystyle \alfa \,}$${\ Displaystyle \ alfa = 0 \,}$

${\ Displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ tekst {L}} \ exp (-2j \ beta \ ell) \,}$

gdzie jest współczynnikiem odbicia przy obciążeniu i jest długością linii od obciążenia do miejsca, w którym mierzony jest współczynnik odbicia. Stałą fazową można również zapisać jako ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ tekst {L}} \,}$${\displaystyle \ell \,}$${\ Displaystyle \ beta \,}$

${\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {2 \ pi} {\ lambda}} \,}$

gdzie jest długość fali w linii przesyłowej przy częstotliwości testowej. ${\ Displaystyle \ lambda \,}$

W związku z tym,

${\ Displaystyle \ Gamma = \ Gamma _ {\ tekst {L}} \ exp \ lewo ({\ Frac {-4j \ pi} {\ lambda}} \ ell \ prawej) \}$

To równanie pokazuje, że dla fali stojącej złożony współczynnik odbicia i impedancja powtarzają się co połowę długości fali wzdłuż linii transmisyjnej. Złożony współczynnik odbicia jest ogólnie nazywany po prostu współczynnikiem odbicia. Zewnętrzna skala obwodowa wykresu Smitha przedstawia odległość od generatora do obciążenia skalowaną w długościach fali, a zatem jest skalowana od zera do 0,50 .

Zmiana znormalizowanej impedancji wraz z położeniem wzdłuż linii

Jeśli i są odpowiednio napięciem w poprzek i prądem wchodzącym do zakończenia na końcu linii transmisyjnej, to ${\displaystyle V\,}$${\displaystyle I\,}$

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {F}} + V_ {\ tekst {R}} = V \,}$ oraz

${\ Displaystyle V_ {\ tekst {F}}-V_ {\ tekst {R}} = Z_ {0}I \,}$.

Dzieląc te równania i zastępując oba współczynniki odbicia napięcia

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {V_ {\ tekst {R}}} {V_ {\ tekst {F}}}} \,}$

i znormalizowana impedancja zakończenia reprezentowana przez małą literę z , indeks dolny T

${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {V} {Z_ {0}I}} \,}$

daje wynik:

${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {1+ \ Gamma} {1-\ Gamma}} \}$.

Alternatywnie pod względem współczynnika odbicia

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {z_ {\ tekst {T}}-1} {z_ {\ tekst {T}} + 1}} \}$

Są to równania, które służą do budowy wykresu Z Smitha. Matematycznie rzecz biorąc i są powiązane poprzez transformację Möbiusa . ${\ Displaystyle \ Gamma \,}$${\displaystyle z_{\tekst{T}}\,}$

Oba i są wyrażone w liczbach zespolonych bez żadnych jednostek. Obydwa zmieniają się wraz z częstotliwością, więc dla każdego konkretnego pomiaru częstotliwość, przy której został wykonany, musi być podana wraz z impedancją charakterystyczną. ${\ Displaystyle \ Gamma \,}$${\displaystyle z_{\tekst{T}}\,}$

${\ Displaystyle \ Gamma \,}$można wyrazić w wielkości i kącie na wykresie biegunowym . Każdy rzeczywisty współczynnik odbicia musi mieć wielkość mniejszą lub równą jedności, więc przy częstotliwości testowej może być wyrażony przez punkt wewnątrz okręgu o promieniu jedności. Wykres Smitha jest właściwie skonstruowany na takim diagramie biegunowym. Skalowanie wykresu Smitha jest zaprojektowane w taki sposób, że współczynnik odbicia można przekonwertować na znormalizowaną impedancję lub odwrotnie. Korzystając z wykresu Smitha, znormalizowaną impedancję można uzyskać z dużą dokładnością, wykreślając punkt reprezentujący współczynnik odbicia traktując wykres Smitha jako wykres biegunowy, a następnie odczytując jego wartość bezpośrednio za pomocą charakterystycznego skalowania wykresu Smitha. Ta technika jest graficzną alternatywą dla zastępowania wartości w równaniach.

Zastępując wyrażenie określające, jak zmienia się współczynnik odbicia wzdłuż niedopasowanej bezstratnej linii przesyłowej

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {B \ exp (- \ Gamma \ Ill)} {A \ exp (\ Gamma \ Ill)}} = {\ Frac {B \ exp (-j \ beta \ Ill)} {A\exp(j\beta \ell )}}\,}$

dla przypadku bezstratnego do równania na impedancję znormalizowaną pod względem współczynnika odbicia

${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {1+ \ Gamma} {1-\ Gamma}} \}$.

i korzystając ze wzoru Eulera

${\ Displaystyle \ exp (j \ theta ) = \ cos \ theta + j \ sin \ theta \,}$

daje równanie linii transmisyjnej w wersji impedancji dla przypadku bezstratnego:

${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {w}} = Z_ {0}{\ Frac {Z_ {\ tekst {L}} + jZ_ {0} \ tan (\ beta \ ell)} {Z_ {0}+ jZ_ { \text{L}}\tan(\beta \ell )}}\,}$

gdzie jest impedancja "widziana" na wejściu bezstratnej linii przesyłowej o długości zakończonej impedancją${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {w}} \,}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle Z_{\tekst{L}}\,}$

Wersje równania linii transmisyjnej mogą być podobnie wyprowadzone dla przypadku bez strat admitancyjnych oraz dla przypadków impedancji i strat admitancyjnych.

Graficznym odpowiednikiem użycia równania linii transmisyjnej na wykresie Smitha jest normalizacja , wykreślenie wynikowego punktu na wykresie Z Smitha i narysowanie okręgu przez ten punkt, którego środek znajduje się w środku wykresu Smitha. Ścieżka wzdłuż łuku koła przedstawia, jak zmienia się impedancja podczas poruszania się wzdłuż linii transmisyjnej. W takim przypadku należy zastosować skalowanie obwodowe (długości fali), pamiętając, że jest to długość fali w linii transmisyjnej i może różnić się od długości fali w wolnej przestrzeni. ${\displaystyle Z_{\tekst{L}}\,}$

Regiony wykresu Z Smith

Jeśli wykres biegunowy jest odwzorowany na kartezjański układ współrzędnych, konwencjonalnie mierzy się kąty względem dodatniej osi x, stosując kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara dla kątów dodatnich. Wielkość liczby zespolonej to długość linii prostej narysowanej od początku do punktu ją reprezentującego. Wykres Smitha wykorzystuje tę samą konwencję, zauważając, że w płaszczyźnie znormalizowanej impedancji dodatnia oś x rozciąga się od środka wykresu Smitha do punktu . Obszar powyżej osi x reprezentuje impedancje indukcyjne (dodatnie części urojone), a obszar poniżej osi x reprezentuje impedancje pojemnościowe (ujemne części urojone). ${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {T}} = 1 \ pm j0 \,}$${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {T}} = \ infty \ pm j \ infty \,}$

Jeśli zakończenie jest idealnie dopasowane, współczynnik odbicia będzie wynosił zero, co jest efektywnie reprezentowane przez okrąg o zerowym promieniu lub w rzeczywistości punkt w środku wykresu Smitha. Gdyby zakończenie było idealnym obwodem otwartym lub zwarciem, wielkość współczynnika odbicia byłaby jednością, cała moc byłaby odbijana, a punkt leżałby w pewnym punkcie na okręgu obwodu jedności.

Kręgi o stałej znormalizowanej rezystancji i stałej znormalizowanej reaktancji

Znormalizowany wykres Smitha impedancji składa się z dwóch rodzin okręgów: okręgów o stałej znormalizowanej rezystancji i okręgów o stałej znormalizowanej reaktancji. W płaszczyźnie złożonego współczynnika odbicia wykres Smitha zajmuje okrąg o promieniu jedności wyśrodkowany na początku. We współrzędnych kartezjańskich okrąg przechodziłby zatem przez punkty (+1,0) i (−1,0) na osi x oraz punkty (0,+1) i (0,−1) na osi y .

Ponieważ oba i są liczbami zespolonymi, na ogół można je zapisać jako: ${\ Displaystyle \ Gamma}$${\displaystyle z\,}$

${\displaystyle z=a+jb\,}$

${\ Displaystyle \ Gamma = c + jd \,}$

z liczbami rzeczywistymi a , b , c i d .

Podstawiając je do równania dotyczącego znormalizowanej impedancji i zespolonego współczynnika odbicia:

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {z-1} {z + 1}} \}$

daje następujący wynik:

${\ Displaystyle \ Gamma = c + jd = \ lewo [{\ Frac {a ^ {2} + b ^ {2}-1} {(a + 1) ^ {2} + b ^ {2}}} \ prawo]+j\lewo[{\frac {2b}{(a+1)^{2}+b^{2}}}\prawo]\,}$.

Jest to równanie, które opisuje, jak zmienia się zespolony współczynnik odbicia wraz ze znormalizowaną impedancją i może być użyte do skonstruowania obu rodzin okręgów.

Y wykresu Smith

Y wykresu Smith jest skonstruowane w podobny sposób do Z przypadku wykresu Smith a wyrażając wartości napięcia współczynnik odbicia w zakresie znormalizowanego dopuszczenia zamiast znormalizowanego impedancji. Znormalizowana admitancja y _T jest odwrotnością znormalizowanej impedancji z _T , so

${\ Displaystyle y_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {1} {z_ {\ tekst {T}}}} \,}$

W związku z tym:

${\ Displaystyle y_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {1-\ Gamma} {1 + \ Gamma}} \}$

oraz

${\ Displaystyle \ Gamma = {\ Frac {1-y_ {\ tekst {T}}} {1 + Y_ {\ tekst {T}}}} \}$

Y wykresu Smith wygląda jak znormalizowanego typu impedancji ale skalowanie graficzny obrócony o 180 °, skalowanie numeryczna pozostała niezmieniona.

Obszar powyżej osi x przedstawia admitancje pojemnościowe, a obszar poniżej osi x — admitancje indukcyjne. admitancje pojemnościowe mają dodatnie części urojone, a admitancje indukcyjne — ujemne części urojone.

Ponownie, jeśli zakończenie jest idealnie dopasowane, współczynnik odbicia będzie równy zero, reprezentowany przez „okrąg” o zerowym promieniu lub w rzeczywistości punkt w środku wykresu Smitha. Gdyby zakończenie było idealnym rozwarciem lub zwarciem, wielkość współczynnika odbicia napięcia byłaby jednością, cała moc byłaby odbijana, a punkt leżałby w pewnym punkcie na okręgu obwodu jedności na wykresie Smitha.

Praktyczne przykłady

Przykładowe punkty wykreślone na znormalizowanym wykresie Smitha impedancji

Punkt o wielkości współczynnika odbicia 0,63 i kąta 60 ° reprezentowane w postaci polarnych jak to pokazano w punkcie P ₁ na wykresie Smith. Aby to wykreślić, można użyć obwodowej (współczynnika odbicia) skali kąta, aby znaleźć podziałkę i linijki, aby narysować linię przechodzącą przez to i środek wykresu Smitha. Długość linii będzie wtedy być skalowane do P _1, zakładając promień Wykres Smitha jako jedność. Na przykład, jeśli rzeczywisty promień mierzony od papieru wynosił 100 mm, długość OP ₁ wynosiłaby 63 mm. ${\ Displaystyle 0,63 \ kąt 60 ^ {\ okrąg} \,}$${\ Displaystyle \ kąt 60 ^ {\ okrąg} \,}$

Poniższa tabela podaje kilka podobnych przykładów punktów, które są wykreślane na wykresie Z Smitha. Dla każdego współczynnik odbicia jest podany w postaci biegunowej wraz z odpowiednią znormalizowaną impedancją w postaci prostokątnej. Konwersję można odczytać bezpośrednio z wykresu Smitha lub przez podstawienie do równania.

Kilka przykładów punktów wykreślonych na znormalizowanym wykresie impedancji Smitha

Tożsamość punktu	Współczynnik odbicia (postać biegunowa)	Znormalizowana impedancja (forma prostokątna)
P 1 (indukcyjny)	${\ Displaystyle 0,63 \ kąt 60 ^ {\ okrąg} \,}$	${\displaystyle 0,80+j1,40\,}$
P 2 (indukcyjne)	${\ Displaystyle 0,73 \ kąt 125 ^ {\ okrąg} \,}$	${\ Displaystyle 0,20 + j0,50 \,}$
P 3 (pojemnościowy)	${\ Displaystyle 0,44 \ kąt -116 ^ {\ okrąg} \,}$	${\ Displaystyle 0.50-j0.50\,}$

Praca z wykresami Z Smith i Y Smith

W obwodach RF i problemach z dopasowaniem czasami wygodniej jest pracować z admitancjami (reprezentującymi przewodność i susceptancje ), a czasami wygodniej jest pracować z impedancjami (reprezentującymi rezystancje i reaktancje ). Rozwiązanie typowego problemu dopasowania często wymaga kilku zmian między obydwoma typami wykresu Smitha, przy użyciu znormalizowanej impedancji dla elementów szeregowych i znormalizowanych admitancji dla elementów równoległych . W tym celu można zastosować podwójną (znormalizowaną) impedancję i wykres Smitha. Alternatywnie można zastosować jeden typ i w razie potrzeby przeliczyć skalowanie na inne. Aby zmienić znormalizowaną impedancję na znormalizowaną admitancję lub odwrotnie, punkt reprezentujący rozważaną wartość współczynnika odbicia przesuwa się dokładnie o 180 stopni przy tym samym promieniu. Na przykład punkt P1 w przykładzie reprezentujący współczynnik odbicia ma znormalizowaną impedancję . Aby graficznie zmienić to na równoważny znormalizowany punkt dopuszczenia, powiedzmy Q1, rysuje się linijką linię od P1 przez środek wykresu Smitha do Q1, o równym promieniu w przeciwnym kierunku. Odpowiada to przesunięciu punktu po torze kołowym o dokładnie 180 stopniach. Odczytanie wartości z wykresu Smitha dla Q1, pamiętając, że skalowanie jest teraz w znormalizowanym admitancji, daje . Wykonywanie obliczeń ${\ Displaystyle 0,63 \ kąt 60 ^ {\ okrąg} \,}$${\ Displaystyle Z_ {P} = 0,80 + j1,40 \,}$${\ Displaystyle y_ {P} = 0,30-j0,54 \,}$

${\ Displaystyle y_ {\ tekst {T}} = {\ Frac {1} {z_ {\ tekst {T}}}} \,}$

ręcznie to potwierdzi.

Po wykonaniu transformacji od impedancji do admitancji, skalowanie zmienia się na znormalizowaną admitancję, aż do wykonania późniejszej transformacji z powrotem do znormalizowanej impedancji.

Poniższa tabela przedstawia przykłady znormalizowanych impedancji i ich równoważnych znormalizowanych admitancji uzyskanych przez obrót punktu o 180°. Ponownie, można je uzyskać albo przez obliczenie, albo za pomocą wykresu Smitha, jak pokazano, przeliczając między płaszczyznami znormalizowanej impedancji i znormalizowanej admitancji.

Wartości współczynnika odbicia jako znormalizowane impedancje i równoważne znormalizowane admitancje

Znormalizowana płaszczyzna impedancji	Znormalizowana płaszczyzna dopuszczenia
P 1 ( ) ${\displaystyle z=0,80+j1,40\,}$	P 1 ( ) ${\ Displaystyle y = 0,30-j0,54 \,}$
P 10 ( ) ${\displaystyle z=0,10+j0,22\,}$	P 10 ( ) ${\displaystyle y=1,80-j3,90\,}$

Wartości zespolonego współczynnika odbicia wykreślone na wykresie Smitha znormalizowanej impedancji oraz ich odpowiedniki na wykresie Smitha znormalizowanej admitancji

Wybór typu wykresu Smitha i typu komponentu

Wybór, czy użyć wykresu Z Smitha, czy wykresu Y Smitha do poszczególnych obliczeń, zależy od tego, który jest wygodniejszy. Impedancje szeregowe i admitancje równoległe sumują się, podczas gdy impedancje równoległe i admitancje szeregowe są powiązane równaniem odwrotnym. Jeżeli jest równoważną impedancją impedancji szeregowych i jest równoważną impedancją impedancji równoległych, to ${\ Displaystyle Z_ {\ tekst {TS}}}$${\displaystyle Z_{\tekst{TP}}}$

${\displaystyle Z_{\tekst{TS}}=Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+...\,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {Z_ {\ tekst {TP}}}} = {\ Frac {1} {Z_ {1}}} + {\ Frac {1} {Z_ {2}}} + { \frac {1}{Z_{3}}}+...\,}$

W przypadku dopuszczeń jest odwrotnie, to znaczy

${\displaystyle Y_{\text{TP}}=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+...\,}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {Y_ {\ tekst {TS}}}} = {\ Frac {1} {Y_ {1}}} + {\ Frac {1} {Y_ {2}}} + { \frac {1}{T_{3}}}+...\,}$

Radzenie sobie z odwrotnościami , zwłaszcza w liczbach zespolonych, jest bardziej czasochłonne i podatne na błędy niż użycie dodawania liniowego. Ogólnie rzecz biorąc, większość inżynierów RF pracuje w płaszczyźnie, w której topografia obwodu obsługuje dodawanie liniowe. Poniższa tabela podaje złożone wyrażenia dla impedancji (rzeczywistej i znormalizowanej) i admitancji (rzeczywistej i znormalizowanej) dla każdego z trzech podstawowych elementów obwodu biernego : rezystancji, indukcyjności i pojemności. Używając tylko impedancji charakterystycznej (lub admitancji charakterystycznej) i częstotliwości testowej , można znaleźć obwód równoważny i odwrotnie.

Wyrażenia dla impedancji i admitancji
znormalizowane przez impedancję Z ₀ lub admitancję Y ₀

Typ elementu	Impedancja ( Z lub z ) lub Reaktancja ( X lub x )		Wstęp ( Y lub y ) lub Susceptancja ( B lub b )
	Rzeczywiste ( ) ${\ Displaystyle \ Omega \,}$	Znormalizowane (brak jednostki)	Rzeczywiste (S)	Znormalizowane (brak jednostki)
Odporność ( R )	${\displaystyle Z=R\,}$	${\ Displaystyle Z = {\ Frac {R} {Z_ {0}}} = RY_ {0} \}$	${\ Displaystyle Y = G = {\ Frac {1} {R}} \,}$	${\ Displaystyle y = g = {\ Frac {1} {RY_ {0}}} = {\ Frac {Z_ {0}} {R}} \}$
Indukcyjność ( L )	${\ Displaystyle Z = jX_ {\ tekst {L}} = j \ omega L \,}$	${\ Displaystyle z = jx_ {\ tekst {L}} = j {\ Frac {\ omega L} {Z_ {0}}} = j \ omega LY_ {0} \,}$	${\ Displaystyle Y = - jB_ {\ tekst {L}} = {\ Frac {-j} {\ omega L}}}$	${\ Displaystyle y =-jb_ {\ tekst {L}} = {\ Frac {-j} {\ omega LY_ {0}}} = {\ Frac {-jZ_ {0}} {\ omega L}} \, }$
Pojemność ( C )	${\ Displaystyle Z = - jX_ {\ tekst {C}} = {\ Frac {-j} {\ omega C}} \}$	${\ Displaystyle z =-jx_ {\ tekst {C}} = {\ Frac {-j} {\ omega CZ_ {0}}} = {\ Frac {-jY_ {0}} {\ omega C}} \, }$	${\ Displaystyle Y = jB_ {\ tekst {C}} = j \ omega C \,}$	${\ Displaystyle y = jb_ {\ tekst {C}} = j {\ Frac {\ omega C} {Y_ {0}}} = j \ omega CZ_ {0}\,}$

Korzystanie z wykresu Smitha do rozwiązywania problemów z dopasowaniem sprzężonych komponentów rozproszonych

Rozproszone dopasowanie staje się wykonalne i czasami jest wymagane, gdy fizyczny rozmiar elementów dopasowujących przekracza około 5% długości fali przy częstotliwości roboczej. Tutaj zachowanie elektryczne wielu skupionych elementów staje się raczej nieprzewidywalne. Dzieje się tak w obwodach mikrofalowych i gdy wysoka moc wymaga dużych komponentów w krótkofalowych, FM i TV Broadcasting,

W przypadku komponentów rozproszonych wpływ na współczynnik odbicia i impedancję poruszania się wzdłuż linii przesyłowej należy uwzględnić przy użyciu zewnętrznej skali obwodowej wykresu Smitha, która jest skalibrowana w długościach fal.

Poniższy przykład pokazuje, jak linia przesyłowa, zakończona dowolnym obciążeniem, może być dopasowana na jednej częstotliwości z szeregowym lub równoległym elementem reaktywnym w każdym przypadku połączonym w precyzyjnych pozycjach.

Konstrukcja wykresu Smitha dla niektórych rozproszonych dopasowywania linii transmisyjnych

Zakładając, że bezstratna, rozstawiona w powietrzu linia przesyłowa o impedancji charakterystycznej , działająca z częstotliwością 800 MHz, jest zakończona obwodem zawierającym rezystor 17,5 połączony szeregowo z cewką indukcyjną 6,5 nanohenry (6,5 nH). Jak można dopasować linię? ${\ Displaystyle Z_ {0}= 50 \ \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Z powyższej tabeli reaktancja cewki indukcyjnej stanowiącej część zakończenia przy 800 MHz wynosi

${\ Displaystyle Z_ {L} = j \ omega L = j2 \ pi fL = j32.7 \ \ omega \,}$

więc impedancja kombinacji ( ) jest dana wzorem ${\ Displaystyle Z_ {T}}$

${\ Displaystyle Z_ {T} = 17,5 + J32.7 \ \ Omega \,}$

a znormalizowana impedancja ( ) wynosi ${\displaystyle z_{T}}$

${\ Displaystyle Z_ {T} = {\ Frac {Z_ {T}} {Z_ {0}}} = 0,35 + j0,65 \,}$

To jest wykreślane na wykresie Z Smitha w punkcie P ₂₀ . Linia OP ₂₀ jest przedłużona do skali długości fali, gdzie przecina się w punkcie . Jako linia transmisyjna jest bez strat okrąg o środku w środku wykresu Smith jest zasysane przez punkt P ₂₀ reprezentuje ścieżkę stałą wielkość współczynnika odbicia z powodu rozwiązania. W punkcie P ₂₁ okrąg przecina się z okręgiem jedności o stałym znormalizowanym oporze w ${\ Displaystyle L_ {1} = 0,098 \ lambda \,}$

${\ Displaystyle Z_ {P21} = 1,00 + j1,52 \,}$.

Przedłużenie linii OP ₂₁ przecina skalę długości fal w , dlatego odległość od zakończenia do tego punktu na linii jest wyrażona wzorem ${\ Displaystyle L_ {2} = 0,177 \ lambda \,}$

${\ Displaystyle L_ {2}-L_ {1} = 0,177 \ lambda -0,098 \ lambda = 0,079 \ lambda \,}$

Ponieważ linia transmisyjna jest rozłożona w powietrzu, długość fali przy 800 MHz w linii jest taka sama jak w wolnej przestrzeni i jest podana przez

${\ Displaystyle \ lambda = {\ Frac {c} {f}} \}$

gdzie jest prędkością promieniowania elektromagnetycznego w wolnej przestrzeni i jest częstotliwością w hercach. Wynik daje , czyniąc położenie pasującego elementu 29,6 mm od obciążenia. ${\displaystyle c\,}$${\displaystyle f\,}$${\ Displaystyle \ lambda = 375 \ \ operatorname {mm} \,}$

Dopasowanie sprzężone dla impedancji w punkcie P ₂₁ ( ) to ${\displaystyle z_{dopasowanie}\,}$

${\ Displaystyle Z_ {mecz} = - j (1,52), \!}$

Ponieważ wykres Smitha nadal znajduje się w znormalizowanej płaszczyźnie impedancji, z powyższej tabeli wymagany jest kondensator szeregowy, gdzie ${\displaystyle C_{m}\,}$

${\ Displaystyle Z_ {mecz} = - J1.52 = {\ Frac {-j} {\ omega C_ {m} Z_ {0}}} = {\ Frac {-j} {2 \ pi fC_ {m} Z_ {0}}}\,}$

Przestawiając, uzyskujemy

${\ Displaystyle C_ {m} = {\ Frac {1} {(1,52) \ omega Z_ {0}}} = {\ Frac {1} {(1,52) (2 \ pi f) Z_ {0}}}}$.

Zastąpienie znanych wartości daje

${\ Displaystyle C_ {m} = 2,6 \ \ operatorname {pF} \,}$

Aby dopasować zakończenie przy 800 MHz, kondensator szeregowy 2,6 pF musi być umieszczony szeregowo z linią transmisyjną w odległości 29,6 mm od zakończenia.

Alternatywne dopasowanie bocznika można obliczyć po wykonaniu transformacji wykresu Smitha ze znormalizowanej impedancji do znormalizowanej admitancji. Punkt Q ₂₀ jest odpowiednikiem P _20, ale wyrażony jako znormalizowana admitancja. Czytanie ze skalowania wykresu Smitha, pamiętając, że jest to teraz znormalizowane przyjęcie daje

${\ Displaystyle y_ {Q20} = 0,65-j1,20 \,}$

(W rzeczywistości ta wartość nie jest faktycznie używana). Jednak rozszerzenie linii OQ ₂₀ aż do skali długości fal daje . Najwcześniejszym punktem, w którym można by wprowadzić dopasowanie sprzężenia bocznikowego w kierunku generatora, byłby Q ₂₁ , ta sama pozycja co poprzednia P ₂₁ , ale tym razem reprezentująca znormalizowane admitancje wydane przez ${\ Displaystyle L_ {3} = 0,152 \ lambda \,}$

${\ Displaystyle y_ {Q21} = 1,00 + j1,52 \,}$.

Odległość wzdłuż linii przesyłowej wynosi w tym przypadku

${\ Displaystyle L_ {2} + L_ {3} = 0,177 \ lambda + 0,152 \ lambda = 0,329 \ lambda \,}$

co zamienia się na 123 mm.

Koniugat dopasowujący musi mieć znormalizowaną admitancję ( ) wynoszącą ${\displaystyle y_{dopasuj}}$

${\displaystyle y_{dopasowanie}=-j1.52\,}$.

Z tabeli wynika, że ​​do negatywnego admitancji wymagana byłaby cewka indukcyjna, połączona równolegle z linią przesyłową. Jeśli jego wartość to , to ${\ Displaystyle L_ {m} \}$

${\ Displaystyle -j1.52 = {\ Frac {-j} {\ omega L_ {m} Y_ {0}}} = {\ Frac {-jZ_ {0}} {2 \ pi fL_ {m}}} \ ,}$

To daje wynik

${\ Displaystyle L_ {m} = 6,5 \ \ operatorname {nH} \,}$

Odpowiednim dopasowaniem indukcyjnego bocznika byłaby zatem cewka indukcyjna 6,5 ​​nH równolegle do linii umieszczonej w odległości 123 mm od obciążenia.

Wykorzystanie wykresu Smitha do analizy obwodów z elementami skupionymi

Analiza elementów skupionych zakłada, że ​​długość fali przy częstotliwości pracy jest znacznie większa niż wymiary samych elementów. Wykres Smitha można wykorzystać do analizy takich obwodów, w którym to przypadku ruchy wokół wykresu są generowane przez (znormalizowane) impedancje i admitancje elementów przy częstotliwości pracy. W tym przypadku skalowanie długości fali na obwodzie wykresu Smitha nie jest używane. Poniższy obwód zostanie przeanalizowany przy użyciu wykresu Smitha przy częstotliwości roboczej 100 MHz. Przy tej częstotliwości długość fali w wolnej przestrzeni wynosi 3 m. Same wymiary elementów będą w porządku milimetrów, więc założenie o zbitych elementach będzie słuszne. Pomimo braku linii transmisyjnej jako takiej, impedancja systemu musi być nadal zdefiniowana, aby umożliwić obliczenia normalizacji i denormalizacji i jest to dobry wybór tutaj jako . Gdyby istniały bardzo różne wartości rezystancji, lepszym wyborem może być wartość bliższa tym. ${\ Displaystyle Z_ {0} = 50 \ \ Omega \,}$${\ Displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

Obwód skupionych elementów, który można analizować za pomocą wykresu Smitha

Wykres Smitha z graficzną konstrukcją do analizy obwodu skupionego

Rozpocznie się analiza z wykresu Z Smith patrząc R ₁ tylko bez innych składników obecnych. Podobnie jak impedancja systemu, jest to reprezentowane przez punkt na środku wykresu Smitha. Pierwsza transformacja to OP ₁ wzdłuż linii stałej znormalizowanej rezystancji w tym przypadku dodanie znormalizowanej reaktancji - j 0,80, odpowiadającej kondensatorowi szeregowemu 40 pF. Punkty z sufiksem P leżą na płaszczyźnie Z , a punkty z sufiksem Q na płaszczyźnie Y. Dlatego transformacje P ₁ do Q ₁ i P ₃ do Q ₃ pochodzą z wykresu Z Smitha do wykresu Y Smitha, a transformacja Q ₂ do P ₂ pochodzi z wykresu Y Smitha do wykresu Z Smitha. W poniższej tabeli przedstawiono kroki podjęte w celu przepracowania pozostałych składników i transformacji, powracając ostatecznie z powrotem do środka wykresu Smitha i idealne dopasowanie 50 omów. ${\ Displaystyle R_ {1} = 50 \ \ Omega \,}$

Kroki wykresu Smitha do analizy obwodu z elementami skupionymi

Transformacja	Samolot	x lub y Wartość znormalizowana	Pojemność/indukcyjność	Formuła do rozwiązania	Wynik
${\displaystyle O\rightarrow P_{1}\,}$	${\displaystyle Z\,}$	${\displaystyle -j0.80\,}$	Pojemność (seria)	${\ Displaystyle -j0.80 = {\ Frac {-j} {\ omega C_ {1} Z_ {0}}} \,}$	${\ Displaystyle C_ {1} = 40 \ \ operatorname {pF} \,}$
${\displaystyle Q_{1}\rightarrow Q_{2}\,}$	${\displaystyle Y\,}$	${\displaystyle -j1.49\,}$	Indukcyjność (bocznik)	${\ Displaystyle -j1.49 = {\ Frac {-j} {\ omega L_ {1} Y_ {0}}} \,}$	${\ Displaystyle L_ {1} = 53 \ \ operatorname {nH} \,}$
${\displaystyle P_{2}\rightarrow P_{3}\,}$	Z	${\displaystyle -j0,23\,}$	Pojemność (seria)	${\ Displaystyle -j0.23 = {\ Frac {-j} {\ omega C_ {2} Z_ {0}}} \,}$	${\ Displaystyle C_ {2} = 138 \ \ operatorname {pF} \,}$
${\displaystyle Q_{3}\rightarrow O\,}$	Tak	${\displaystyle +j1.14\,}$	Pojemność (bocznik)	${\ Displaystyle + j1.14 = {\ Frac {j \ omega C_ {3}} {Y_ {0}}} \,}$	${\ Displaystyle C_ {3}= 36 \ \ operatorname {pF} \,}$

Wykres Smitha 3D

Reprezentacja wykresu Smitha 3D

Uogólniony wykres 3D Smith na podstawie rozszerzonego płaszczyźnie zespolonej ( Sfera Riemanna ) i Geometria Inwersyjna został zaproponowany w 2011 roku Wykres ujednolica aktywne i pasywne projektowanie obwodów na małych i dużych kołach o powierzchni jednostkowej sfery używając stereograficznej ochronnej mapę z uogólniona płaszczyzna współczynnika odbicia. Biorąc pod uwagę punkt w nieskończoności, przestrzeń nowego wykresu obejmuje wszystkie możliwe obciążenia. Biegun północny jest idealnym punktem dopasowania, podczas gdy biegun południowy jest idealnym punktem niedopasowania. Wykres 3D Smitha został dodatkowo rozszerzony poza powierzchnię sferyczną, aby wykreślać różne parametry skalarne, takie jak opóźnienie grupowe, współczynniki jakości lub orientacja częstotliwości. Wizualizacja orientacji częstotliwości (zgodnie z ruchem wskazówek zegara/przeciwnie do ruchu wskazówek zegara) umożliwia rozróżnienie między ujemną pojemnością a dodatnią cewką indukcyjną, której współczynniki odbicia są takie same na wykresie 2D Smitha, ale których orientacje rozchodzą się wraz ze wzrostem częstotliwości.

Bibliografia

Dalsza lektura

• Wczesną reprezentację tego graficznego przedstawienia, zanim nazwano je „Smith Charts”, patrz Campbell, GA (1911). „Oscylacje cisoidalne”. Postępowanie Amerykańskiego Instytutu Inżynierów Elektryków . 30 (1–6): 789–824. doi : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 ., W szczególności rys. 13 na s. 810.

Linki zewnętrzne

• „Konstrukcja matematyczna i właściwości wykresu Smitha” . allaboutcircuits.com . artykuły techniczne.
• „Wykres Smitha i samouczek dopasowywania impedancji z przykładami” . antena-teoria.com .
• „Wykres Mizuhashi-Smitha” . www.linkclub.or.jp/~morikuni . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2013-03-03.
• "Wykres Excela Smitha" . excelhero.com . Sierpień 2010. Niekomercyjny, interaktywny wykres Smitha, który najlepiej wygląda w programie Excel 2007+.
• "SimSmith" . ae6ty.com .Niekomercyjna, dostępna dla systemów Windows, Mac i Linux. Wiele filmów instruktażowych dotyczących wykresów Smitha. Brak ograniczeń rozmiaru obwodu. Nie ogranicza się do obwodów drabinkowych.
• "Kowalski v3" . fritz.dellsperger.net . Zarchiwizowane od oryginału 04.03.2015. Komercyjny i bezpłatny wykres Smitha dla systemu Windows
• „Szybcy Kowal” . github.com/niyeradori .Bezpłatne, internetowe narzędzie edukacyjne Smith Chart dostępne na GitHub .
• "Narzędzie wykresu Smitha 3D" . 3dsmithchart.com . Uogólnione narzędzie wykresów Smitha 2D i 3D dla obwodów aktywnych i pasywnych (bezpłatne dla środowisk akademickich/edukacyjnych).