Po prostu połączona przestrzeń - Simply connected space

W topologii , A topologiczna przestrzeń nazywany jest po prostu podłączona (lub 1-połączone lub 1 po prostu podłączona ) jeżeli jest to ścieżka połączone i każda ścieżka między dwoma punktami może być w sposób ciągły przekształca (intuicyjnie spacjami, pozostając wewnątrz przestrzeni) do jakakolwiek inna taka ścieżka z zachowaniem dwóch danych punktów końcowych. Podstawową grupę topologicznej przestrzeni jest wskaźnikiem uszkodzenia na powierzchni należy po prostu podłączyć: przestrzeń topologiczna ścieżka podłączony jest po prostu podłączyć tylko wtedy, gdy jej zasadnicza grupa jest trywialne.

Definicja i równoważne sformułowania

Ten kształt reprezentuje zbiór, który nie jest po prostu połączony, ponieważ żadna pętla, która obejmuje jeden lub więcej otworów, nie może zostać skrócona do punktu bez wyjścia z regionu.

Topologiczna przestrzeń nazywany jest po prostu połączone , jeżeli jest ścieżka połączone i każda pętla w określone mogą być zawarte w punkcie: istnieje ciągłe mapę taki sposób, że ogranicza się do S 1 jest tutaj, i oznacza okrąg jednostkowy i zamknięty dyskowego w euklidesowej płaszczyzny odpowiednio.

Równoważne sformułowanie jest następujące: jest po prostu połączony wtedy i tylko wtedy, gdy jest połączony ze ścieżką, a kiedy i są dwiema ścieżkami (to znaczy ciągłymi mapami) z tym samym punktem początkowym i końcowym ( ), można go ciągle deformować , zachowując oba naprawiono punkty końcowe. Wyraźnie istnieje homotopia taka, że i

Przestrzeń topologiczna jest po prostu połączone tylko wtedy, gdy jest połączony ścieżką i podstawową grupę o w każdym punkcie jest trywialne, czyli składa się tylko z elementu osobistego . Podobnie jest po prostu podłączyć tylko wtedy, gdy dla wszystkich punktów zbioru morfizmów w fundamentalnej groupoid z ma tylko jeden element.

W analizie złożonej : otwarty podzbiór jest po prostu połączony wtedy i tylko wtedy, gdy oba i jego dopełnienie w sferze Riemanna są połączone. Zbiór liczb zespolonych, których część urojona jest ściśle większa od zera i mniejsza od jedności, dostarcza ładnego przykładu nieograniczonego, związanego, otwartego podzbioru płaszczyzny, którego dopełnienie nie jest połączone. Mimo to jest po prostu połączony. Warto też zwrócić uwagę, że złagodzenie wymogu wiązania prowadzi do interesującej eksploracji otwartych podzbiorów płaszczyzny o dopełnieniu dopełniającym dopełnianym łączonym. Na przykład (niekoniecznie połączony) zbiór otwarty ma połączone rozszerzone dopełnienie dokładnie wtedy, gdy każdy z jego połączonych komponentów jest po prostu połączony.

Nieformalna dyskusja

Nieformalnie obiekt w naszej przestrzeni jest po prostu połączony, jeśli składa się z jednego kawałka i nie ma żadnych „dziur”, które przez niego przechodzą. Na przykład ani pączek, ani filiżanka kawy (z uchwytem) nie są po prostu połączone, ale pusta gumowa kulka jest po prostu połączona. W dwóch wymiarach okrąg nie jest po prostu połączony, ale dysk i linia są. Przestrzenie, które są połączone, ale nie są po prostu połączone, są nazywane nieprosto połączonymi lub wielokrotnie połączonymi .

Kuli po prostu połączone, ponieważ każda pętla może być zawarte (na powierzchni) do punktu.


Definicja wyklucza tylko otwory w kształcie uchwytu . Kula (lub równoważnie gumowa piłka z wydrążonym środkiem) jest po prostu połączona, ponieważ każda pętla na powierzchni kuli może skurczyć się do punktu, nawet jeśli ma „dziurę” w wydrążonym środku. Silniejszy warunek, że obiekt nie ma otworów o żadnym wymiarze nazywamy kurczliwością .

Przykłady

Torus nie jest po prostu połączoną powierzchnią. Żadna z dwóch pokazanych tutaj kolorowych pętli nie może być skrócona do punktu bez opuszczania powierzchni. Pełny torus nie jest również po prostu podłączone bo fioletowy pętla nie może kurczyć się do punktu bez wychodzenia z ciała stałego.
  • Euklidesowej płaszczyzny jest po prostu podłączyć, ale minus pochodzenie nie jest. Jeśli wtedy oba i minus początek są po prostu połączone.
  • Analogicznie: n -wymiarowa sfera jest po prostu połączona wtedy i tylko wtedy, gdy
  • Każdy wypukły podzbiór z jest po prostu podłączone.
  • Torusa , The (eliptyczną) cylindra The taśmy Möbiusa The płaszczyźnie rzutowej i butelka Klein po prostu nie są połączone.
  • Każda topologiczna przestrzeń wektorowa jest po prostu połączona; obejmuje to przestrzenie Banacha i przestrzenie Hilberta .
  • Dla specjalną grupę prostopadłe nie jest po prostu połączone i Grupa Su po prostu podłączona.
  • Jednopunktowe zagęszczenie nie jest po prostu połączone (chociaż jest po prostu połączone).
  • Długa linia jest po prostu podłączyć, ale jego zwartym, rozszerzonego długo linia nie jest (ponieważ nie jest nawet ścieżka jest podłączony).

Nieruchomości

Powierzchnia (dwuwymiarowa rozmaitość topologiczna ) jest po prostu połączona wtedy i tylko wtedy, gdy jest połączona, a jej rodzaj (liczba uchwytów powierzchni) wynosi 0.

Uniwersalne pokrycie dowolnej (odpowiedniej) przestrzeni to po prostu połączona przestrzeń, która jest mapowana za pomocą mapy pokrycia .

Jeśli i są równoważne homotopii i są po prostu połączone, to tak jest

Obraz prosto połączonego zestawu w ramach funkcji ciągłej nie musi być po prostu połączony. Weźmy na przykład złożoną płaszczyznę pod mapą wykładniczą: obraz nie jest po prostu połączony.

Pojęcie prostego połączenia jest ważne w analizie złożonej ze względu na następujące fakty:

  • Przez integralne Cauchy'ego Twierdzenie mówi, że jeśli jest to po prostu połączone otwarty podzbiór płaszczyzny zespolonej i jest funkcja holomorficzna , to ma takie pierwotna on i wartość każdej linii całki w z podcałkowa zależy tylko od punktów końcowych i ścieżki, a można obliczyć jako Całka zatem nie zależy od konkretnej ścieżki łączącej i
  • W Riemanna mapowanie twierdzenie stanowi, że każdy niepusty otwarty tylko powiązany podzbiór (z wyjątkiem siebie) jest wiernie równoważne do dyskowego .

Pojęcie prostego połączenia jest również kluczowym warunkiem hipotezy Poincarégo .

Zobacz też

Bibliografia