Sedenion - Sedenion

Sedenony
Symbol	${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$
Rodzaj	algebra niezwiązana
Jednostki	e 0 , ..., e 15
Tożsamość multiplikatywna	e 0
Główne właściwości	rozdzielność asocjacji władzy
Wspólne systemy
Mniej popularne systemy Oktony ( ) Sedenony ( ) ${\ Displaystyle \ mathbb {O}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

W algebry abstrakcyjnej , że sedenions tworzą 16- wymiarowej Nieprzemienna i niezwiązane Kolejność algebry nad liczb rzeczywistych ; są one uzyskiwane przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do oktonów i jako takie oktony są izomorficzne z podalgebrą sedenionów. W przeciwieństwie do oktonionów, sedenony nie są algebrą alternatywną . Zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do sedenionów daje 32-wymiarową algebrę, czasami nazywaną 32- ionami lub trigintaduonionami . Możliwe jest wielokrotne arbitralne stosowanie konstrukcji Cayley-Dickson.

Termin sedenion jest również używany dla innych 16-wymiarowych struktur algebraicznych, takich jak iloczyn tensorowy dwóch kopii bikwaternionów , algebra macierzy 4 × 4 nad liczbami rzeczywistymi lub ta badana przez Smitha (1995) .

Arytmetyka

Wizualizacja 4D przedłużenia oktononu sześciennego , pokazująca 35 triad jako hiperpłaszczyzny przez rzeczywisty wierzchołek podanego przykładu sedenionu. Zauważ, że jedynym wyjątkiem jest to, że trójka , , nie tworzy hiperpłaszczyzny z .${\displaystyle (e_{0})}$${\displaystyle (e_{1})}$${\displaystyle (e_{2})}$${\displaystyle (e_{3})}$${\displaystyle (e_{0})}$

Podobnie jak oktonony , rozmnażanie sedenionów nie jest ani przemienne, ani skojarzone . Ale w przeciwieństwie do oktonionów, sedenony nie mają nawet właściwości bycia alternatywnymi . Mają one jednak właściwość asocjatywności potęgi , którą można stwierdzić, że dla dowolnego elementu x z , potęga jest dobrze zdefiniowana. Są również elastyczne . ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$${\ Displaystyle x ^ {n}}$

Każdy sedeniony jest kombinacją liniową z sedenions jednostkowych , , , , ..., , które tworzą podstawę w przestrzeni wektorowej z sedenions. Każdy sedenion można przedstawić w formie ${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\ Displaystyle e_ {15}}$

${\ Displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{ 15}.}$

Dodawanie i odejmowanie są definiowane przez dodawanie i odejmowanie odpowiednich współczynników, a mnożenie ma charakter rozdzielczy względem dodawania.

Podobnie jak inne algebry oparte na konstrukcji Cayleya-Dicksona , sedenions zawierają algebrę, z której zostały zbudowane. Zawierają więc oktonony (generowane przez to w poniższej tabeli), a zatem także kwaterniony (generowane przez to ), liczby zespolone (generowane przez i ) i liczby rzeczywiste (generowane przez ). ${\displaystyle e_{0}}$${\ Displaystyle e_ {7}}$${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{0}}$

Sedenions mają element tożsamości multiplikatywnej i odwrotności multiplikatywne, ale nie są algebrą dzielenia, ponieważ mają dzielniki zerowe . Oznacza to, że dwa niezerowe sedeniony można pomnożyć do zera: przykładem jest . Wszystkie hiperkompleksowe systemy liczbowe po sedenionach, które są oparte na konstrukcji Cayleya-Dicksona, również zawierają dzielniki zerowe. ${\displaystyle e_{0}}$${\ Displaystyle (e_ {3}+e_ {10}) (e_ {6}-e_ {15})}$

Tabliczkę mnożenia sedenion pokazano poniżej:

${\ Displaystyle e_ {i} e_ {j}}$		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle -e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle -e_ {14}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\ Displaystyle -e_ {5}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\ Displaystyle -e_ {9}}$	${\ Displaystyle -e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\ Displaystyle -e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\ Displaystyle -e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\ Displaystyle -e_ {5}}$	${\ Displaystyle -e_ {6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\ Displaystyle -e_ {9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$
	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle -e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle -e_ {14}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$
	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\ Displaystyle -e_ {5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {15}}$	${\ Displaystyle -e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$
	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\ Displaystyle -e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {13}}$	${\ Displaystyle -e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle -e_ {9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$
	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle -e_ {9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\ Displaystyle -e_ {12}}$	${\ Displaystyle -e_ {13}}$	${\ Displaystyle -e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {15}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$
	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle -e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle -e_ {14}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\ Displaystyle -e_ {5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\ Displaystyle -e_ {6}}$
	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle -e_ {9}}$	${\ Displaystyle -e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\ Displaystyle -e_ {6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$
	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle -e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle -e_ {5}}$	${\displaystyle e_{4}}$
	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle -e_ {9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$
	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle -e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle -e_ {14}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\ Displaystyle -e_ {5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {7}}$	${\ Displaystyle -e_ {6}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$
	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {15}}$	${\ Displaystyle -e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {13}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\ Displaystyle e_ {9}}$	${\ Displaystyle -e_ {6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\ Displaystyle e_ {5}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$
	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {15}}$	${\ Displaystyle e_ {14}}$	${\ Displaystyle -e_ {13}}$	${\ Displaystyle -e_ {12}}$	${\ Displaystyle e_ {11}}$	${\ Displaystyle e_ {10}}$	${\ Displaystyle -e_ {9}}$	${\ Displaystyle e_ {8}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\ Displaystyle e_ {6}}$	${\ Displaystyle -e_ {5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

Sedenion właściwości

Z powyższej tabeli widzimy, że:

${\ Displaystyle e_ {0}e_ {i} = e_ {i} e_ {0}= e_ {i} \ {\ tekst {dla wszystkich}} \ ja}$

${\ Displaystyle e_ {i} e_ {i} = - e_ {0}\ \ \ {\ tekst {dla}} \ \ \, ja \ neq 0}$ i

${\ Displaystyle e_ {i} e_ {j} = -e_ {j} e_ {i} \, \, {\ tekst {dla}} \, \, i \ neq j \, \, {\ tekst {z} }\,\,i,j\neq 0.}$

Antyskojarzeniowe

Sedenions nie są w pełni antyskojarzeniowe. Wybierz dowolne cztery generatory i . Poniższy 5-cykl pokazuje, że te pięć relacji nie może być wszystkich antyasocjacyjnych. ${\displaystyle ja,j,k}$${\displaystyle l}$

${\ Displaystyle (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl )=0}$

W szczególności w powyższej tabeli użycie i ostatnie wyrażenie kojarzy. ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}$${\ Displaystyle e_ {8}}$${\ Displaystyle (e_ {1} e_ {2}) e_ {12} = e_ {1} (e_ {2} e_ {12}) = - e_ {15}}$

Podalgebry czwartorzędowe

35 triad, które tworzą tę konkretną tabliczkę mnożenia sedenonu z 7 triadami oktonów użytych w tworzeniu sedenonu poprzez konstrukcję Cayley-Dickson, pokazano pogrubioną czcionką:

Reprezentacje binarne indeksów tych trójek bitowych XOR do 0.

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2 , 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15 , 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15 }, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10}​}

Lista 84 zbiorów dzielników zera , gdzie : ${\ Displaystyle \ {e_ {a}, e_ {b}, e_ {c}, e_ {d} \}}$${\ Displaystyle (e_ {a} + e_ {b}) \ circ (e_ {c} + e_ {d}) = 0}$

Aplikacje

Moreno (1998) wykazał, że przestrzeń par sedionów norma-jeden, które mnożą się do zera, jest homeomorficzna w stosunku do zwartej formy wyjątkowej grupy Liego G ₂ . (Zauważ, że w jego artykule „dzielnik zera” oznacza parę elementów, które mnożą się do zera.)

Sieci neuronowe Sedenion zapewniają środki wydajnej i kompaktowej ekspresji w aplikacjach uczenia maszynowego i były wykorzystywane do rozwiązywania problemów związanych z prognozowaniem wielu szeregów czasowych.

Zobacz też

• Numer hiperkompleksowy
• Szesnastokwadratowa tożsamość Pfistera
• Liczba zespolona dzielona

Uwagi

Bibliografia

• Imaeda, K.; Imaeda, M. (2000), "Sedenions: algebra i analiza", Matematyka Stosowana i Obliczenia , 115 (2): 77-88, doi : 10.1016/S0096-3003(99)00140-X , MR  1786945
• Baez, John C. (2002). „Oktoniony” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . Nowa seria. 39 (2): 145–205. arXiv : matematyka/0105155 . doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . MR  1886087 .
• Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel; Isaksen, Daniel C. (2007). „Duże anihilatory w algebrach Cayleya-Dicksona II”. Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269–292. arXiv : matematyka/0702075 .
• Kinion, MK; Phillips, JD; Vojtěchovský, P. (2007). „C-pętle: rozszerzenia i konstrukcje”. Journal of Algebra i jego zastosowania . 6 (1): 1–20. arXiv : matematyka/0412390 . CiteSeerX  10.1.1.240.6208 . doi : 10.1142/S0219498807001990 .
• Kivunge, Benard M.; Smith, Jonathan DH (2004). „Podpętle sedenions” (PDF) . Komentarz. Matematyka. Uniw. Karolina . 45 (2): 295–302.
• Moreno, Guillermo (1998), „Dzielniki zera algebr Cayleya-Dicksona nad liczbami rzeczywistymi”, Bol. Soc. Mata. Mexicana , Seria 3, 4 (1): 13–28, arXiv : q-alg/9710013 , Bibcode : 1997q.alg....10013G , MR  1625585
• Smith, Jonathan DH (1995), "lewa pętla na 15-sferze", Journal of Algebra , 176 (1): 128-138, doi : 10.1006/jabr.1995.1237 , MR  1345298
• LS Saoud i H. Al-Marzouqi, "Metapoznawcza sieć neuronowa o wartościach Sedenion i jej algorytm uczenia się" w IEEE Access, tom. 8, s. 144823-144838, 2020, doi: 10.1109/ACCESS.2020.3014690 .