Względny skalar - Relative scalar

W matematyce względny skalar (o wadze  w ) jest funkcją o wartościach skalarnych, której przekształcenie pod przekształceniem współrzędnych,

${\ Displaystyle {\ bar {x}} ^ {j} = {\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i})}$

na rozmaitości n- wymiarowej spełnia następujące równanie

${\ Displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = J ^ {w} f (x ^ {i})}$

gdzie

${\ Displaystyle J = {\ rozpocząć {vmatrix} \ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {\ częściowe ({\ bar {x}} ^ {1}, \ ldots, {\ bar {x}} ^ {n})}} \ end {vmatrix}},}$

to znaczy wyznacznik jakobianu transformacji. Skalarne gęstości odnoszą się do przypadku. ${\ displaystyle w = 1}$

Względne skalary są ważnym szczególnym przypadkiem bardziej ogólnego pojęcia tensora względnego .

Zwykły skalar

Zwykły skalar lub absolutny skalarne odnosi się do przypadku. ${\ displaystyle w = 0}$

Jeśli i odnosimy się do tego samego punktu na rozmaitości, wtedy pragniemy . To równanie można interpretować na dwa sposoby, gdy jest postrzegane jako „nowe współrzędne” i jako „oryginalne współrzędne”. Pierwszy to as , który „konwertuje funkcję na nowe współrzędne”. Drugi to as , który „konwertuje z powrotem do oryginalnych współrzędnych. Oczywiście„ nowy ”lub„ oryginalny ”to pojęcie względne. ${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i})}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {j}}$${\ displaystyle x ^ {i}}$${\ Displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ Displaystyle f (x ^ {i}) = {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j} (x ^ {i}))}$

Istnieje wiele wielkości fizycznych, które są reprezentowane przez zwykłe skalary, takie jak temperatura i ciśnienie.

Przykład wagi 0

Załóżmy, że temperatura w pomieszczeniu jest podana w postaci funkcji we współrzędnych kartezjańskich, a pożądana jest funkcja we współrzędnych cylindrycznych . Te dwa układy współrzędnych są powiązane następującymi zestawami równań: ${\ Displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ Displaystyle (x, y, z)}$${\ Displaystyle (r, t, h)}$

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \,}$

${\ Displaystyle t = \ arctan (r / x) \,}$

${\ displaystyle h = z \,}$

i

${\ Displaystyle x = r \ cos (t) \,}$

${\ Displaystyle y = r \ sin (t) \,}$

${\ displaystyle z = h. \,}$

Użycie pozwala wyprowadzić jako funkcję przekształconą. ${\ Displaystyle {\ bar {f}} ({\ bar {x}} ^ {j}) = f (x ^ {i} ({\ bar {x}} ^ {j}))}$${\ Displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = 2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5}$

Rozważmy punkt, którego współrzędne kartezjańskie są i którego odpowiadająca wartość w układzie cylindrycznym jest . Szybkie obliczenia to pokazują, a także. Taka równość obowiązywałaby w każdym wybranym punkcie . Zatem jest „funkcją temperatury w kartezjańskim układzie współrzędnych” i „funkcją temperatury w cylindrycznym układzie współrzędnych”. ${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle (x, y, z) = (2, 3; 4)}$${\ Displaystyle (r, t, h) = ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4)}$${\ Displaystyle f (2, 3, 4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle f (x, y, z)}$${\ Displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h)}$

Jednym ze sposobów spojrzenia na te funkcje jest przedstawienie funkcji „macierzystej”, która przyjmuje punkt kolektora jako argument i podaje temperaturę.

Problem można było odwrócić. Można było otrzymać i chcieć wyprowadzić kartezjańską funkcję temperatury . To po prostu zmienia pojęcie „nowego” w porównaniu z „oryginalnym” układem współrzędnych. ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle f}$

Przypuśćmy, że chcemy zintegrować te funkcje z „pokojem”, co będzie oznaczane przez . (Tak, całkowanie temperatury jest dziwne, ale częściowo to należy pokazać.) Załóżmy, że obszar jest podany we współrzędnych cylindrycznych od , od i od (to znaczy, że „pomieszczenie” to ćwierć wycinka walca o promieniu i wysokości 2 ). Całka po regionie to ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle [0, \ pi / 2]}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle [0,2]}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle D}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

Wartość całki z tego samego regionu wynosi ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 12 + 10 \ pi}$ .

Nie są równi. Całka temperatury nie jest niezależna od używanego układu współrzędnych. W tym sensie jest niefizyczny, stąd „dziwny”. Zauważ, że jeśli całka zawiera czynnik jakobianu (który jest sprawiedliwy ), otrzymujemy ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ ,

która jest równa pierwotnej całce, ale nie jest całką temperatury, ponieważ temperatura jest względnym skalarem wagi 0, a nie względnym skalarem wagi 1.

Przykład wagi 1

Gdybyśmy jednak powiedzieli, że reprezentuje gęstość masy, to jej przekształcona wartość powinna uwzględniać czynnik Jakobian, który uwzględnia zniekształcenie geometryczne układu współrzędnych. Przekształcona funkcja jest teraz . Tym razem ale . Jak poprzednio, całka (masa całkowita) we współrzędnych kartezjańskich wynosi ${\ Displaystyle f (x, y, z) = 2x + y + 5}$${\ Displaystyle {\ bar {f}} (r, t, h) = (2r \ cos (t) + r \ sin (t) +5) r}$${\ Displaystyle f (2, 3, 4) = 12}$${\ displaystyle {\ bar {f}} ({\ sqrt {13}}, \ arctan {(3/2)}, 4) = 12 {\ sqrt {29}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \! \ int _ {0} ^ {2 } \! f (x, y, z) \, dz \, dy \, dx = 16 + 10 \ pi}$ .

Wartość całki z tego samego regionu wynosi ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) \, dh \, dt \, dr = 16 + 10 \ pi}$ .

Są równi. Całka gęstości masy daje masę całkowitą, która jest pojęciem niezależnym od współrzędnych. Zauważ, że jeśli całka z zawiera również czynnik jakobianu, jak poprzednio, otrzymamy ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} \! \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \! \ int _ {0} ^ {2} \! {\ bar {f}} ( r, t, h) r \, dh \, dt \, dr = 24 + 40 \ pi / 3}$ ,

co nie jest równe z poprzednim przypadkiem.

Inne przypadki

Masy inne niż 0 i 1 nie pojawiają się tak często. Można wykazać, że wyznacznik tensora typu (0,2) jest względnym skalarem o wadze 2.

Zobacz też

• Macierz i wyznacznik Jakobianu

Bibliografia