Grzebień Diraca - Dirac comb

W matematyce grzebień Diraca (znany również jako ciąg impulsów i funkcja próbkowania w elektrotechnice ) jest okresowym rozkładem temperowanym zbudowanym z funkcji delta Diraca

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} _ {T} (t) \ \ triangleq \ \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) = {\ Frac { 1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

przez pewien okres czasu . Symbol , gdzie kropka jest pominięta, reprezentuje grzebień Diraca z jednostkowym okresem. Niektórzy autorzy, zwłaszcza Bracewell , jak również niektórzy autorzy podręczników z zakresu elektrotechniki i teorii obwodów, odnoszą się do niego jako funkcji Shah (prawdopodobnie dlatego, że jej wykres przypomina kształt cyrylicy literą sha Ш). Ponieważ funkcja grzebienia Diraca jest okresowa, można ją przedstawić jako szereg Fouriera : ${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} (t)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} _ {T} (t) = {\ Frac {1} {T}} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n{\frac {t}{T}}}.}$

Funkcja grzebienia Diraca pozwala reprezentować zarówno zjawiska ciągłe, jak i dyskretne, takie jak próbkowanie i aliasing, w jednym schemacie ciągłej analizy Fouriera na rozkładach Schwartza, bez żadnego odniesienia do szeregów Fouriera. Dzięki twierdzeniu splotu o rozkładzie temperowanym, które okazuje się wzorem na sumowanie Poissona , w przetwarzaniu sygnału grzebień Diraca umożliwia modelowanie z nim próbkowania przez mnożenie , ale także pozwala na modelowanie z nim periodyzacji przez splot .

Tożsamość Dirac-comb

Grzebień Diraca można skonstruować na dwa sposoby, albo za pomocą operatora grzebienia (wykonywanie próbkowania ) zastosowanego do funkcji, która jest stale , albo alternatywnie za pomocą operatora rep (wykonywanie periodyzacji ) zastosowanego do delty Diraca . Formalnie daje to ( Woodward 1953 ; Brandwood 2003 ) ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ delta}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {grzebień} _ {T} \ {1 \} = \ nazwa operatora {\ tekst {Ш}} _ {T} = \ nazwa operatora {przedstawiciel} _ {T} \ {\ delta \}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ Operatorname {grzebień} _ {T} \ {f (t) \} \ trójkąt q \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ f (kT) \ \ delta (t- kT)}$   oraz   ${\ Displaystyle \ Operatorname {przedstawiciel} _ {T} \ {g (t) \} \ triangleq \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \, g (t-kT).}$

W przetwarzaniu sygnału , ten z jednej strony umożliwia pobieranie próbek w funkcji przez mnożenie z , a z drugiej strony pozwala to również periodyzację się przez splatanie z ( Bracewella 1986 ). Tożsamość grzebienia Diraca jest szczególnym przypadkiem twierdzenia splotu dla rozkładów temperowanych. ${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

skalowanie

Właściwość skalowania grzebienia Diraca wynika z właściwości funkcji delta Diraca . Ponieważ dla dodatnich liczb rzeczywistych wynika, że: ${\ Displaystyle \ delta (t) = {\ Frac {1} {a}} \ delta \ lewo ({\ Frac {t} {a}} \ prawej)}$${\displaystyle a}$

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} _ {T} \ lewo (t \ prawo) = {\ Frac {1} {T}} \ operatorname {\ tekst {Ш}} \ lewo ({\ Frac { t}{T}}\prawo),}$

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} _ {aT} \ lewo (t \ prawo) = {\ Frac {1} {aT}} \ operatorname {\ tekst {Ш}} \ lewo ({\ Frac { t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}\left({\frac {t}{a}}\right). }$

Należy pamiętać, że wymaganie dodatnich liczb skalowania zamiast ujemnych nie jest ograniczeniem, ponieważ znak ujemny odwróciłby tylko kolejność sumowania w obrębie , co nie ma wpływu na wynik. ${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

Szeregi Fouriera

Oczywiste jest, że jest to okresowe z okresem . To znaczy, ${\ Displaystyle \ \ operatorname {\ tekst {Ш}} _ {T} (t)}$${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {\ tekst {Ш}} _ {T} (t + T) = \ nazwa operatora {\ tekst {Ш}} _ {T} (t)}$

dla wszystkich t . Złożony szereg Fouriera dla takiej funkcji okresowej to

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} _ {T} (t) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {i2 \ pi n {\ Frac {t}{T}}},}$

gdzie współczynniki Fouriera są (symbolicznie)

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} c_ {n} i = {\ Frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0}+ T} \ nazwa operatora {\ tekst {Ш }} _{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\& ={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{T }(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T }{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\ frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$

Wszystkie współczynniki Fouriera wynoszą 1/ T, co daje

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} _ {T} (t) = {\ Frac {1} {T}} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n{\frac {t}{T}}}.}$

Gdy okres wynosi jedną jednostkę, upraszcza się to:

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} (x) = \ suma _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nx}.}$

Uwaga : Najbardziej rygorystycznie, integracja Riemanna lub Lebesgue'a nad dowolnymi produktami, w tym funkcją delta Diraca, daje zero. Z tego powodu powyższe całkowanie (wyznaczanie współczynników szeregu Fouriera) należy rozumieć „w sensie funkcji uogólnionych”. Oznacza to, że zamiast używać funkcją charakterystyczną przerwą przyłożonego do grzebienia Diraca, używa tzw Lighthill jednolity funkcji jako funkcji wyłącznik, patrz Lighthill 1958 , str.62, tw 22 do szczegółów.

Transformata Fouriera

Transformaty Fouriera z grzebieniem Diraca jest również grzebień Diraca. Jest to oczywiste, gdy weźmie się pod uwagę, że wszystkie składowe Fouriera dodają się konstruktywnie, gdy jest całkowitą wielokrotnością . ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {1}{T}}}$

Transformacja jednostkowa do zwykłej domeny częstotliwości (Hz):

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow}}{\frac {1}{T}}\operator {\text{ Ш}} _{\frac {1}{T}}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}.}$

Warto zauważyć, że grzebień Diraca z okresu jednostkowego przekształca się w siebie:

${\ Displaystyle \ operatorname {\ tekst {Ш}} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} \ longleftrightarrow}} \ operatorname {\ tekst {Ш}} (f).}$

Konkretna zasada zależy od postaci użytej transformacji Fouriera. W przypadku zastosowania transformaty jednostkowej częstotliwości kątowej (radiany/s), regułą jest

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow}}{\frac {\sqrt {2\pi}}{T}} \operatorname {\text{Ш}} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=- \infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}.}$

Próbkowanie i aliasing

Pomnożenie dowolnej funkcji przez grzebień Diraca przekształca ją w ciąg impulsów z całkami równymi wartości funkcji w węzłach grzebienia. Ta operacja jest często używana do reprezentowania próbkowania.

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {\ tekst {Ш}} _ {T} x) (t) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ delta (t-kT) = \sum _{k=-\infty }^{\infty }x(kT)\delta (t-kT).}$

Ze względu na właściwość samotransformacji grzebienia Diraca i twierdzenie o splocie , odpowiada to splotowi z grzebieniem Diraca w domenie częstotliwości.

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow}}\quad {\frac {1}{T}}\operator {\ tekst{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$

Ponieważ splot z funkcją delta jest równoważny przesunięciu funkcji o , splot z grzebieniem Diraca odpowiada replikacji lub sumowaniu okresowemu : ${\ Displaystyle \ delta (t-kT)}$${\displaystyle kT}$

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {\ tekst {Ш}} _ {\ Frac {1} {T}} * X) (f) = \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ lewo ( f-{\frac {k}{T}}\prawo)}$

Prowadzi to do naturalnego sformułowania twierdzenia o próbkowaniu Nyquista-Shannona . Jeżeli widmo funkcji nie zawiera częstotliwości wyższych niż B (tj. jej widmo jest niezerowe tylko w przedziale ), to próbki oryginalnej funkcji w przedziałach są wystarczające do zrekonstruowania oryginalnego sygnału. Wystarczy pomnożyć widmo funkcji próbkowanej przez odpowiednią funkcję prostokąta , co jest równoważne zastosowaniu filtra dolnoprzepustowego typu brick-wall . ${\displaystyle x}$${\ Displaystyle (-B, B)}$${\ Displaystyle 1/2B}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{2B}}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow}}\quad 2B\\operator{\ tekst{Ш}} _{2B}*X}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2B}} \ Pi \ lewo ({\ Frac {f} {2B}} \ po prawej) (2B \, \ Operator {\ tekst {Ш}} _ {2B} * X )=X}$

W dziedzinie czasu to „mnożenie przez funkcję rect” jest równoważne „splotowi z funkcją sinc” ( Woodward 1953 , s. 33-34). W związku z tym przywraca pierwotną funkcję ze swoich próbek. Jest to znane jako wzór interpolacji Whittakera-Shannona .

Uwaga : Najbardziej rygorystyczne mnożenie funkcji rect przez funkcję uogólnioną, taką jak grzebień Diraca, kończy się niepowodzeniem. Wynika to z nieokreślonych wyników iloczynu mnożenia na granicach przedziałów. Jako obejście, używa się funkcji unitarnej Lighthill zamiast funkcji rect. Jest gładka na granicach przedziałów, stąd wszędzie daje określone iloczyny mnożenia, patrz Lighthill 1958 , s.62, Twierdzenie 22 po szczegóły.

Użyj w statystykach kierunkowych

W statystyce kierunkowej grzebień Diraca okresu jest równoważny zawiniętej funkcji delty Diraca i jest analogiem funkcji delty Diraca w statystyce liniowej. ${\displaystyle 2\pi}$

W statystyce liniowej zmienna losowa jest zwykle rozłożona na linii liczb rzeczywistych lub pewnym jej podzbiorze, a gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a całka od do jest jednością. W statystyce kierunkowej zmienna losowa jest rozłożona na okręgu jednostkowym, a gęstość prawdopodobieństwa jest funkcją, której dziedziną jest pewien przedział liczb rzeczywistych długości, a całka po tym przedziale jest jednością. Tak jak całka z iloczynu funkcji delty Diraca z dowolną funkcją po linii liczb rzeczywistych daje wartość tej funkcji na zero, tak całka z iloczynu grzebienia Diraca okresu z dowolną funkcją okresu po koło jednostkowe daje wartość tej funkcji na zero. ${\ Displaystyle (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle (\theta)}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle 2\pi}$${\displaystyle 2\pi}$${\displaystyle 2\pi}$

Zobacz też

• Grzebień częstotliwości
• Wzór na sumowanie Poissona

Bibliografia

Dalsza lektura

• Brandwood, D. (2003), transformaty Fouriera w radarze i przetwarzaniu sygnałów , Artech House, Boston, Londyn.
• Córdoba, A (1989), "Grzebienie Diraca", Letters in Mathematical Physics , 17 (3): 191-196, Bibcode : 1989LMaPh..17..191C , doi : 10.1007/BF00401584
• Woodward, PM (1953), prawdopodobieństwo i teoria informacji, z zastosowaniami do radaru , Pergamon Press, Oxford, Londyn, Edynburg, Nowy Jork, Paryż, Frankfurt.
• Lighthill, MJ (1958), Wprowadzenie do analizy Fouriera i funkcji uogólnionych , Cambridge University Press, Cambridge, Wielka Brytania.