Obroty w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej - Rotations in 4-dimensional Euclidean space

W matematyce The grupę o obroty wokół ustalonego punktu w czterech wymiarów przestrzeni euklidesowej oznaczamy SO (4) . Nazwa wzięła się stąd, że jest to specjalna grupa ortogonalna rzędu 4.

W tym artykule obrót oznacza przemieszczenie obrotowe . Ze względu na unikalność zakłada się, że kąty obrotu znajdują się w segmencie [0, π], chyba że wspomniano lub wyraźnie wynika z kontekstu inaczej.

„Płaszczyzna stała” to płaszczyzna, dla której każdy wektor w płaszczyźnie pozostaje niezmieniony po obrocie. „Płaszczyzna niezmiennicza” to płaszczyzna, dla której każdy wektor w płaszczyźnie, chociaż może być dotknięty obrotem, pozostaje w płaszczyźnie po obrocie.

Geometria obrotów 4D

Obroty czterowymiarowe są dwojakiego rodzaju: rotacje proste i rotacje podwójne.

Proste obroty

Prosty obrót R wokół środka obrotu O pozostawia całą płaszczyznę A do O (płaszczyzna osi) nieruchoma. Każda płaszczyzna B, która jest całkowicie prostopadła do A, przecina A w pewnym punkcie P . Każdy taki punkt P jest środkiem rotacji 2D wywołanej przez R w B . Wszystkie te obroty 2D mają ten sam kąt obrotu α .

Półproste od O w płaszczyźnie osi A nie są przesunięte; półproste od O prostopadłe do A są przesunięte o α ; wszystkie pozostałe półproste są przesunięte o kąt mniejszy niż α .

Podwójne obroty

Tesseract , w rzucie stereograficznym , w podwójnej rotacji

Torus Clifforda 4D stereograficznie rzutowany na 3D wygląda jak torus , a podwójny obrót może być widziany jako ścieżka spiralna na tym torusie. W przypadku obrotu, którego dwa kąty obrotu mają wymierny stosunek, ścieżki ostatecznie połączą się ponownie; podczas gdy dla irracjonalnych proporcji nie będą. Obrót izokliniczny utworzy okrąg Villarceau na torusie, podczas gdy prosty obrót utworzy okrąg równoległy lub prostopadły do ​​osi centralnej.

Dla każdego obrotu R 4-przestrzeni (ustalającego początek) istnieje co najmniej jedna para ortogonalnych 2-płaszczyzn A i B, z których każda jest niezmiennicza i których suma A ⊕ B jest całością 4-przestrzeni. Stąd R działający na jednej z tych płaszczyzn powoduje zwykły obrót tej płaszczyzny. Dla prawie wszystkich R (wszystkich 6-wymiarowych zestawów obrotów z wyjątkiem podzbioru 3-wymiarowego), kąty obrotu α w płaszczyźnie A i β w płaszczyźnie B – oba przyjęte jako niezerowe – są różne. Nierówne kąty obrotu α i β spełniające −π < α , β < π są prawie jednoznacznie określone przez R . Zakładając, że 4-przestrzeń jest zorientowana, wówczas orientacje 2-płaszczyzn A i B można wybrać zgodnie z tą orientacją na dwa sposoby. Jeśli kąty obrotu są nierówne ( α ≠ β ), R jest czasami określane jako „podwójny obrót”.

W tym przypadku podwójnej rotacji, A i B są jedyną parą niezmiennych płaszczyzn, a półproste z początku w A , B są przesunięte odpowiednio o α i β , a półproste z początku nie w A lub B są przesunięte o kąty ściśle pomiędzy α i β .

Obroty izokliniczne

Jeśli kąty obrotu podwójnego obrotu są równe, to istnieje nieskończenie wiele niezmiennych płaszczyzn zamiast tylko dwóch, a wszystkie półproste od O są przesunięte o ten sam kąt. Takie rotacje nazywane są rotacjami izoklinicznymi lub równokątnymi lub przemieszczeniami Clifforda . Uwaga: nie wszystkie płaszczyzny przechodzące przez O są niezmienne w rotacjach izoklinicznych; tylko płaszczyzny, które są połączone półprostą i odpowiadająca im przesunięta półprosta, są niezmienne.

Zakładając, że dla przestrzeni 4-wymiarowej wybrano stałą orientację, izokliniczne rotacje 4D można podzielić na dwie kategorie. Aby to zobaczyć, rozważmy rotację izokliniczną R , i weźmy uporządkowany zbiór OU , OX , OY , OZ zgodny z orientacją wzajemnie prostopadłych półprostych w punkcie O (oznaczony jako OUXYZ ) taki, że OU i OX rozpościerają się na niezmiennej płaszczyźnie, a zatem OY i OZ również obejmują niezmienną płaszczyznę. Załóżmy teraz, że podany jest tylko kąt obrotu α . Wtedy na ogół występują cztery izokliniczne obroty w płaszczyznach OUX i OYZ o kącie obrotu α , w zależności od sensów obrotu w OUX i OYZ .

Przyjmujemy konwencję, że sensy rotacji od OU do OX i od OY do OZ są liczone jako dodatnie. Następnie mamy cztery obroty R ₁ = (+ α , + α ) , R ₂ = ( − α , − α ) , R ₃ = ( + α , − α ) i R ₄ = ( − α , + α ) . R ₁ i R ₂ są nawzajem odwrotności ; podobnie jak R ₃ i R ₄ . Dopóki α leży między 0 a π , te cztery obroty będą różne.

Rotacje izokliniczne z podobnymi znakami są oznaczane jako lewoskrzydłowe ; te z przeciwstawnymi znakami jako prawo-izokliniczne . Rotacje lewo- i prawo-izokliniczne są reprezentowane odpowiednio przez lewo- i prawo-mnożenie przez kwaterniony jednostkowe; patrz akapit „Odniesienie do kwaternionów” poniżej.

Cztery obroty są parami różne, chyba że α = 0 lub α = π . Kąt α = 0 odpowiada rotacji tożsamości; α = π odpowiada inwersji centralnej , danej przez ujemną macierz jednostkową. Te dwa elementy SO(4) są jedynymi, które są jednocześnie lewo- i prawo-izokliniczne.

Izokliny lewo- i prawostronne zdefiniowane jak powyżej wydają się zależeć od tego, która konkretna rotacja izokliniczna została wybrana. Jednakże, gdy drugiego isoclinic obrotowy R z jego własnych osi Ou ' , OX' , OY ' , OZ' zaznaczony jest zawsze można wybrać zamówienie z U ' , X' , Y ' , Z' , tak że OUXYZ może być przekształcone w OU′X′Y′Z′ przez obrót, a nie przez obrót-odbicie (to znaczy, że uporządkowana baza OU′ , OX′ , OY′ , OZ′ jest również zgodna z tym samym ustalonym wyborem orientacji jako OU , OX , OY , OZ ). Dlatego po wybraniu orientacji (tj. systemu OUXYZ osi, który jest powszechnie określany jako prawoskrętny), można określić lewy lub prawy charakter określonej rotacji izoklinicznej.

Struktura grupowa SO(4)

SO(4) jest nieprzemienną zwartą 6- wymiarową grupą Liego .

Każda płaszczyzna przechodząca przez środek obrotu O jest płaszczyzną osi przemiennej podgrupy izomorficznej z SO(2). Wszystkie te podgrupy są wzajemnie sprzężone w SO(4).

Każda para całkowicie ortogonalnych płaszczyzn przechodzących przez O jest parą niezmiennych płaszczyzn przemiennej podgrupy SO(4) izomorficznej do SO(2) × SO(2) .

Grupy te są maksymalnymi tori SO(4), które są wzajemnie sprzężone w SO(4). Zobacz także torus Clifforda .

Wszystkie obroty w lewo, isoclinic tworzą podgrupę nieprzemienna S ³ _L SO (4), który jest izomorficzny do multiplikatywna grupa S ³ jednostkowych quaternions . Wszystkie obroty w prawo, isoclinic również tworzą podgrupę S ³ _R SO (4) izomorficzna S ³ . Zarówno S ³ _{L, jak} i S ³ _R są maksymalnymi podgrupami SO(4).

Każdy lewicowo-isoclinic rotacji dojazdy z każdym obrocie prawym isoclinic. Oznacza to, że istnieje produkt bezpośredni S ³ _L × S ³ _R z normalnymi podgrupami S ³ _L i S ³ _R ; oba odpowiednich grup czynników są izomorficzne z innym czynnikiem bezpośredniego produktu, np izomorficzna S ³ . (To nie jest SO(4) ani jego podgrupa, ponieważ S ³ _L i S ³ _R nie są rozłączne: tożsamość I i centralna inwersja − I należą zarówno do S ³ _{L, jak} i S ³ _R .)

Każda rotacja 4D A jest na dwa sposoby iloczynem rotacji lewo- i prawo-izoklinicznych A _L i A _R . _L i _R są wspólnie określane do centralnej odwróceniem, czyli wtedy, gdy zarówno _L i _R są mnożone przez centralny odwracanie ich produktach ponownie.

Oznacza to, że S ³ _L × S ³ _R jest uniwersalną grupą kryjącą SO(4) — jej unikalną podwójną osłoną — oraz że S ³ _L i S ³ _R są normalnymi podgrupami SO(4). Rotacja tożsamościowa I i centralna inwersja − I tworzą grupę C ₂ rzędu 2, która jest centrum SO(4) oraz S ³ _L i S ³ _R . Centrum grupy to normalna podgrupa tej grupy. Grupa czynników C ₂ w SO(4) jest izomorficzna do SO(3) × SO(3). Grupy czynnik S ³ _L przez C ₂ i z S ³ _R przez C ₂ każdy izomorficzna SO (3). Podobnie, grupy czynnik SO (4), S ³ _L i SO (4), S ³ _R oznaczają izomorficzna SO (3).

Topologia SO(4) jest taka sama jak w grupie Liego SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , czyli przestrzeń, w której jest rzeczywistą przestrzenią rzutową wymiaru 3 i jest 3-sfera . Warto jednak zauważyć, że jako grupa Liego, SO(4) nie jest bezpośrednim produktem grup Liego, a więc nie jest izomorficzna z SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2 ) . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3} \ razy \ mathbb {S} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {3}}$

Specjalna właściwość SO(4) wśród grup rotacyjnych w ogóle

Grupy rotacji nieparzystowymiarowych nie zawierają centralnej inwersji i są prostymi grupami .

Parzystowymiarowe grupy rotacyjne zawierają centralną inwersję − I i mają grupę C ₂ = { I , − I } jako środek . Dla jeszcze n ≥ 6, SO (n) jest prawie prosty, że grupa czynnik SO (n) / C ₂ tak (n) w środku jest grupa prosta.

SO(4) jest inny: nie ma koniugacji żadnego elementu SO(4), który przekształca rotacje lewo- i prawo-izokliniczne w siebie nawzajem. Odbicia przekształcają lewo-izokliniczną rotację w prawo-izokliniczną przez koniugację i vice versa. Oznacza to, że w grupie O(4) wszystkich izometrii o stałym punkcie O odrębne podgrupy S ³ _L i S ³ _R są ze sobą sprzężone, a więc nie mogą być normalnymi podgrupami O(4). Grupa rotacyjna 5D SO(5) i wszystkie wyższe grupy rotacyjne zawierają podgrupy izomorficzne z O(4). Podobnie jak SO(4), wszystkie parzystowymiarowe grupy rotacji zawierają rotacje izokliniczne. Ale w przeciwieństwie do SO(4), w SO(6) i wszystkich wyższych parzystowymiarowych grupach rotacji dowolne dwa izokliniczne rotacje o ten sam kąt są sprzężone. Zbiór wszystkich rotacji izoklinicznych nie jest nawet podgrupą SO( 2N ), nie mówiąc już o normalnej podgrupie.

Algebra obrotów 4D

SO(4) jest powszechnie utożsamiany z grupą orientacji - z zachowaniem na siebie izometrycznych odwzorowań liniowych przestrzeni wektorowej 4D z iloczynem skalarnym przez liczby rzeczywiste .

W odniesieniu do bazy ortonormalnej w takiej przestrzeni SO(4) jest reprezentowana jako grupa rzeczywistych macierzy ortogonalnych czwartego rzędu z wyznacznikiem +1.

Rozkład izokliniczny

Rotacja 4D określona przez jej macierz jest rozkładana na rotację lewo-izokliniczną i prawo-izokliniczną w następujący sposób:

Pozwolić

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {pmatrix} a_ {00} i a_ {01} i a_ {02} i a_ {03} \ \ a_ {10} i a_ {11} i a_ {12} i a_ {13} \ \ a_ {20 }&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}$

być jego macierzą w odniesieniu do dowolnej bazy ortonormalnej.

Oblicz z tego tak zwaną macierz asocjacyjną

${\ Displaystyle M = {\ Frac {1}{4}}{\ zacząć {pmatrix} a_ {00} + a_ {11} + a_ {22} + a_ {33} i + a_ {10}-a_ {01 }-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_ {03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30 }-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{13}\\a_{20}-a_{31}-a_ {02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33} &+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_ {31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22} -a_{33}\koniec{pmatrix}}}$

M ma rząd pierwszy i jest jednostką normy euklidesowej jako wektor 16D wtedy i tylko wtedy, gdy A jest rzeczywiście macierzą rotacji 4D. W tym przypadku istnieją liczby rzeczywiste a , b , c , d i p , q , r , s takie, że

${\ Displaystyle M = {\ zacząć {pmatrix} ap i aq i ar i jako \ \ bp & bq & br & bs \ \ cp & cq & cr & cs \ \ dp & dq & dr & ds \ koniec {pmatrix}}}$

oraz

${\ Displaystyle (ap) ^ {2} + \ cdots + (ds) ^ {2} = \ lewo (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ prawy) )\lewo(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\prawo)=1.}$

Istnieją dokładnie dwa zbiory a , b , c , d i p , q , r , s takie, że a ² + b ² + c ² + d ² = 1 i p ² + q ² + r ² + s ² = 1 . Są swoimi przeciwieństwami.

Macierz rotacji jest wtedy równa

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A i = {\ zacząć {pmatrix} ap-bq-cr-ds i aq-bp + cs-dr i ar-bs-cp + dq i jako + br-cq-dp \\ bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr +ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\end{ pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\ ;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\ ;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\, \,p\end{pmatrix}}.\end{wyrównany}}}$

Ta formuła pochodzi od Van Elfrinkhofa (1897).

Pierwszy czynnik w tej dekompozycji reprezentuje rotację lewo-izokliniczną, drugi czynnik prawo-izokliniczną rotację. Czynniki są określane aż do ujemnej macierzy tożsamości czwartego rzędu , czyli centralnej inwersji.

Stosunek do kwaternionów

Punkt w przestrzeni czterowymiarowej o współrzędnych kartezjańskich ( u , x , y , z ) może być reprezentowany przez kwaternion P = u + xi + yj + zk .

Lewo-izokliniczny obrót jest reprezentowany przez mnożenie w lewo przez kwaternion jednostki Q _L = a + bi + cj + dk . W języku macierz-wektorów jest to

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} u '\ \ x '\ \ y' \ \ z '\ koniec {pmatrix}} = {\ zacząć {pmatrix} a&-b&-c&-d\\b&\;\, \,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

Podobnie rotacja prawo-izokliniczna jest reprezentowana przez mnożenie w prawo przez kwaternion Q _R = p + qi + rj + sk , który jest w formie macierzowo-wektorowej

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} u '\ \ x '\ \ y' \ \ z '\ koniec {pmatrix}} = {\ zacząć {pmatrix} p & -q&-r&-s \\q&\;\, \,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

W poprzedniej sekcji ( #Isokliniczny rozkład ) pokazano, jak ogólna rotacja 4D jest podzielona na lewo- i prawo-izokliniczne czynniki.

W języku kwaternionów formuła Van Elfrinkhofa brzmi

${\displaystyle u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk)}$

lub w formie symbolicznej

${\ Displaystyle P '= Q_ {\ operatorname {L}} PQ_ {\ operatorname {R}}. \,}$

Według niemieckiego matematyka Felixa Kleina formuła ta była znana Cayleyowi już w 1854 roku.

Mnożenie kwaternionów jest łączne . W związku z tym,

${\ Displaystyle P '= \ lewo (Q_ {\ operatorname {L}} P \ prawo) Q_ {\ operatorname {R}} = Q_ {\ operatorname {L}} \ lewo (PQ_ {\ operatorname {R}}} Prawidłowy),\,}$

co pokazuje, że rotacje lewo-izokliniczne i prawo-izokliniczne komutują.

Wartości własne macierzy rotacji 4D

Cztery wartości własne macierzy rotacji 4D zwykle występują jako dwie sprzężone pary liczb zespolonych o jednostkowej wielkości. Jeśli wartość własna jest rzeczywista, musi wynosić ±1, ponieważ obrót pozostawia niezmienioną wielkość wektora. Sprzężenie tej wartości własnej jest również jednością, dając parę wektorów własnych, które definiują stałą płaszczyznę, a więc obrót jest prosty. W notacji kwaternionów właściwy (tj. nieodwracający) obrót w SO(4) jest prawidłowym prostym obrotem wtedy i tylko wtedy, gdy rzeczywiste części kwaternionów Q _L i Q _R są równe co do wielkości i mają ten sam znak. Jeśli oba są zerowe, wszystkie wartości własne obrotu są jednością, a obrót jest rotacją zerową. Jeśli rzeczywiste części Q _L i Q _R nie są równe, to wszystkie wartości własne są złożone, a obrót jest rotacją podwójną.

Wzór Eulera-Rodriguesa dla rotacji 3D

Nasza zwykła przestrzeń 3D jest wygodnie traktowana jako podprzestrzeń o układzie współrzędnych 0XYZ przestrzeni 4D o układzie współrzędnych UXYZ. Jego grupa rotacyjna SO(3) jest identyfikowana z podgrupą SO(4) składającą się z matryc

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} 1 i \, \, 0 i \, \, 0 i \, \, 0 \ \ 0 i a_ {11} i a_ {12} i a_ {13} \ \ 0 i a_ {21} i a_ {22} i a_ {23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

We wzorze Van Elfrinkhofa w poprzednim podrozdziale to ograniczenie do trzech wymiarów prowadzi do p = a , q = - b , r = - c , s = - d , lub w reprezentacji kwaternionów: Q _R = Q _L ′ = Q _L ^-1 . Macierz rotacji 3D staje się wtedy

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} a_ {11} i a_ {12} i a_ {13} \ \ a_ {21} i a_ {22} i a_ {23} \ \ a_ {31} i a_ {32} i a_ {33} \ end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2 (bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^ {2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},}$

który jest reprezentacją rotacji 3D przez jego parametry Eulera–Rodriguesa : a , b , c , d .

Odpowiedni wzór kwaternionów P′ = QPQ ⁻¹ , gdzie Q = Q _L , lub w rozszerzonej formie:

${\ Displaystyle x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)}$

jest znany jako formuła Hamiltona – Cayleya .

Współrzędne Hopfa

Obroty w przestrzeni 3D są matematycznie o wiele bardziej wykonalne dzięki zastosowaniu współrzędnych sferycznych . Każdy obrót w 3D można scharakteryzować stałą osią obrotu i niezmienną płaszczyzną prostopadłą do tej osi. Bez utraty ogólności możemy przyjąć płaszczyznę xy jako płaszczyznę niezmienną, a oś z jako oś stałą. Ponieważ na odległości promieniowe nie ma wpływu obrót, możemy scharakteryzować obrót poprzez jego wpływ na sferę jednostkową (2-sfery) za pomocą współrzędnych sferycznych odniesionych do stałej osi i niezmiennej płaszczyzny:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane} x & = \ sin \ theta \ cos \ phi \ \ y& = \ sin \ theta \ sin \ phi \ \ z& = \ cos \ theta \ koniec {wyrównane}}}$

Ponieważ x ² + y ² + z ² = 1 , punkty leżą na 2-sferze. Punkt w { θ ₀ , φ ₀ } obrócony o kąt φ wokół osi z jest określony po prostu przez { θ ₀ , φ ₀ + φ } . Podczas gdy współrzędne hipersferyczne są również przydatne w obrotach 4D, jeszcze bardziej użyteczny układ współrzędnych dla 4D zapewniają współrzędne Hopf { ξ ₁ , η , ξ ₂ } , które są zbiorem trzech współrzędnych kątowych określających pozycję na 3 kula. Na przykład:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} u & = \ cos \ xi _ {1} \ sin \ eta \ \ z & = \ sin \ xi _ {1} \ sin \ eta \ \ x \ = \ cos \ xi _ {2 }\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}}$

Ponieważ u ² + x ² + y ² + z ² = 1 , punkty leżą na 3-sferze.

W przestrzeni 4D każdy obrót wokół początku ma dwie niezmienne płaszczyzny, które są całkowicie prostopadłe do siebie i przecinają się w początku i są obrócone o dwa niezależne kąty ξ ₁ i ξ ₂ . Bez utraty ogólności, jako te niezmienne płaszczyzny możemy wybrać odpowiednio płaszczyzny uz i xy . Obrót w 4D punktu { ξ ₁₀ , η ₀ , ξ ₂₀ } przez kąty ξ ₁ i ξ ₂ jest następnie po prostu wyrażany we współrzędnych Hopf jako { ξ ₁₀ + ξ ₁ , η ₀ , ξ ₂₀ + ξ ₂ } .

Wizualizacja obrotów 4D

Trajektorie punktu na Torusie Clifforda:
Ryc.1: proste obroty (czarny) oraz lewy i prawy obrót izokliniczny (czerwony i niebieski)
Ryc.2: ogólny obrót z przemieszczeniami kątowymi w stosunku 1:5
Ryc.3: ogólny obrót z przemieszczeniami kątowymi w stosunku 5:1.
Wszystkie obrazy są projekcjami stereograficznymi .

Każdy obrót w przestrzeni 3D ma niezmienną linię osi, która jest niezmienna przez obrót. Obrót jest całkowicie określony przez określenie osi obrotu i kąta obrotu wokół tej osi. Bez utraty ogólności, ta oś może być wybrana jako oo -osiowy układu współrzędnych kartezjańskich, umożliwiając prostsze wizualizację obrotu.

W przestrzeni 3D współrzędne sferyczne { θ , φ } mogą być postrzegane jako parametryczne wyrażenie 2-sfery. Dla ustalonego θ opisują one okręgi na 2-sferze, które są prostopadłe do osi z i te okręgi mogą być postrzegane jako trajektorie punktu na kuli. Punkt { θ ₀ , φ ₀ } na sferze, pod obrotem wokół osi z , będzie podążał trajektorią { θ ₀ , φ ₀ + φ } w miarę zmiany kąta φ . Trajektorię można traktować jako rotację parametryczną w czasie, gdzie kąt obrotu jest liniowy w czasie: φ = ωt , gdzie ω oznacza „prędkość kątową”.

Analogicznie do przypadku 3D, każdy obrót w przestrzeni 4D ma co najmniej dwie niezmienne płaszczyzny osi, które pozostają niezmienne przez obrót i są całkowicie ortogonalne (tj. przecinają się w punkcie). Obrót jest całkowicie określony przez określenie płaszczyzn osi i kątów obrotu wokół nich. Bez utraty ogólności, te płaszczyzny osi mogą być wybrane jako płaszczyzny uz i xy kartezjańskiego układu współrzędnych, co pozwala na prostszą wizualizację obrotu.

W przestrzeni 4D kąty Hopfa { ξ ₁ , η , ξ ₂ } parametryzują 3-sferę. Dla ustalonego η opisują torus sparametryzowany przez ξ ₁ i ξ ₂ , gdzie η = π/4będąc szczególnym przypadkiem torusa Clifforda w płaszczyznach xy i uz . Te tori nie są zwykłymi tori występującymi w przestrzeni 3D. Chociaż nadal są powierzchniami 2D, są osadzone w 3-sferze. Trójsferę można rzutować stereograficznie na całą trójwymiarową przestrzeń euklidesową, a te tori są wtedy postrzegane jako zwykłe tori obrotu. Można zauważyć, że punkt określony przez { ξ ₁₀ , η ₀ , ξ ₂₀ } przechodzący obrót z niezmiennikami płaszczyzn uz i xy pozostanie na torusie określonym przez η ₀ . Trajektorię punktu można zapisać w funkcji czasu jako { ξ ₁₀ + ω ₁ t , η ₀ , ξ ₂₀ + ω ₂ t } i rzutować stereograficznie na związany z nim torus, jak na poniższych rysunkach. Na tych figurach przyjmuje się, że punkt początkowy to {0,π/4, 0} , czyli na torusie Clifforda. Na rys. 1 dwie proste trajektorie rotacji są pokazane na czarno, podczas gdy lewa i prawa trajektoria izokliniczna są pokazane odpowiednio na czerwono i niebiesko. Na fig. 2, w którym ogólnie obrót omów ₁ = 1 i omów ₂ = 5 jest pokazana, podczas gdy na fig. 3, w którym ogólny obrót omów ₁ = 5 i ω ₂ = 1, jest pokazany na rysunku.

Generowanie macierzy rotacji 4D

Obroty czterowymiarowe można wyprowadzić ze wzoru rotacji Rodriguesa i wzoru Cayleya. Niech A będzie macierzą skośno-symetryczną 4 × 4 . Skośno-symetryczną macierz A można jednoznacznie rozłożyć jako

${\displaystyle A=\theta_{1}A_{1}+\theta_{2}A_{2}}$

na dwie macierze skośno-symetryczne A ₁ i A ₂ spełniające własności A ₁ A ₂ = 0 , A ₁ ³ = − A ₁ i A ₂ ³ = − A ₂ , gdzie ∓ θ ₁ i oraz ∓ θ ₂ i są wartościami własnymi z A . Następnie macierze rotacji 4D można otrzymać z macierzy skośno-symetrycznych A ₁ i A _{2 za} pomocą wzoru rotacji Rodriguesa i wzoru Cayleya.

Niech A będzie niezerową macierzą skośno-symetryczną 4 × 4 ze zbiorem wartości własnych

${\ Displaystyle \ lewo \ {\ theta _ {1} ja - \ theta _ {1} ja \ teta _ {2} ja - \ theta _ {2} ja: {\ theta _ {1}} ^ {2}+{\theta _{2}}^{2}>0\prawo\}.}$

Wtedy A można rozłożyć jako

${\displaystyle A=\theta_{1}A_{1}+\theta_{2}A_{2}}$

gdzie A ₁ i A ₂ są macierzami skośno-symetrycznymi spełniającymi własności

${\displaystyle A_{1}A_{2}=A_{2}A_{1}=0\qquad {A_{1}}^{3}=-A_{1}\quad {\tekst{i} }\quad {A_{2}}^{3}=-A_{2}.}$

Ponadto macierze skośno-symetryczne A ₁ i A ₂ są jednoznacznie otrzymywane jako

${\ Displaystyle A_ {1} = {\ Frac {{\ theta _ {2}} ^ {2} A + A ^ {3}}{\ theta _ {1} \ lewo ({\ theta _ {2}} ^{2}-{\theta _{1}}^{2}\right)}}}$

oraz

${\ Displaystyle A_ {2} = {\ Frac {{\ theta _ {1}} ^ {2} A + A ^ {3}}{\ theta _ {2} \ lewo ({\ theta _ {1}} ^{2}-{\theta _{2}}^{2}\right)}}.}$

Następnie,

${\ Displaystyle R = e ^ {A} = I + \ sin \ theta _ {1} A_ {1} + \ lewo (1- \ cos \ theta _ {1} \ prawej) {A_ {1}} ^ {2 }+\sin \theta _{2}A_{2}+\left(1-\cos \theta _{2}\right){A_{2}}^{2}}$

jest macierzą rotacji w E ⁴ , która jest generowana przez wzór rotacji Rodriguesa, ze zbiorem wartości własnych

${\ Displaystyle \ lewo \ {e ^ {\ theta _ {1} i}, e ^ {- \ teta _ {1} i}, e ^ {\ theta _ {2} i}, e ^ {- \ teta _{2}i}\prawo\}.}$

Także,

${\ Displaystyle R = (I + A) (IA) ^ {-1} = ja + {\ Frac {2 \ theta _ {1} {1 + {\ theta _ {1}} ^ {2}}} A_ {1}+{\frac {2{\theta _{1}}^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}}{A_{1}}^{2}+ {\frac {2\theta _{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}A_{2}+{\frac {2{\theta _{2}}^{2 }}{1+{\theta _{2}}^{2}}}{A_{2}}^{2}}$

jest macierzą rotacji w E ⁴ , która jest generowana przez wzór rotacji Cayleya, taki, że zbiór wartości własnych R jest,

${\ Displaystyle \ lewo \ {{\ Frac {\ lewo (1 + \ theta _ {1} i \ po prawej) ^ {2} {1 + {\ theta _ {1}} ^ {2}}} { \frac {\left(1-\theta _{1}i\right)^{2}}{1+{\theta _{1}}^{2}}},{\frac {\left(1+ \theta _{2}i\right)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}},{\frac {\left(1-\theta _{2}i\ po prawej)^{2}}{1+{\theta _{2}}^{2}}}\po prawej\}.}$

Generującą macierz rotacji można sklasyfikować ze względu na wartości θ ₁ i θ ₂ w następujący sposób:

1. Jeżeli θ ₁ = 0 i θ ₂ ≠ 0 lub odwrotnie, to formuły generują proste rotacje;
2. Jeśli θ ₁ i θ ₂ są niezerowe, a θ ₁ ≠ θ ₂ , to formuły generują podwójne obroty;
3. Jeśli θ ₁ i θ ₂ są niezerowe, a θ ₁ = θ ₂ , to wzory generują rotacje izokliniczne.

Zobacz też

• wektor Laplace’a–Runge’a–Lenza
• Grupa Lorentza
• Grupa ortogonalna
• Macierz ortogonalna
• Płaszczyzna obrotu
• Grupa Poincare
• Kwaterniony i rotacja przestrzenna

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

• L. van Elfrinkhof: Eene eigenschap van de orthogonale substitutie van de vierde orde. Handelingen van het 6e Nederlandsch Natuurkundig en Geneeskundig Congres, Delft, 1897.
• Felix Klein : Matematyka elementarna z zaawansowanego punktu widzenia: arytmetyka, algebra, analiza. Tłumaczone przez ER Hedricka i CA Noble. The Macmillan Company, Nowy Jork, 1932.
• Henry Parker Manning : Geometria czterech wymiarów . The Macmillan Company, 1914. Opublikowane w niezmienionej i nieskróconej wersji przez Dover Publications w 1954. W tej monografii czterowymiarowa geometria jest rozwijana od pierwszych zasad w syntetyczny sposób aksjomatyczny. Dzieło Manninga można uznać za bezpośrednie rozszerzenie prac Euklidesa i Hilberta do czterech wymiarów.
• JH Conway i DA Smith: O kwaternionach i oktonionach: ich geometria, arytmetyka i symetria. AK Peters, 2003.
• Hathaway, Arthur S. (1902). "Przestrzeń Quaternion" . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 3 (1): 46–59. doi : 10.1090/S0002-9947-1902-1500586-2 . JSTOR  1986315 .
• Johana Ernesta Mebiusa (2005). „Macierz oparty dowód twierdzenia o reprezentacji kwaternionów dla czterowymiarowych obrotów”. arXiv : matematyka/0501249 .
• Johana Ernesta Mebiusa (2007). „Wyprowadzenie wzoru Eulera-Rodriguesa dla obrotów trójwymiarowych z ogólnego wzoru dla obrotów czterowymiarowych”. arXiv : matematyka/0701759 .
• PHSchoute : Geometria wielowymiarowa . Lipsk: GJGöschensche Verlagshandlung. Tom 1 (Sammlung Schubert XXXV): Die linearen Räume, 1902. Tom 2 (Sammlung Schubert XXXVI): Die Polytope, 1905.
• Stringham, Irving (1901). „O geometrii płaszczyzn w przestrzeni parabolicznej czterech wymiarów” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 2 (2): 183–214. doi : 10.1090/s0002-9947-1901-1500564-2 . JSTOR  1986218 .
• Erdoğdu, Melek; Özdemir, Mustafa (2020). „Proste, podwójne i izokliniczne obroty z aplikacjami” . Nauki matematyczne i aplikacje E-Notatki . doi : 10.36753/mathenot.642208 .
• Mortari, Daniele (lipiec 2001). „O koncepcji obrotu sztywnego w przestrzeniach n-wymiarowych” (PDF) . Dziennik Nauk Astronautycznych . 49 (3): 401-420. doi : 10.1007/BF03546230 . S2CID  16952309 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 17 lutego 2019 r.
• Kim, Heuna; Rote, G. (2016). „Testowanie zgodności zestawów punktowych w 4 wymiarach”. arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
• Zamboj Michał (8 stycznia 2021). „Syntetyczna konstrukcja rozwłóknienia Hopfa w podwójnym rzucie ortogonalnym 4-przestrzeni”. Journal of Computational Design and Engineering . 8 (3): 836-854. arXiv : 2003.09236 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .