Obrotowa ramka odniesienia - Rotating reference frame

Obracania ramy odniesienia jest szczególnym przypadkiem bezinercyjnej ramki odniesienia , który jest obracającą się w stosunku do układu inercyjnego odniesienia . Codziennym przykładem obracającego się układu odniesienia jest powierzchnia Ziemi . (Ten artykuł dotyczy tylko ramek obracających się wokół stałej osi. Aby uzyskać bardziej ogólne obroty, zobacz kąty Eulera .)

W inercjalnym układzie odniesienia (górna część obrazu) czarna kula porusza się po linii prostej. Jednak obserwator (czerwona kropka) stojący w wirującym/nieinercjalnym układzie odniesienia (dolna część obrazu) widzi obiekt poruszający się po zakrzywionej ścieżce ze względu na siły Coriolisa i siły odśrodkowe obecne w tym układzie.

Fikcyjne siły

Wszystkie nieinercyjne układy odniesienia wykazują fikcyjne siły ; obrotowe ramy odniesienia charakteryzują trzy:

oraz, w przypadku nierównomiernie obracających się ram odniesienia,

Naukowcy w obracającym się pudełku mogą mierzyć prędkość i kierunek swojego obrotu, mierząc te fikcyjne siły. Na przykład Léon Foucault był w stanie pokazać siłę Coriolisa wynikającą z obrotu Ziemi za pomocą wahadła Foucaulta . Gdyby Ziemia obracała się wielokrotnie szybciej, te fikcyjne siły byłyby odczuwalne przez ludzi, tak jak na wirującej karuzeli .

Łączenie ram obrotowych z ramami stacjonarnymi

Poniżej znajduje się wyprowadzenie wzorów na przyspieszenia oraz siły fikcyjne w obracającej się ramie. Rozpoczyna się od relacji między współrzędnymi cząstki w układzie obrotowym a jej współrzędnymi w układzie inercjalnym (stacjonarnym). Następnie, biorąc pochodne czasowe, wyprowadza się wzory, które wiążą prędkość cząstki widzianej w dwóch klatkach i przyspieszenie względem każdej klatki. Wykorzystując te przyspieszenia, fikcyjne siły są identyfikowane przez porównanie drugiego prawa Newtona sformułowanego w dwóch różnych układach.

Relacja między pozycjami w dwóch ramkach

Aby czerpać te siła bezwładności, jest to pomocne, aby móc konwertować między współrzędnymi z obracającym się układzie odniesienia i współrzędnych od An inercyjnym układzie odniesienia z tego samego pochodzenia. Jeżeli obrót odbywa się wokół osi ze stałą prędkością kątową , lub , a dwie ramki odniesienia pokrywają się w czasie , można zapisać transformację ze współrzędnych obrotowych na współrzędne bezwładnościowe

podczas gdy transformacja odwrotna to

Wynik ten można uzyskać z macierzy rotacji .

Wprowadź wektory jednostkowe reprezentujące standardowe wektory bazowe jednostek w ramie obrotowej. Pochodne czasowe tych wektorów jednostkowych znajdują się następnie. Załóżmy, że ramki są wyrównane przy t = 0 i z -osiowy stanowi oś obrotu. Następnie dla obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt Ωt :

gdzie składowe ( x , y ) są wyrażone w ramie stacjonarnej. Również,

Zatem pochodna po czasie tych wektorów, które obracają się bez zmiany wielkości, wynosi

gdzie . Ten wynik jest taki sam, jak uzyskany przy użyciu iloczynu wektorowego z wektorem obrotu skierowanym wzdłuż osi z obrotu , a mianowicie:

gdzie jest albo lub .

Pochodne czasowe w dwóch ramach

Wprowadź wektory jednostkowe reprezentujące standardowe wektory bazowe jednostek w ramie obrotowej. W miarę rotacji pozostaną znormalizowane. Jeśli pozwolimy im obracać się z prędkością około osi, to każdy wektor jednostkowy wirującego układu współrzędnych jest zgodny z następującym równaniem:

Wtedy jeśli mamy funkcję wektorową ,

i chcemy zbadać jego pierwszą pochodną, ​​którą mamy (korzystając z reguły różniczkowania iloczynu ):

gdzie jest szybkość zmian obserwowanych w wirującym układzie współrzędnych. W skrócie zróżnicowanie wyraża się jako:

Wynik ten jest również znany jako twierdzenie o transporcie w dynamice analitycznej i jest również czasami określany jako podstawowe równanie kinematyczne.

Zależność między prędkościami w dwóch klatkach

Prędkość obiektu jest pochodną czasu pozycji obiektu lub

Pochodna po czasie pozycji w obracającym się układzie odniesienia ma dwie składowe, jedną z wyraźnej zależności od czasu wynikającej z ruchu samej cząstki, a drugą z własnego obrotu ramki. Stosując wynik z poprzedniego podrozdziału do przemieszczenia , prędkości w dwóch układach odniesienia są powiązane równaniem

gdzie indeks dolny i oznacza inercyjny układ odniesienia, a r oznacza obracający się układ odniesienia.

Związek między przyspieszeniami w dwóch klatkach

Przyspieszenie to druga pochodna czasowa pozycji lub pierwsza pochodna czasowa prędkości

gdzie indeks dolny i oznacza inercyjny układ odniesienia, r obracający się układ odniesienia, a wyrażenie w wyrażeniu w nawiasie po lewej stronie należy interpretować jako operator działający na wyrażeniu w nawiasie po prawej stronie.

Przeprowadzenie różniczkowania i ponowne uporządkowanie niektórych wyrażeń daje przyspieszenie względem obracającego się układu odniesienia,

gdzie jest oczywiste przyspieszenia obrotowego układu odniesienia, określenie oznacza odśrodkowej przyspieszenie , a określenie to przyspieszenie Coriolisa . Ostatni wyraz ( ) to przyspieszenie Eulera i wynosi zero w jednostajnie obracających się klatkach.

Drugie prawo Newtona w dwóch układach

Gdy wyrażenie na przyspieszenie mnoży się przez masę cząstki, trzy dodatkowe wyrazy po prawej stronie dają fikcyjne siły w obracającym się układzie odniesienia, czyli siły pozorne, które wynikają z przebywania w nieinercjalnym układzie odniesienia , a nie z jakiejkolwiek fizycznej interakcji między ciałami.

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona otrzymujemy:

gdzie jest masa obiektu, na który działają te fikcyjne siły . Zauważ, że wszystkie trzy siły znikają, gdy rama się nie obraca, to znaczy, gdy

Dla kompletności, przyspieszenie bezwładności spowodowane wywieranymi siłami zewnętrznymi można wyznaczyć z całkowitej siły fizycznej w układzie bezwładności (nieobrotowym) (na przykład siła z interakcji fizycznych, takich jak siły elektromagnetyczne ) przy użyciu drugiego prawa Newtona w układzie bezwładności:

Prawo Newtona w obracającej się ramie staje się wtedy

Innymi słowy, aby poradzić sobie z prawami ruchu w obracającym się układzie odniesienia:

Traktuj fikcyjne siły jak prawdziwe siły i udawaj, że znajdujesz się w bezwładności.

—  Louis N. Hand, Janet D. Finch Mechanika analityczna , s. 267

Oczywiście obracający się układ odniesienia jest przypadkiem układu nieinercjalnego. Zatem na cząstkę oprócz rzeczywistej siły oddziałuje fikcyjna siła... Cząstka porusza się zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, jeśli całkowita siła działająca na nią jest traktowana jako suma rzeczywistych i fikcyjnych sił.

—  HS Hans i SP Pui: Mechanika ; str. 341

To równanie ma dokładnie postać drugiego prawa Newtona, zróżnicą, że oprócz F , sumy wszystkich sił zidentyfikowanych w układzie bezwładności, po prawej stronie znajduje się dodatkowy wyraz... Oznacza to, że możemy nadal używać drugiego prawa Newtona w układzie nieinercjalnym pod warunkiem, że zgadzamy się, że w układzie nieinercjalnym musimy dodać dodatkowy wyraz podobny do siły, często nazywany siłą bezwładności .

—  John R. Taylor: Mechanika klasyczna ; str. 328

Siła odśrodkowa

W mechanice , siła odśrodkowa jest siła związana z zewnątrz obrotu . Siła odśrodkowa jest jedną z kilku tzw. pseudosił (zwanych też siłami bezwładności ), nazwanych tak dlatego, że w przeciwieństwie do sił rzeczywistych nie powstają one w oddziaływaniach z innymi ciałami znajdującymi się w otoczeniu cząstki, na którą działają. Zamiast tego siła odśrodkowa powstaje w wyniku obrotu układu odniesienia, w ramach którego dokonywane są obserwacje.

efekt Coriolisa

Rysunek 1: W inercjalnym układzie odniesienia (górna część obrazu) czarny obiekt porusza się w linii prostej. Jednak obserwator (czerwona kropka) stojący w obracającym się układzie odniesienia (dolna część obrazu) widzi obiekt poruszający się po zakrzywionej ścieżce.

Wyrażenie matematyczne dla siły Coriolisa pojawił się w 1835 papieru przez francuskiego naukowca Gaspard-Gustave Coriolisa w związku z hydrodynamiki , a także w pływowych równań z Pierre-Simon Laplace w 1778. Na początku 20 wieku, termin siła Coriolisa zaczął do wykorzystania w powiązaniu z meteorologią .

Być może najczęściej spotykanym obracającym się układem odniesienia jest Ziemia . Poruszające się obiekty na powierzchni Ziemi doświadczają siły Coriolisa i wydają się skręcać w prawo na półkuli północnej i w lewo na półkuli południowej . Ruchy powietrza w atmosferze i wody w oceanie są godnymi uwagi przykładami tego zachowania: wiatry i prądy mają tendencję do płynięcia w prawo, a nie bezpośrednio z obszarów wysokiego ciśnienia do niskiego ciśnienia, jak miałoby to miejsce na nierotującej planecie. tego kierunku na północ od równika i na lewo od tego kierunku na południe od równika. Efekt ten jest odpowiedzialny za rotację dużych cyklonów (patrz efekty Coriolisa w meteorologii ).

Siła Eulera

W mechanice The przyspieszenie Eulera (nazwany Leonhard Eulera ), znany również jako azymutalnym przyspieszenia lub przyspieszenie poprzeczne jest przyspieszenie , które pojawiają się, gdy niejednorodnie obrotowy ramki odniesienia jest stosowana do analizy ruchu i jest zmiana w prędkości kątowej, z oś układu odniesienia . Ten artykuł jest ograniczony do układu odniesienia, który obraca się wokół stałej osi.

Siła Eulera to fikcyjna siła działająca na ciało, która jest powiązana z przyspieszeniem Eulera przez F  =  m a , gdzie a jest przyspieszeniem Eulera, a m masą ciała.

Użyj w rezonansie magnetycznym

Wygodnie jest rozważyć rezonans magnetyczny w ramie, która obraca się z częstotliwością spinów Larmora . Ilustruje to poniższa animacja. Obrotowy fali przybliżenie może być stosowane.

Animacja przedstawiająca obracającą się ramę. Czerwona strzałka to spin w sferze Blocha, który pod wpływem statycznego pola magnetycznego precesuje w kadrze laboratoryjnym. W obracającej się ramie wirowanie pozostaje nieruchome, dopóki oscylujące rezonansowo pole magnetyczne nie wywoła rezonansu magnetycznego.

Zobacz też

Bibliografia

Linki zewnętrzne

  • Klip animacyjny przedstawiający sceny widziane zarówno z ramy bezwładnościowej, jak i z obracającego się układu odniesienia, wizualizujący siły Coriolisa i siły odśrodkowe.