Obrotowa ramka odniesienia - Rotating reference frame
Część serii na |
Mechanika klasyczna |
---|
Obracania ramy odniesienia jest szczególnym przypadkiem bezinercyjnej ramki odniesienia , który jest obracającą się w stosunku do układu inercyjnego odniesienia . Codziennym przykładem obracającego się układu odniesienia jest powierzchnia Ziemi . (Ten artykuł dotyczy tylko ramek obracających się wokół stałej osi. Aby uzyskać bardziej ogólne obroty, zobacz kąty Eulera .)
Fikcyjne siły
Wszystkie nieinercyjne układy odniesienia wykazują fikcyjne siły ; obrotowe ramy odniesienia charakteryzują trzy:
oraz, w przypadku nierównomiernie obracających się ram odniesienia,
Naukowcy w obracającym się pudełku mogą mierzyć prędkość i kierunek swojego obrotu, mierząc te fikcyjne siły. Na przykład Léon Foucault był w stanie pokazać siłę Coriolisa wynikającą z obrotu Ziemi za pomocą wahadła Foucaulta . Gdyby Ziemia obracała się wielokrotnie szybciej, te fikcyjne siły byłyby odczuwalne przez ludzi, tak jak na wirującej karuzeli .
Łączenie ram obrotowych z ramami stacjonarnymi
Poniżej znajduje się wyprowadzenie wzorów na przyspieszenia oraz siły fikcyjne w obracającej się ramie. Rozpoczyna się od relacji między współrzędnymi cząstki w układzie obrotowym a jej współrzędnymi w układzie inercjalnym (stacjonarnym). Następnie, biorąc pochodne czasowe, wyprowadza się wzory, które wiążą prędkość cząstki widzianej w dwóch klatkach i przyspieszenie względem każdej klatki. Wykorzystując te przyspieszenia, fikcyjne siły są identyfikowane przez porównanie drugiego prawa Newtona sformułowanego w dwóch różnych układach.
Relacja między pozycjami w dwóch ramkach
Aby czerpać te siła bezwładności, jest to pomocne, aby móc konwertować między współrzędnymi z obracającym się układzie odniesienia i współrzędnych od An inercyjnym układzie odniesienia z tego samego pochodzenia. Jeżeli obrót odbywa się wokół osi ze stałą prędkością kątową , lub , a dwie ramki odniesienia pokrywają się w czasie , można zapisać transformację ze współrzędnych obrotowych na współrzędne bezwładnościowe
podczas gdy transformacja odwrotna to
Wynik ten można uzyskać z macierzy rotacji .
Wprowadź wektory jednostkowe reprezentujące standardowe wektory bazowe jednostek w ramie obrotowej. Pochodne czasowe tych wektorów jednostkowych znajdują się następnie. Załóżmy, że ramki są wyrównane przy t = 0 i z -osiowy stanowi oś obrotu. Następnie dla obrotu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara o kąt Ωt :
gdzie składowe ( x , y ) są wyrażone w ramie stacjonarnej. Również,
Zatem pochodna po czasie tych wektorów, które obracają się bez zmiany wielkości, wynosi
gdzie . Ten wynik jest taki sam, jak uzyskany przy użyciu iloczynu wektorowego z wektorem obrotu skierowanym wzdłuż osi z obrotu , a mianowicie:
gdzie jest albo lub .
Pochodne czasowe w dwóch ramach
Wprowadź wektory jednostkowe reprezentujące standardowe wektory bazowe jednostek w ramie obrotowej. W miarę rotacji pozostaną znormalizowane. Jeśli pozwolimy im obracać się z prędkością około osi, to każdy wektor jednostkowy wirującego układu współrzędnych jest zgodny z następującym równaniem:
Wtedy jeśli mamy funkcję wektorową ,
i chcemy zbadać jego pierwszą pochodną, którą mamy (korzystając z reguły różniczkowania iloczynu ):
gdzie jest szybkość zmian obserwowanych w wirującym układzie współrzędnych. W skrócie zróżnicowanie wyraża się jako:
Wynik ten jest również znany jako twierdzenie o transporcie w dynamice analitycznej i jest również czasami określany jako podstawowe równanie kinematyczne.
Zależność między prędkościami w dwóch klatkach
Prędkość obiektu jest pochodną czasu pozycji obiektu lub
Pochodna po czasie pozycji w obracającym się układzie odniesienia ma dwie składowe, jedną z wyraźnej zależności od czasu wynikającej z ruchu samej cząstki, a drugą z własnego obrotu ramki. Stosując wynik z poprzedniego podrozdziału do przemieszczenia , prędkości w dwóch układach odniesienia są powiązane równaniem
gdzie indeks dolny i oznacza inercyjny układ odniesienia, a r oznacza obracający się układ odniesienia.
Związek między przyspieszeniami w dwóch klatkach
Przyspieszenie to druga pochodna czasowa pozycji lub pierwsza pochodna czasowa prędkości
gdzie indeks dolny i oznacza inercyjny układ odniesienia, r obracający się układ odniesienia, a wyrażenie w wyrażeniu w nawiasie po lewej stronie należy interpretować jako operator działający na wyrażeniu w nawiasie po prawej stronie.
Przeprowadzenie różniczkowania i ponowne uporządkowanie niektórych wyrażeń daje przyspieszenie względem obracającego się układu odniesienia,
gdzie jest oczywiste przyspieszenia obrotowego układu odniesienia, określenie oznacza odśrodkowej przyspieszenie , a określenie to przyspieszenie Coriolisa . Ostatni wyraz ( ) to przyspieszenie Eulera i wynosi zero w jednostajnie obracających się klatkach.
Drugie prawo Newtona w dwóch układach
Gdy wyrażenie na przyspieszenie mnoży się przez masę cząstki, trzy dodatkowe wyrazy po prawej stronie dają fikcyjne siły w obracającym się układzie odniesienia, czyli siły pozorne, które wynikają z przebywania w nieinercjalnym układzie odniesienia , a nie z jakiejkolwiek fizycznej interakcji między ciałami.
Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona otrzymujemy:
gdzie jest masa obiektu, na który działają te fikcyjne siły . Zauważ, że wszystkie trzy siły znikają, gdy rama się nie obraca, to znaczy, gdy
Dla kompletności, przyspieszenie bezwładności spowodowane wywieranymi siłami zewnętrznymi można wyznaczyć z całkowitej siły fizycznej w układzie bezwładności (nieobrotowym) (na przykład siła z interakcji fizycznych, takich jak siły elektromagnetyczne ) przy użyciu drugiego prawa Newtona w układzie bezwładności:
Prawo Newtona w obracającej się ramie staje się wtedy
Innymi słowy, aby poradzić sobie z prawami ruchu w obracającym się układzie odniesienia:
Traktuj fikcyjne siły jak prawdziwe siły i udawaj, że znajdujesz się w bezwładności.
— Louis N. Hand, Janet D. Finch Mechanika analityczna , s. 267
Oczywiście obracający się układ odniesienia jest przypadkiem układu nieinercjalnego. Zatem na cząstkę oprócz rzeczywistej siły oddziałuje fikcyjna siła... Cząstka porusza się zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, jeśli całkowita siła działająca na nią jest traktowana jako suma rzeczywistych i fikcyjnych sił.
— HS Hans i SP Pui: Mechanika ; str. 341
To równanie ma dokładnie postać drugiego prawa Newtona, z tą różnicą, że oprócz F , sumy wszystkich sił zidentyfikowanych w układzie bezwładności, po prawej stronie znajduje się dodatkowy wyraz... Oznacza to, że możemy nadal używać drugiego prawa Newtona w układzie nieinercjalnym pod warunkiem, że zgadzamy się, że w układzie nieinercjalnym musimy dodać dodatkowy wyraz podobny do siły, często nazywany siłą bezwładności .
— John R. Taylor: Mechanika klasyczna ; str. 328
Siła odśrodkowa
W mechanice , siła odśrodkowa jest siła związana z zewnątrz obrotu . Siła odśrodkowa jest jedną z kilku tzw. pseudosił (zwanych też siłami bezwładności ), nazwanych tak dlatego, że w przeciwieństwie do sił rzeczywistych nie powstają one w oddziaływaniach z innymi ciałami znajdującymi się w otoczeniu cząstki, na którą działają. Zamiast tego siła odśrodkowa powstaje w wyniku obrotu układu odniesienia, w ramach którego dokonywane są obserwacje.
efekt Coriolisa
Wyrażenie matematyczne dla siły Coriolisa pojawił się w 1835 papieru przez francuskiego naukowca Gaspard-Gustave Coriolisa w związku z hydrodynamiki , a także w pływowych równań z Pierre-Simon Laplace w 1778. Na początku 20 wieku, termin siła Coriolisa zaczął do wykorzystania w powiązaniu z meteorologią .
Być może najczęściej spotykanym obracającym się układem odniesienia jest Ziemia . Poruszające się obiekty na powierzchni Ziemi doświadczają siły Coriolisa i wydają się skręcać w prawo na półkuli północnej i w lewo na półkuli południowej . Ruchy powietrza w atmosferze i wody w oceanie są godnymi uwagi przykładami tego zachowania: wiatry i prądy mają tendencję do płynięcia w prawo, a nie bezpośrednio z obszarów wysokiego ciśnienia do niskiego ciśnienia, jak miałoby to miejsce na nierotującej planecie. tego kierunku na północ od równika i na lewo od tego kierunku na południe od równika. Efekt ten jest odpowiedzialny za rotację dużych cyklonów (patrz efekty Coriolisa w meteorologii ).
Siła Eulera
W mechanice The przyspieszenie Eulera (nazwany Leonhard Eulera ), znany również jako azymutalnym przyspieszenia lub przyspieszenie poprzeczne jest przyspieszenie , które pojawiają się, gdy niejednorodnie obrotowy ramki odniesienia jest stosowana do analizy ruchu i jest zmiana w prędkości kątowej, z oś układu odniesienia . Ten artykuł jest ograniczony do układu odniesienia, który obraca się wokół stałej osi.
Siła Eulera to fikcyjna siła działająca na ciało, która jest powiązana z przyspieszeniem Eulera przez F = m a , gdzie a jest przyspieszeniem Eulera, a m masą ciała.
Użyj w rezonansie magnetycznym
Wygodnie jest rozważyć rezonans magnetyczny w ramie, która obraca się z częstotliwością spinów Larmora . Ilustruje to poniższa animacja. Obrotowy fali przybliżenie może być stosowane.
Zobacz też
- Obrót bezwzględny
- Siła odśrodkowa (obracająca się rama odniesienia) Siła odśrodkowa widziana z systemów obracających się wokół stałej osi
- Mechanika ruchu płaskiego cząstki Fikcyjne siły występujące przez cząstkę w ruchu planarnym widziane przez samą cząstkę oraz przez obserwatorów we współobrotowym układzie odniesienia
- Siła Coriolisa Wpływ siły Coriolisa na Ziemię i inne układy wirujące
- Inercyjny układ odniesienia
- Rama nieinercyjna
- Fikcyjna siła Bardziej ogólne potraktowanie tematu tego artykułu
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Klip animacyjny przedstawiający sceny widziane zarówno z ramy bezwładnościowej, jak i z obracającego się układu odniesienia, wizualizujący siły Coriolisa i siły odśrodkowe.