Funkcja Rosenbrocka - Rosenbrock function

Wykres funkcji Rosenbrocka dwóch zmiennych. Tutaj , a minimalna wartość zero to at .

{\ Displaystyle a = 1, b = 100}

{\ displaystyle (1,1)}

W optymalizacji matematycznej The funkcja Rosenbrocka stanowi nie wypukłość funkcji , wprowadzony przez Howard H. ROSENBROCK 1960, który jest wykorzystywany jako błąd testowania wydajności dla optymalizacji algorytmu . Jest również znany jako dolina Rosenbrocka lub funkcja bananowa Rosenbrocka .

Globalne minimum znajduje się w długiej, wąskiej, płaskiej dolinie o parabolicznym kształcie. Znalezienie doliny jest banalne. Jednak zbliżenie się do globalnego minimum jest trudne.

Funkcja jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle f (x, r) = (ax) ^ {2} + b (yx ^ {2}) ^ {2}}$

Ma globalne minimum w , gdzie . Zwykle te parametry są ustawione tak, że i . Tylko w trywialnym przypadku, gdy funkcja jest symetryczna, a minimum jest na początku. ${\ Displaystyle (x, y) = (a, a ^ {2})}$ ${\ Displaystyle f (x, y) = 0}$ ${\ displaystyle a = 1}$ ${\ displaystyle b = 100}$ ${\ displaystyle a = 0}$

Wielowymiarowe uogólnienia

Powszechnie spotyka się dwa warianty.

Animacja funkcji trzech zmiennych Rosenbrocka.

Jeden jest sumą niezwiązanych dwuwymiarowych problemów Rosenbrocka i jest definiowany tylko dla parzystych s: ${\ Displaystyle N / 2}$ ${\ displaystyle N}$

{\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {N}) = \ suma _ {i = 1} ^ {N / 2} \ lewo [ 100 (x_ {2i-1} ^ {2} -x_ {2i}) ^ {2} + (x_ {2i-1} -1) ^ {2} \ right].}

Ten wariant ma przewidywalnie proste rozwiązania.

Drugi, bardziej zaangażowany wariant to

{\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = \ suma _ {i = 1} ^ {N-1} [100 (x_ {i + 1} -x_ {i} ^ {2}) ^ {2} + (1-x_ {i}) ^ {2}] \ quad {\ mbox {gdzie}} \ quad \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {N}) \ in \ mathbb {R } ^ {N}.}

ma dokładnie jedno minimum dla (at ) i dokładnie dwie minima dla - globalne minimum wszystkich i lokalne minimum blisko . Wynik ten uzyskuje się ustawiając gradient funkcji na zero, zauważając, że otrzymane równanie jest funkcją wymierną . Dla małych wielomiany można dokładnie określić, a twierdzenie Sturma można wykorzystać do określenia liczby rzeczywistych pierwiastków, podczas gdy pierwiastki mogą być ograniczone w obszarze . W przypadku większych ta metoda załamuje się ze względu na wielkość zaangażowanych współczynników. ${\ Displaystyle N = 3}$ ${\ displaystyle (1, 1; 1)}$ ${\ Displaystyle 4 \ równoważnik N \ równoważnik 7}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}} = (- 1,1, \ kropki, 1)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle | x_ {i} | <2.4}$ ${\ displaystyle N}$

Punkty stacjonarne

Wiele stacjonarnych punktów funkcji wykazuje na wykresie regularny wzór. Ta struktura może zostać wykorzystana do ich zlokalizowania.

Korzenie Rosenbrocka ze strukturami garbowymi

Przykłady optymalizacji

Metoda Neldera-Meada zastosowana do funkcji Rosenbrocka

Funkcję Rosenbrocka można efektywnie zoptymalizować, dostosowując odpowiedni układ współrzędnych bez użycia informacji o gradiencie i bez tworzenia lokalnych modeli aproksymacyjnych (w przeciwieństwie do wielu optymalizatorów bez derywatów). Poniższy rysunek ilustruje przykład dwuwymiarowej optymalizacji funkcji Rosenbrocka poprzez adaptacyjne zejście współrzędnych od punktu początkowego . Rozwiązanie z wartością funkcji można znaleźć po 325 ocenach funkcji. ${\ Displaystyle x_ {0} = (- 3, -4)}$ ${\ displaystyle 10 ^ {- 10}}$

Korzystając z metody Neldera – Meada od punktu początkowego z regularnym początkowym simplexem, po 185 ocenach funkcji znajduje się minimum z wartością funkcji. Poniższy rysunek przedstawia ewolucję algorytmu. ${\ Displaystyle x_ {0} = (- 1,1)}$ ${\ Displaystyle 1,36 \ cdot 10 ^ {- 10}}$