Kąt prosty - Right angle

Kąt prosty to 90 stopni.
Odcinek linii (AB) narysowany w taki sposób, aby tworzył kąt prosty z linią (CD).

W geometrii i trygonometrii , o kąt prosty jest kąt o dokładnie 90 stopni lub p / 2 radianów odpowiadających ćwierć obrotu . Jeśli promień jest umieszczony w taki sposób, że jego punkt końcowy znajduje się na linii, a sąsiednie kąty są równe, to są to kąty proste. Określenie to kalka z łacińskiego angulus rectus ; tutaj rectus oznacza „pionowo”, odnosząc się do pionowej prostopadłej do poziomej linii bazowej.

Ściśle powiązane i ważne pojęcia geometryczne to prostopadłe linie, czyli linie tworzące kąty proste w punkcie przecięcia, oraz prostopadłość , która jest właściwością tworzenia kątów prostych, zwykle stosowaną do wektorów . Obecność kąta prostego w trójkącie jest czynnikiem definiującym trójkąty prostokątne , czyniąc kąt prosty podstawowym dla trygonometrii.

Etymologia

Znaczenie „prawo” w „kąt prostym” prawdopodobnie odnosi się do łacińskiego przymiotnika rectus , który można przetłumaczyć na wyprostowany, prosty, prostopadły lub prostopadły. Grecki równoważnika orthos , który oznacza prosty lub prostopadle (patrz ortogonalności ).

W elementarnej geometrii

Prostokąt jest czworoboku z czterema kątami prostymi. Kwadrat ma cztery kąty proste, oprócz równa długości boków.

Pitagorasa stwierdza, jak ustalić, kiedy trójkąt jest trójkątem prostokątnym .

Symbolika

Trójkąt prostokątny, z kątem prostym pokazanym za pomocą małego kwadratu.
Inna opcja schematycznie oznaczania kąta prostego za pomocą krzywej kąta i małej kropki.

W Unicode symbolem kąta prostego jest U+221F RIGHT ANGLE (HTML  ∟ · ∟ ). Nie należy go mylić z podobnie ukształtowanym symbolem U+231E DOLNY LEWY Róg (HTML  ⌞ · ⌞, ⌞ ). Powiązane symbole to U+22BE KĄT PROSTY Z ŁUKEM (HTML  ⊾ · ⊾ ), U+299C ⦜ ODMIANA KĄTA PROSTEGO Z KWADRATEM (HTML  ⦜ · ⦜ ) oraz U+299D ZMIERZONY KĄT PROSTY Z KROPKĄ (HTML  ⦝ · ⦝ ).

Na diagramach fakt, że kąt jest kątem prostym jest zwykle wyrażany przez dodanie małego kąta prostego, który tworzy kwadrat z kątem na diagramie, jak widać na diagramie trójkąta prostokątnego (w brytyjskim angielskim, trójkąt) w prawo. Symbol mierzonego kąta, łuku z kropką, jest używany w niektórych krajach europejskich, w tym w krajach niemieckojęzycznych i Polsce, jako alternatywny symbol kąta prostego.

Euklides

Kąty proste są fundamentalne w Elementach Euklidesa . Są one zdefiniowane w księdze 1, definicja 10, która również definiuje proste prostopadłe. Definicja 10 nie wykorzystuje liczbowych pomiarów stopni, ale raczej dotyka samego sedna tego, czym jest kąt prosty, a mianowicie dwóch prostych linii przecinających się w celu utworzenia dwóch równych i sąsiadujących ze sobą kątów. Linie proste tworzące kąty proste nazywamy prostopadłymi. Euclid używa kątów prostych w definicjach 11 i 12, aby zdefiniować kąty ostre (mniejsze niż kąt prosty) i kąty rozwarte (większe niż kąt prosty). Dwa kąty nazywamy komplementarnymi, jeśli ich suma jest kątem prostym.

Księga 1 Postulat 4 stwierdza, że ​​wszystkie kąty proste są równe, co pozwala Euklidesowi używać kąta prostego jako jednostki do mierzenia innych kątów. Komentator Euklidesa, Proclus, przedstawił dowód tego postulatu, wykorzystując poprzednie postulaty, ale można argumentować, że dowód ten wykorzystuje pewne ukryte założenia. Saccheri również dał dowód, ale posługując się bardziej jednoznacznym założeniem. W Hilbert „s aksjomatyzacji geometrii to stwierdzenie jest podana jako twierdzenie, ale dopiero po wielu ziemnych. Można argumentować, że nawet jeśli postulat 4 można udowodnić z poprzednich, to w kolejności, w jakiej Euklides przedstawia swój materiał, należy go uwzględnić, ponieważ bez niego postulat 5, który posługuje się kątem prostym jako jednostką miary, nie czyni żadnego sens.

Konwersja na inne jednostki

Kąt prosty może być wyrażony w różnych jednostkach:

  • 1/4 zakręt
  • 90° ( stopnie )
  • π/2 radiany lubτ/4 rad
  • 100 grad (zwany również stopień , gradian lub gon )
  • 8 punktów (z 32-punktowej róży kompasowej )
  • 6 godzin (astronomiczny kąt godzinny )

Zasada 3-4-5

Na przestrzeni dziejów stolarze i murarze znali szybki sposób na potwierdzenie, czy dany kąt jest prawdziwym „kątem prostym”. Opiera się na najbardziej znanej trójce pitagorejskiej (3, 4, 5) i tak zwanej „zasadzie 3-4-5”. Pod kątem, o którym mowa, poprowadzenie linii prostej wzdłuż jednego boku dokładnie 3 jednostki długości, a wzdłuż drugiego boku dokładnie 4 jednostki, utworzy przeciwprostokątną (dłuższa linia przeciwna do kąta prostego, która łączy dwa zmierzone punkty końcowe) dokładnie 5 jednostek długości. Pomiar ten można wykonać szybko i bez przyrządów technicznych. Prawo geometryczne stojące za pomiarem to twierdzenie Pitagorasa („kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów dwóch sąsiednich boków”).

Twierdzenie Talesa

Konstrukcja prostopadłej do półprostej h od punktu P (dotyczy nie tylko punktu końcowego A, M do wyboru), animacja na końcu z przerwą 10 s
Alternatywna konstrukcja, jeśli P poza półprostą h i odległość A do P' jest mała (B jest dowolnie wybierana),
animacja na końcu z przerwą 10 s

Twierdzenie Thalesa mówi, że kąt wpisany w półokręgu (z wierzchołkiem na półokręgu i promieniami definiującymi przechodzącymi przez końce półokręgu) jest kątem prostym.

Dwa przykłady zastosowań, w których uwzględniono kąt prosty i twierdzenie Thalesa (patrz animacje).

Zobacz też

Bibliografia