loksodrom - Rhumb line

W nawigacji , a loksodromie , rumb ( / r ʌ m / ) lub loxodrome jest łukowe przejście wszystkich południków o długości w tym samym kątem , to znaczy ścieżka o stałym łożysku , mierzonego w stosunku do północy rzeczywistej .

Wstęp

Efekt poruszania się po linii loksodromy na powierzchni globu został po raz pierwszy omówiony przez portugalskiego matematyka Pedro Nunesa w 1537 r. w swoim Traktacie w obronie mapy morskiej , z dalszym rozwojem matematycznym przez Thomasa Harriota w latach dziewięćdziesiątych XVI wieku.

Lokodromę można skontrastować z wielkim okręgiem , który jest ścieżką o najkrótszej odległości między dwoma punktami na powierzchni kuli. Na wielkim okręgu namiar na punkt docelowy nie jest stały. Gdyby jechać samochodem po wielkim okręgu, należałoby trzymać kierownicę nieruchomą, ale aby podążać za lokodromą, należałoby kręcić kierownicą, obracając ją mocniej w miarę zbliżania się do słupów. Innymi słowy, wielki okrąg jest lokalnie „prosty” z zerową krzywizną geodezyjną , podczas gdy loksodroma ma niezerową krzywiznę geodezyjną.

Południki długości i równoleżniki są szczególnymi przypadkami loksodromy, gdzie ich kąty przecięcia wynoszą odpowiednio 0° i 90°. Na przejściu północ-południe przebieg loksodromy pokrywa się z dużym okręgiem, podobnie jak w przejściu wschód-zachód wzdłuż równika .

Na mapie odwzorowania Mercator każda loksodroma jest linią prostą; na takiej mapie można narysować loksodromę między dowolnymi dwoma punktami na Ziemi bez odchodzenia od krawędzi mapy. Ale teoretycznie lokodrom może rozciągać się poza prawą krawędź mapy, gdzie następnie kontynuuje lewą krawędź z tym samym nachyleniem (przy założeniu, że mapa obejmuje dokładnie 360 ​​stopni długości geograficznej).

Linie loksodromowe, które przecinają południki pod skosem, to krzywe loksodromiczne, które skręcają się w kierunku biegunów. W rzucie Mercator bieguny północny i południowy występują w nieskończoności i dlatego nigdy nie są pokazywane. Jednak pełny loksodrom na nieskończenie wysokiej mapie składałby się z nieskończenie wielu odcinków linii między dwoma krawędziami. Na stereograficznej mapie projekcji loksodrom jest równokątną spiralą, której środek stanowi biegun północny lub południowy.

Wszystkie lokodromy skręcają się od jednego bieguna do drugiego. W pobliżu biegunów są one bliskie spirali logarytmicznych (które są dokładnie na rzucie stereograficznym , patrz poniżej), więc owijają się wokół każdego bieguna nieskończoną liczbę razy, ale docierają do bieguna w skończonej odległości. Długość loxodromu między biegunami (przy założeniu idealnej sfery ) to długość południka podzielona przez cosinus namiaru od prawdziwej północy. Loksodromy nie są zdefiniowane na biegunach.

• Trzy widoki lokodromu „słup-słup”
• 
• 
• 

Etymologia i opis historyczny

Słowo loxodrome pochodzi od starożytnego greckiego λοξός loxós : „ukośny” + δρόμος drómos : „biegający” (od δραμεῖν drameîn : „biegać”). Słowo rumb może pochodzić z hiszpańskiego lub portugalskiego rumbo/rumo („kurs” lub „kierunek”) i greckiego ῥόμβος rhómbos , od rhémbein .

Wydanie The Globe Encyclopaedia of Universal Information z 1878 roku opisuje linię lokodromu jako:

Linia Loksodromiczna to krzywa przecinająca każdy element układu linii krzywizny danej powierzchni pod tym samym kątem. Statek płynący w kierunku tego samego punktu kompasu opisuje taką linię, która przecina wszystkie południki pod tym samym kątem. W Projekcie Mercatora (qv) linie loksodromiczne są wyraźnie proste.

Mogło powstać nieporozumienie, ponieważ termin „rumb” nie miał dokładnego znaczenia w momencie jego użycia. Odnosiło się to równie dobrze do linii róż wiatrów, jak do lokodromów, ponieważ termin ten dotyczył tylko „lokalnie” i oznaczał tylko to, co robił żeglarz, aby żeglować ze stałym namiarem , z całą niedokładnością, która się z tym wiąże. Dlatego „rumb” miał zastosowanie do linii prostych na portolanach, gdy były używane portolany, a także zawsze miał zastosowanie do linii prostych na mapach Mercator. Na krótkich dystansach portolanowe „rumby” nie różnią się znacząco od rumbów Mercatora, ale w dzisiejszych czasach „rumb” jest synonimem matematycznie precyzyjnego „loksodromu”, ponieważ z perspektywy czasu stał się synonimem.

Jak stwierdza Leo Bagrow: „...słowo ('Romblina') jest błędnie stosowane na mapach morskich z tego okresu, ponieważ lokodrom podaje dokładny kurs tylko wtedy, gdy mapa jest narysowana na odpowiedniej projekcji. Badania kartometryczne wykazały, że na wczesnych wykresach nie stosowano żadnej projekcji, dla której zachowujemy nazwę „portolan”.

Opis matematyczny

Dla kuli o promieniu 1 kąt azymutalny λ , kąt biegunowy − π/2≤ cp ≤π/2(zdefiniowane tutaj jako odpowiadające szerokości geograficznej), a kartezjańskie wektory jednostkowe i , j i k mogą być użyte do zapisania wektora promienia r jako

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (\ lambda, \ varphi ) = (\ cos {\ lambda} \ cdot \ cos {\ varphi}) \ mathbf {i} + (\ sin {\ lambda} \ cdot \ cos { \varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.}$

Można zapisać ortogonalne wektory jednostkowe w kierunkach azymutalnym i biegunowym kuli

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ pogrubiony symbol {\ kapelusz {\ lambda}}} (\ lambda, \ varphi ) i = \ s {\ varphi }{\ frac {\ częściowy \ mathbf {r} }{\ częściowa \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\ varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\częściowy \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi }) \mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{wyrównane} }}$

które mają produkty skalarne?

${\displaystyle {\boldsymbol {\kapelusz {\lambda}}}\cdot {\boldsymbol {\kapelusz {\varphi}}}={\boldsymbol {\kapelusz {\lambda}}}\cdot \mathbf {r} = {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.}$

λ̂ dla stałej φ wyznacza równoleżnik szerokości geograficznej, podczas gdy φ̂ dla stałej λ wyznacza południk długości geograficznej i razem tworzą płaszczyznę styczną do kuli.

Wektor jednostkowy

${\displaystyle \mathbf {\boldsymbol {\kapelusz {\beta}}} (\lambda,\varphi)=(\sin {\beta}){\boldsymbol {\kapelusz {\lambda}}}+(\cos { \beta }) {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

ma stały kąt β z wersorem φ̂ dla dowolnych λ i φ , ponieważ ich iloczyn skalarny to

${\displaystyle {\boldsymbol {\kapelusz {\beta}}}\cdot {\boldsymbol {\kapelusz {\varphi}}}=\cos {\beta}\,.}$

Loksodrom definiuje się jako krzywą na sferze, która ma stały kąt β ze wszystkimi południkami długości geograficznej i dlatego musi być równoległa do wersora β̂ . W rezultacie różnica długości ds wzdłuż lokodromu spowoduje różnicowe przemieszczenie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} d \ mathbf {r} & = {\ pogrubiony symbol {\ kapelusz {\ beta}}} \, ds \ \ [8px] {\ frac {\ częściowy \ mathbf {r}} { \partial \lambda }}\,d\lambda +{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\,d\varphi &=((\sin {\beta })\,{ \boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}})ds\\[8px](\cos {\varphi })\ ,d\lambda \,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+d\varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}&=(\sin {\beta })\,ds\ ,{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta })\,ds\,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\\[8px]ds&={\frac { \cos {\varphi }}{\sin {\beta }}}\,d\lambda ={\frac {d\varphi }{\cos {\beta }}}\\[8px]{\frac {d\ lambda }{d\varphi }}&=\tan {\beta }\cdot \sec {\varphi }\\[8px]\lambda (\varphi \,|\,\beta ,\lambda _{0},\ varphi _{0})&=\tan \beta \cdot {\big (}\operator {artanh} (\sin \varphi )-\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big ) }+\lambda _{0}\\[8px]\varphi (\lambda \,|\,\beta ,\lambda _{0},\varphi _{0})&=\arcsin {\Big (}\ tanh {\duży (}(\lambda -\lamb da _{0})\cot \beta +\operatorname {artanh} (\sin \varphi _{0}){\big )}{\Big )}\end{aligned}}}$

Przy tej relacji między λ i φ wektor promienia staje się funkcją parametryczną jednej zmiennej, śledzącej lokodrom na sferze:

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (\ lambda \, | \, \ beta, \ lambda _ {0}, \ varphi _ {0}) = {\ duży (} \ cos {\ lambda} \ cdot \ nazwa operatora { sech} \psi {\Big )}\mathbf {i} +{\Big (}\sin {\lambda }\cdot \operatorname {sech} \psi {\Big )}\mathbf {j} +{\Big ( }\tanh \psi {\duży )}\mathbf {k} \,,}$

gdzie

${\ Displaystyle \ psi \ równoważny (\ lambda - \ lambda _ {0}) \ łóżeczko \ beta + \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi _ {0}) = \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi ) }$

to szerokość geograficzna izometryczna . Szerokości geocentryczne i izometryczne są powiązane ze sobą funkcją Gudermanna ,

${\ Displaystyle \ varphi = \ nazwa operatora {gd} (\ psi) \,.}$

Na linii loksodromy, gdy szerokość geocentryczna zmierza do biegunów, φ → ±π/2, sin φ → ±1 , szerokość geograficzna izometryczna artanh(sin φ ) → ± ∞ , a długość λ rośnie bez ograniczeń, okrążając kulę bardzo szybko po spirali w kierunku bieguna, jednocześnie dążąc do skończonej całkowitej długości łuku Δ s dane za pomocą

${\ Displaystyle \ Delta s = {\ duży |} (\ pm \ pi /2- \ varphi _ {0}) \ cdot \ s \ beta {\ duży |}}$

Połączenie z projekcją Mercator

Niech λ będzie długością geograficzną punktu na kuli, a φ jego szerokością geograficzną. Następnie, jeśli zdefiniujemy współrzędne mapy odwzorowania Mercatora jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x & = \ lambda - \ lambda _ {0}\ \ \ y& = \ operatorname {artanh} (\ sin \ varphi) \ \ \ koniec {wyrównany}}}$

loxodrome ze stałym łożyskowej P z północy rzeczywistej będzie prostą, ponieważ (stosując ekspresji w poprzednim rozdziale)

${\displaystyle y=mx}$

ze spadkiem

${\ Displaystyle m = \ łóżeczko \ beta \,.}$

Znalezienie lokodromów pomiędzy dwoma danymi punktami można wykonać graficznie na mapie Mercator lub rozwiązując nieliniowy układ dwóch równań w dwóch niewiadomych m = cot β i λ ₀ . Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań; najkrótszy to taki, który pokrywa rzeczywistą różnicę długości, tzn. nie wykonuje dodatkowych obrotów i nie jedzie "w złym kierunku".

Odległość między dwoma punktami Δ s , mierzona wzdłuż lokodromu, jest po prostu bezwzględną wartością siecznej namiaru (azymutu) razy odległość północ-południe (z wyjątkiem kręgów szerokości geograficznej, dla których odległość staje się nieskończona):

${\ Displaystyle \ Delta s = R \ {\ duży |} (\ varphi - \ varphi _ {0}) \ cdot \ s \ beta {\ duży |}}$

gdzie R jest jednym ze średnich promieni ziemskich .

Podanie

Jego zastosowanie w nawigacji jest bezpośrednio związane ze stylem lub odwzorowaniem niektórych map nawigacyjnych. Lokodroma pojawia się jako linia prosta na mapie odwzorowania Mercatora .

Nazwa wywodzi się odpowiednio ze starofrancuskiego lub hiszpańskiego: „rumb” lub „rumbo”, linia na wykresie, która przecina wszystkie południki pod tym samym kątem. Na płaskiej powierzchni byłaby to najkrótsza odległość między dwoma punktami. Nad powierzchnią Ziemi na małych szerokościach geograficznych lub na krótkich dystansach może być używany do wyznaczania kursu pojazdu, samolotu lub statku. Na większych odległościach i/lub na wyższych szerokościach trasa po ortodromie jest znacznie krótsza niż loksodroma pomiędzy tymi samymi dwoma punktami. Jednak niedogodności związane z koniecznością ciągłej zmiany namiarów podczas podróży po dużym okręgu sprawiają, że nawigacja po linii loksodromy w niektórych przypadkach jest atrakcyjna.

Punkt można zilustrować przejściem wschód-zachód na długości 90 stopni wzdłuż równika , dla którego odległości wielkiego okręgu i loksodromy są takie same przy 5400 milach morskich (10 000 km). Na 20 stopniach na północ odległość wielkiego koła wynosi 4997 mil (8042 km), a odległość loksodromy wynosi 5074 mil (8166 km), około 1+1 ⁄ 2 procent dalej. Ale na 60 stopniach na północ odległość wielkiego koła wynosi 2485 mil (3999 km), podczas gdy loksodroma wynosi 2700 mil (4300 km), różnica 8+1 / 2 procent. Bardziej ekstremalnym przypadkiem jest trasa lotnicza między Nowym Jorkiem a Hongkongiem , dla której trasa loksodromy wynosi 9700 mil morskich (18000 km). Trasa po wielkim okręgu nad biegunem północnym wynosi 7000 mil morskich (13 000 km), czyli 5+1 / 2 się godziny Czas lotu na typowej prędkości przelotowej .

Niektóre stare mapy w rzucie Mercator mają siatki składające się z linii szerokości i długości geograficznej, ale pokazują również loksodromy zorientowane bezpośrednio na północ, pod kątem prostym od północy lub pod pewnym kątem od północy, który jest jakimś prostym wymiernym ułamkiem pod kątem prostym. Te loksodromy zostały narysowane tak, aby zbiegały się w pewnych punktach mapy: linie biegnące w każdym kierunku zbiegałyby się w każdym z tych punktów. Zobacz różę wiatrów . Takie mapy z konieczności byłyby w rzucie Mercatora, dlatego nie wszystkie stare mapy byłyby w stanie pokazać oznaczenia loksodromy.

Linie promieniste na róży kompasowej są również nazywane lokomotywami . Wyrażenie „płynięcie na rumbie” było używane w XVI-XIX wieku w celu wskazania konkretnego kierunku kompasu.

Pierwsi nawigatorzy w czasach przed wynalezieniem chronometru morskiego używali kursów loksodromy na długich przejściach oceanicznych, ponieważ szerokość geograficzną statku można było dokładnie ustalić na podstawie obserwacji Słońca lub gwiazd, ale nie było dokładnego sposobu określenia długości geograficznej. Statek płynąłby na północ lub południe, aż do osiągnięcia szerokości geograficznej docelowej, a następnie płynąłby na wschód lub zachód wzdłuż loksodromy (właściwie równoleżnika , co jest szczególnym przypadkiem loksodromy), utrzymując stałą szerokość geograficzną i rejestrowanie regularnych szacunków odległości przepłyniętej do momentu zauważenia śladów lądu.

Uogólnienia

Na sferze Riemanna

Powierzchnię Ziemi można matematycznie rozumieć jako kulę Riemanna , czyli rzut kuli na płaszczyznę zespoloną . W tym przypadku lokodromy można rozumieć jako pewne klasy transformacji Möbiusa .

Sferoida

Powyższy preparat można łatwo rozciągnąć do sferoidy . Przebieg loksodromy wyznacza się jedynie za pomocą elipsoidalnej szerokości geograficznej . Podobnie odległości wyznacza się mnożąc długość łuku południka elipsoidalnego przez sieczną azymutu.

Zobacz też

• Wielki krąg
• Geodezja na elipsoidzie
• Wielka elipsa
• Izoazymutalny
• Sieć rangowa
• Spirala Seiffert
• Małe kółko

Bibliografia

Uwaga: ten artykuł zawiera tekst z wydania The Globe Encyclopaedia of Universal Information z 1878 r. , dzieła znajdującego się w domenie publicznej

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki

• Stałe nagłówki i lokodromy w MathPages.
• RhumbSolve(1) , narzędzie do obliczeń elipsoidalnej loksodromy (składnik GeographicLib ); dokumentacja uzupełniająca .
• Wersja online RhumbSolve .
• Referat dotyczący algorytmów nawigacyjnych : The Sailings.
• Praca z mapami - algorytmy nawigacyjne Praca z mapami Darmowe oprogramowanie: loksodrom, wielkie koło, żeglarstwo kompozytowe, części południkowe. Linie pozycji Piloting - prądy i fiksacja brzegowa.
• Loksodrom Mathworld.