Grupa Lorentza - Lorentz group

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

W fizyki i matematyki The grupa Lorentza jest grupa wszystkich przemian Lorentza z Minkowskiego czasoprzestrzeni , w klasycznej i kwantowej ustawień dla wszystkich (nie grawitacyjnego) zjawisk fizycznych . Nazwa grupy Lorentz pochodzi od holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza .

Na przykład następujące prawa, równania i teorie uwzględniają symetrię Lorentza:

• W kinematyczne ustawy o szczególnej teorii względności
• Równania pola Maxwella w teorii elektromagnetyzmu
• Równanie Diraca w teorii elektronu
• Standardowy model fizyki cząstki

Grupa Lorentza wyraża fundamentalną symetrię przestrzeni i czasu wszystkich znanych podstawowych praw natury . W fizyce ogólnej teorii względności , w przypadkach obejmujących wystarczająco małe obszary czasoprzestrzeni, gdzie wariancje grawitacyjne są pomijalne, prawa fizyczne są niezmiennikami Lorentza w taki sam sposób, jak w fizyce szczególnej teorii względności.

Podstawowe właściwości

Grupa Lorentza jest podgrupą z grupy Poincaré grupy -W wszystkich izometrycznych z Minkowskiego czasoprzestrzeni . Transformacje Lorentza są dokładnie izometriami, które pozostawiają ustalony początek. Tak więc, grupa Lorentza jest izotropowość podgrupy z grupy izometrii Minkowskiego czasoprzestrzeni. Z tego powodu grupa Lorentza jest czasami nazywana jednorodną grupą Lorentza, podczas gdy grupa Poincaré jest czasami nazywana niejednorodną grupą Lorentza . Transformacje Lorentza są przykładami transformacji liniowych ; ogólne izometrie czasoprzestrzeni Minkowskiego są transformacjami afinicznymi . Matematycznie grupę Lorentza można opisać jako nieokreśloną grupę ortogonalną O(1,3), grupę macierzową Liego, która zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle (t, x, y, z) \ mapsto t ^ {2}-x ^ {2}-y ^ {2}-z ^ {2}}$

na R ⁴ . Ta kwadratowa forma jest, po umieszczeniu formy macierzowej (patrz klasyczna grupa ortogonalna ), interpretowana w fizyce jako tensor metryczny czasoprzestrzeni Minkowskiego.

Grupa Lorentza jest sześcio- wymiarowa niezagęszczonymi non-abelowa grupa prawdziwy Lie , który nie jest podłączony . Cztery połączone komponenty nie są po prostu połączone . Składnik tożsamości (tj. składnik zawierający element tożsamości) grupy Lorentza sam jest grupą i jest często nazywany ograniczoną grupą Lorentza i jest oznaczony jako SO ⁺ (1,3). Ograniczona grupa Lorentza składa się z tych transformacji Lorentza, które zachowują orientację przestrzeni i kierunek czasu. Jej grupa podstawowa ma rząd 2, a jej pokrycie uniwersalne, nieoznaczona grupa spinowa Spin(1,3), jest izomorficzna zarówno ze specjalną grupą liniową SL(2, C ) jak i grupą symplektyczną Sp(2, C ). Te izomorfizmy pozwalają grupie Lorentza działać na wielu strukturach matematycznych ważnych dla fizyki, w szczególności na spinorach . Tak więc w relatywistycznej mechanice kwantowej i kwantowej teorii pola bardzo często SL(2, C ) nazywamy grupą Lorentza, przy założeniu, że SO ⁺ (1,3) jest jej specyficzną reprezentacją (reprezentacją wektorową). . W biquaternions , popularne w geometrycznym Algebra są również izomorficzna SL (2 C ).

Ograniczona grupa Lorentza powstaje również jako grupa symetrii punktowej pewnego równania różniczkowego zwyczajnego .

Połączone komponenty

Ponieważ jest to grupa Liego , grupa Lorentza O(1,3) jest zarówno grupą, jak i dopuszcza opis topologiczny jako gładką rozmaitość . Jako kolektor ma cztery połączone elementy. Intuicyjnie oznacza to, że składa się z czterech topologicznie oddzielonych części.

Cztery połączone komponenty można skategoryzować według dwóch właściwości transformacji, które posiadają jego elementy:

• Niektóre elementy są odwracane w ramach odwracających w czasie przekształceń Lorentza, na przykład wektor wskazujący na przyszłość przypominający czas zostałby odwrócony do wektora wskazującego na przeszłość
• Niektóre elementy mają orientację odwróconą przez niewłaściwe przekształcenia Lorentza , na przykład pewne vierbein ( tetrady )

Transformacje Lorentza, które zachowują kierunek czasu, nazywane są ortochroniczny . Podgrupa przekształceń ortochronicznych jest często oznaczana jako O⁺(1,3). Te, które zachowują orientację, nazywamywłaściwymii jako przekształcenia liniowe mają wyznacznik +1. (Niewłaściwe transformacje Lorentza mają wyznacznik -1.) Podgrupa prawidłowych transformacji Lorentza jest oznaczona SO(1,3).

Podgrupa wszystkich przekształceń Lorentza zachowujących zarówno orientację, jak i kierunek czasu nazywana jest właściwą, ortochroniczną grupą Lorentza lub ograniczoną grupą Lorentza i jest oznaczona przez SO ⁺ (1, 3). (Zauważ, że niektórzy autorzy odnoszą się do SO(1,3) lub nawet O(1,3), kiedy faktycznie mają na myśli SO ⁺ (1,3).)

Zbiorowi czterech połączonych składowych można nadać strukturę grupową jako grupę ilorazową O(1,3)/SO ⁺ (1,3), która jest izomorficzna z czterogrupą Kleina . Każdy element w O(1,3) można zapisać jako półbezpośredni iloczyn właściwej transformacji ortochronicznej i element grupy dyskretnej

{1, P , T , PT }

gdzie P i T są operatorami parzystości i odwrócenia czasu :

P = diag(1, -1, -1, -1)

T = diag(-1, 1, 1, 1).

Zatem dowolna transformacja Lorentza może być określona jako właściwa, ortochroniczna transformacja Lorentza wraz z kolejnymi dwoma bitami informacji, które wybierają jeden z czterech połączonych komponentów. Ten wzór jest typowy dla skończenie wymiarowych grup Liego.

Ograniczona grupa Lorentza

Ograniczona grupa Lorentza jest składnikiem tożsamości grupy Lorentza, co oznacza, że ​​składa się ze wszystkich przekształceń Lorentza, które mogą być połączone z tożsamością przez ciągłą krzywą leżącą w grupie. Ograniczona grupa Lorentza jest połączoną normalną podgrupą pełnej grupy Lorentza o tym samym wymiarze, w tym przypadku o wymiarze szóstym.

Ograniczona grupa Lorentza jest generowana przez zwykłe rotacje przestrzenne i wzmocnienia Lorentza (które są rotacjami w przestrzeni hiperbolicznej, która zawiera kierunek podobny do czasu). Ponieważ każda właściwa, ortochroniczna transformacja Lorentza może być zapisana jako iloczyn rotacji (określonej przez 3 parametry rzeczywiste ) i wzmocnienia (określonego również przez 3 parametry rzeczywiste), potrzeba 6 parametrów rzeczywistych, aby określić dowolną prawidłową ortochroniczną transformację Lorentza. Jest to jeden ze sposobów zrozumienia, dlaczego ograniczona grupa Lorentza jest sześciowymiarowa. (Zobacz także algebra Liego grupy Lorentza .)

Zbiór wszystkich rotacji tworzy podgrupę Liego izomorficzną ze zwykłą grupą rotacyjną SO(3) . Zbiór wszystkich wzmocnień nie tworzy jednak podgrupy, ponieważ złożenie dwóch wzmocnień na ogół nie skutkuje kolejnym wzmocnieniem. (Para niewspółliniowych wzmocnień jest raczej odpowiednikiem wzmocnienia i obrotu, a to odnosi się do obrotu Thomasa .) Wzmocnienie w pewnym kierunku lub obrót wokół jakiejś osi generuje podgrupę jednoparametrową .

Powierzchnie przechodniości

Jeśli grupa G działa na przestrzeni V , wtedy powierzchnia S ⊂ V jest powierzchnią przechodniości, jeśli S jest niezmiennicze względem G , tj. ∀ g ∈ G , ∀ s ∈ S : gs ∈ S i dla dowolnych dwóch punktów s ₁ , s ₂ ∈ S istnieje g ∈ G takie , że gs ₁ = s ₂ . Z definicji grupy Lorentza zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle Q (x) = x_ {0}^ {2}-x_ {1} {2}-x_ {2} ^ {2}-x_ {3} ^ {2}.}$

Powierzchnie przechodniości ortochronicznej grupy Lorentza O ⁺ (1, 3) , Q ( x ) = const. czasoprzestrzeni są następujące:

• Q ( x ) > 0, x ₀ > 0 to górna gałąź hiperboloidy dwóch arkuszy. Punkty na tym arkuszu są oddzielone od początkuwektorem podobnym do przyszłego czasu .
• Q ( x ) > 0, x ₀ < 0 to dolna gałąź tego hiperboloidu. Punkty na tym arkuszu sąwektorami podobnymi do czasu przeszłego.
• Q ( x ) = 0, x ₀ > 0 to górna gałąź stożka światła , przyszłego stożka światła.
• Q ( x ) = 0, x ₀ < 0 to dolna gałąź stożka światła, przeszły stożek światła.
• Q ( x ) < 0 jest hiperboloidą jednego arkusza. Punkty na tym arkuszu sąoddzielone spacją od początku.
• Pochodzenie x ₀ = x ₁ = x ₂ = x ₃ = 0 .

Powierzchnie te są 3 wymiarową , aby obrazy nie są wierne, ale są wierny w odniesieniu do odpowiednich okoliczności o O ⁺ (1, 2) . Dla pełnej grupy Lorentza powierzchnie przechodniości wynoszą tylko cztery, ponieważ transformacja T przenosi górną gałąź hiperboloidy (stożek) do dolnej i odwrotnie.

Obserwacje te stanowią dobry punkt wyjścia do znalezienia wszystkich nieskończeniewymiarowych unitarnych reprezentacji grupy Lorentza, w rzeczywistości grupy Poincaré, przy użyciu metody reprezentacji indukowanych . Jeden zaczyna się od „wektora standardowego”, po jednym dla każdej powierzchni przechodniości, a następnie pyta się, która podgrupa zachowuje te wektory. Te podgrupy nazywane są przez fizyków małymi grupami . Problem sprowadza się wówczas zasadniczo do łatwiejszego problemu znajdowania reprezentacji małych grup. Na przykład, standardowy wektor w jednej z hiperboli dwóch arkuszy może być odpowiednio wybrany jako ( m , 0, 0, 0) . Dla każdego m ≠ 0 wektor przebija dokładnie jeden arkusz. W tym przypadku małą grupą jest SO(3) , grupa rotacyjna , której wszystkie reprezentacje są znane. Dokładna, nieskończenie wymiarowa, jednolita reprezentacja, według której przekształca się cząstka, jest częścią jej klasyfikacji. Nie wszystkie reprezentacje mogą odpowiadać cząsteczkom fizycznym (o ile wiadomo). Standardowe wektory na hiperbolach jednowarstwowych odpowiadałyby tachionom . Cząstki na stożku świetlnym to fotony , a bardziej hipotetycznie grawitony . „Cząstka” odpowiadająca pochodzeniu to próżnia.

Homomorfizmy i izomorfizmy

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro obraz suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupowy V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL(2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór Koło Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v T mi

Kilka innych grup jest homomorficznych lub izomorficznych z ograniczoną grupą Lorentza SO ⁺ (1, 3). Te homomorfizmy odgrywają kluczową rolę w wyjaśnianiu różnych zjawisk w fizyce.

• Specjalny liniową grupę SL (2 C ), jest podwójne pokrycie o ograniczonej grupy Lorentza. Zależność ta jest szeroko stosowany w celu określenia niezmienniczość Lorentza z równania Diraca i kowariancję spinors .
• Grupa symplektyczna Sp(2, C ) jest izomorficzna z SL(2, C ); służy do konstruowania spinorów Weyl , a także do wyjaśnienia, w jaki sposób spinory mogą mieć masę.
• Grupa spinowa Spin(1,3) jest izomorficzna z SL(2, C ); służy do wyjaśniania spinu i spinorów w terminach algebry Clifforda , co wyjaśnia, jak uogólnić grupę Lorentza na ogólne ustawienia geometrii riemannowskiej , w tym teorie supergrawitacji i teorii strun .
• Ograniczony grupa Lorentza jest izomorficzny z rzutowej specjalnego liniową grupę PSL (2 C ), który jest z kolei izomorficzne z grupy Möbiusa , z grupy symetrii o geometrii konforemnej w zakresie Riemanna . Ta zależność ma kluczowe znaczenie dla klasyfikacji podgrup grupy Lorentz zgodnie z wcześniejszym schematem klasyfikacji opracowanym dla grupy Möbius.

Reprezentacja Weyla

Reprezentacja Weyla lub odwzorowanie spinorowe jest parą surjektywnych homomorfizmów od SL(2, C ) do SO ⁺ (1,3). Tworzą dopasowaną parę pod transformacją parzystości , odpowiadającą lewemu i prawemu spinorowi chiralnemu .

Można zdefiniować działanie SL(2, C ) na czasoprzestrzeń Minkowskiego pisząc punkt czasoprzestrzeni jako macierz hermitowska dwa na dwa w postaci

${\ Displaystyle {\ overline {X}} = {\ zacznij {bmatrix} ct + z & x-iy \ \ x + iy & ct-z \ koniec {bmatrix}} = ct1 \! \! 1 + x \ sigma _ {x} +y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

pod względem matryc Pauliego . Ta prezentacja, prezentacja Weyl, zadowala

${\ Displaystyle \ DET \ {\ Overline {X}} = (ct) ^ {2}-x ^ {2}-y ^ {2}-z ^ {2}.}$

Dlatego utożsamiono przestrzeń macierzy hermitowskich (która jest czterowymiarowa, jako rzeczywista przestrzeń wektorowa) z czasoprzestrzenią Minkowskiego, w taki sposób, że wyznacznikiem macierzy hermitowskiej jest kwadrat długości odpowiadającego jej wektora w czasoprzestrzeni Minkowskiego. Element działa na przestrzeń matryc hermitowskich poprzez: ${\ Displaystyle S \ w SL (2, \ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle {\ overline {X}} \ mapsto S {\ overline {X}} S ^ {\ sztylet} ~,}$

gdzie jest Hermitian transpozycji z . Ta akcja zachowuje wyznacznik i dlatego SL(2, C ) działa na czasoprzestrzeń Minkowskiego za pomocą (liniowych) izometrii. Forma z odwróconą parzystością powyższego to ${\ Displaystyle S ^ {\ sztylet}}$${\displaystyle S}$

${\ Displaystyle X = ct1 \! \! 1- {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}$

który przekształca się jako

${\ Displaystyle X \ mapsto (S ^ {-1}) ^ {\ sztylet} XS ^ {-1}}$

Że jest to właściwa transformacja wynika z tego, że

${\ Displaystyle {\ overline {X}} X = (c ^ {2} t ^ {2} - {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {x}}) 1 \! \! 1 = (c ^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})1\!\!1}$

pozostaje niezmienna w powyższej parze przekształceń.

Mapy te są surjektywne , a jądro każdej z map jest dwuelementową podgrupą ± I . Według pierwszego twierdzenia o izomorfizmie grupa ilorazowa PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I } jest izomorficzna do SO ⁺ (1,3).

Mapa parzystości zamienia te dwa pokrycia. Odpowiada to hermitowskiej koniugacji będącej automorfizmem. Te dwa różne pokrycia odpowiadają dwóm odrębnym działaniom chiralnym grupy Lorentza na spinorach . Forma bez nadkreślenia odpowiada prawoskrętnym spinorom przekształcającym się, podczas gdy forma nadkreślona odpowiada lewoskrętnym spinorom przekształcającym się jako${\ Displaystyle SL (2, \ mathbb {C}).}$${\ Displaystyle \ psi _ {R} \ mapsto S \ psi _ {R} ~}$${\ Displaystyle \ psi _ {L} \ mapsto (S ^ {\ sztylet}) ^ {-1} \ psi _ {L} ~.}$

Należy zauważyć, że ta para powłok nie przetrwa kwantyzacji; po skwantowaniu prowadzi to do osobliwego zjawiska anomalii chiralnej . Klasyczne ( tzn. nieskwantowane) symetrie grupy Lorentza są łamane przez kwantyzację; jest to treść twierdzenia o indeksie Atiyaha-Singera .

Konwencje notacji

W fizyce konwencjonalnym jest oznaczanie transformacji Lorentza jako pokazującej macierz z indeksami czasoprzestrzennymi Czterowektor można utworzyć z macierzy Pauliego na dwa różne sposoby: as i as Te dwie formy są powiązane transformacją parzystości . Zauważ, że${\ Displaystyle \ Lambda \ w SO ^ {+} (1,3)}$${\ Displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} ~,}$${\displaystyle \mu,\nu=0,1,2,3.}$${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ mu} = (ja {\ vec {\ sigma}})}$${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} = (ja, - {\ vec {\ sigma}}) ~.}$${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} = \ sigma ^ {\ mu} ~.}$

Biorąc pod uwagę transformację Lorentza, podwójne pokrycie ortochronicznej grupy Lorentza podaną powyżej można zapisać jako ${\ Displaystyle x ^ {\ mu} \ mapsto x ^ {\ prime \ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu} ~,}$${\ Displaystyle S \ w SL (2, \ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle x ^ {\ prime \ mu} {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} = {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\sztylet }}$

Porzucenie tego przybiera formę ${\ Displaystyle x ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = S {\ overline {\ sigma}} _ {\ nu} S ^ {\ sztylet }}$

Forma sprzężona z parzystością to

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = (S ^ {-1}) ^ {\ sztylet} \ sigma _ {\ nu} S ^ {-1 }}$

Dowód

To, że powyższe jest poprawną formą dla notacji indeksowanej, nie jest od razu oczywiste, częściowo dlatego, że pracując w notacji indeksowanej, dość łatwo jest przypadkowo pomylić transformatę Lorentza z jej odwrotnością lub jej transpozycją. To zamieszanie powstaje, ponieważ tożsamość jest trudna do rozpoznania, gdy jest pisana w formie indeksowanej. Transformacje Lorentza nie są tensorami w transformacjach Lorentza! Stąd bezpośredni dowód tej tożsamości jest użyteczny dla ustalenia jej poprawności. Można to zademonstrować, zaczynając od tożsamości ${\ Displaystyle \ eta \ Lambda ^ {T} \ eta = \ Lambda ^ {-1}}$

${\ Displaystyle \ omega \ sigma ^ {k} \ omega ^ {-1} = - (\ sigma ^ {k}) ^ {T} = - (\ sigma ^ {k}) ^ {*}}$

gdzie tak, że powyższe są tylko zwykłymi macierzami Pauliego, a transponują macierz i jest złożoną koniugacją. Macierz jest ${\displaystyle k=1,2,3}$${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {T}}$${\ Displaystyle (\ cdot) ^ {*}}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ omega = i \ sigma _ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ -1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Zapisany jako czterowektorowy związek jest

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mu} ^ {T} = \ sigma _ {\ mu} ^ {*} = \ omega {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu} \ omega ^ {-1}}$

To się zmienia jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ sigma _ {\ mu} ^ {T} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} & = \ omega {\ overline {\ sigma}} _ {\ mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\ sztylet }\omega ^{-1}\\&=(\omega S\omega ^{-1})\,(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1} )\,(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1})\\&=(S^{-1})^{T}\,\sigma _{\nu }^{T}\ ,(S^{-1})^{*}\end{wyrównany}}}$

Biorąc jeszcze jedną transpozycję, dostajesz

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = (S ^ {-1}) ^ {\ sztylet} \ sigma _ {\ nu} S ^ {-1 }}$

Grupa symplektyczna

Grupa symplektyczna Sp(2, C ) jest izomorficzna z SL(2, C ). Ten izomorfizm jest skonstruowany tak, aby zachować symplektycznych forma dwuliniowa na to, aby opuścić niezmiennik transformacji Lorentza formularz pod. Można to wyrazić w następujący sposób. Grupa symplektyczna jest zdefiniowana jako ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

${\ Displaystyle Sp (2, \ mathbb {C}) = \ {S \ w GL (2, \ mathbb {C}): S ^ {T} \ omega S = \ omega \}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ omega = i \ sigma _ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ -1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Inne popularne notacje dotyczą tego elementu; czasami jest używany, ale powoduje to zamieszanie z ideą prawie złożonych struktur , które nie są takie same, ponieważ przekształcają się inaczej. ${\ Displaystyle \ omega = \ epsilon}$${\ Displaystyle J}$

Biorąc pod uwagę parę spinorów Weyl (spinory dwuskładnikowe)

${\ Displaystyle u = {\ zacząć {bmatrix} u_ {1} \ \ u_ {2} \ koniec {b macierzy}} ~ \ quad v = {\ zacząć {bmatrix} v_ {1} \ \ v_ {2} \ koniec{bmatryca}}}$

niezmienna forma dwuliniowa jest umownie zapisywana jako

${\ Displaystyle \ langle u, v \ rangle = - \ langle v u \ rangle = u_ {1} v_ {2}-u_ {2} v_ {1} = u ^ {T} \ omega v}$

Ta forma jest niezmienna w grupie Lorentza, tak że dla jednego ma ${\ Displaystyle S \ w SL (2, \ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle \ langle Su, Sv \ rangle = \ langle u, v \ rangle }$

Definiuje to rodzaj „iloczynu skalarnego” spinorów i jest powszechnie używane do zdefiniowania niezmiennego terminu masy Lorentza w Lagrange'ach . Istnieje kilka godnych uwagi właściwości, które są ważne dla fizyki. Jednym jest to i tak${\ Displaystyle \ omega ^ {2} = -1}$${\ Displaystyle \ omega ^ {-1} = \ omega ^ {T} = \ omega ^ {\ sztylet} = - \ omega}$

Relację definiującą można zapisać jako

${\ Displaystyle \ omega S ^ {T} \ omega ^ {-1} = S ^ {-1}}$

co bardzo przypomina definiującą relację dla grupy Lorentz

${\ Displaystyle \ eta \ Lambda ^ {T} \ eta ^ {-1} = \ Lambda ^ {-1}}$

gdzie jest tensor metryczny dla przestrzeni Minkowskiego i oczywiście jak poprzednio. ${\ Displaystyle \ eta = \ operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$${\ Displaystyle \ Lambda \ w SO (1,3)}$

Grupy obejmujące

Ponieważ SL(2, C ) jest po prostu połączony, jest to uniwersalna grupa pokrywająca ograniczonej grupy Lorentza SO ⁺ (1, 3) . Przez ograniczenie istnieje homomorfizm SU(2) → SO(3) . Tutaj specjalna unitarna grupa SU(2), która jest izomorficzna z grupą kwaternionów normy jednostkowej , jest również po prostu połączona, więc jest to grupa pokrywająca grupę rotacyjną SO(3). Każda z tych map pokrycia jest okładką dwojaką w tym sensie, że dokładnie dwa elementy grupy pokrycia są mapowane na każdy element ilorazu. Często mówi się, że ograniczona grupa Lorentza i grupa rotacyjna są podwójnie połączone . Oznacza to, że podstawowa komórka z każdej grupy jest izomorficzny w dwuelementowej grupy cyklicznej Z ₂ .

Charakterystyczne dla grup spinowych są dwojakie pokrycia . Rzeczywiście, oprócz podwójnych okryć

Spin ⁺ (1, 3) = SL(2, C ) → SO ⁺ (1, 3)

Spin(3) = SU(2) → SO(3)

mamy podwójne pokrycia

Sworzeń (1, 3) → O (1, 3)

Spin (1, 3) → SO (1, 3)

Spin ⁺ (1, 2) = SU (1, 1) → SO (1, 2)

Te podwójne pokrycia spinorialne są skonstruowane z algebr Clifforda .

Topologia

Grupa lewa i prawa w podwójnym okryciu

SU(2) → SO(3)

są cofnięciami deformacji odpowiednio lewej i prawej grupy w podwójnym pokryciu

SL(2, C ) → SO ⁺ (1,3).

Ale jednorodna przestrzeń SO ⁺ (1,3)/SO(3) jest homeomorficzna do hiperbolicznej 3-przestrzeni H ³ , więc pokazaliśmy ograniczoną grupę Lorentza jako główną wiązkę włókien z włóknami SO(3) i zasadą H ³ . Ponieważ ten ostatni jest homeomorficzny R ³ , a SO (3) homeomorficzny trójwymiarowy rzeczywistym przestrzeni rzutowej R P ³ , widać, że ograniczony jest grupa Lorentza lokalnie homeomorficzny iloczynowi R P ³ z R ³ . Ponieważ przestrzeń bazowa jest kurczliwa, można ją rozszerzyć do globalnego homeomorfizmu.

Generatory doładowań i obrotów

Grupa Lorentza można traktować jako podgrupa grupy dyfeomorfizmu z R ^4, a tym samym jego Lie Algebra można zidentyfikować z pól wektorowych na R ⁴ . W szczególności wektory generujące izometrie w przestrzeni są jej wektorami zabijania , co stanowi wygodną alternatywę dla lewostronnego pola wektorowego do obliczania algebry Liego. Możemy spisać zestaw sześciu generatorów:

• Pola wektorowe na R ⁴ generujące trzy obroty i J ,

  ${\ Displaystyle -y \ częściowy _ {x} + x \ częściowy _ {y} \ równoważny iJ_ {z} ~, \ qquad -z \ częściowy _ {y} + y \ częściowy _ {z} \ równoważny iJ_ {x }~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• Pola wektorowe na R ⁴ generujące trzy wzmocnienia i K ,

  ${\ Displaystyle x \ częściowy _ {t} + t \ częściowy _ {x} \ równoważny iK_ {x} ~, \ qquad y \ częściowy _ {t} + t \ częściowy _ {y} \ równoważny iK_ {y} ~ ,\qquad z\częściowa _{t}+t\częściowa _{z}\equiv iK_{z}.}$

(DO ZROBIENIA: gdzie jest ... ) ${\displaystyle i}$

Pomocne może być krótkie przypomnienie tutaj, jak uzyskać grupę jednoparametrową z pola wektorowego , zapisanego w postaci liniowego operatora różniczkowego cząstkowego pierwszego rzędu , takiego jak

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = -y \ częściowy _ {x} + x \ częściowy _ {y}.}$

Odpowiadający mu problem z wartością początkową (rozważ funkcję skalara i rozwiąż go z pewnymi warunkami początkowymi) to ${\displaystyle r=(x,y)}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ częściowy _ {\ lambda} r = {\ mathcal {L}} r}$

${\displaystyle {\frac {\częściowy x}{\częściowy \lambda}}=-y,\;{\frac {\częściowy y}{\częściowy \lambda}}=x,\;x(0)=x_ {0},\;y(0)=y_{0}.}$

Rozwiązanie można napisać

${\ Displaystyle x (\ lambda ) = x_ {0} \ cos (\ lambda )-y_ {0} \ grzech (\ lambda ), \; y (\ lambda ) = x_ {0} \ grzech (\ lambda ) + y_{0}\cos(\lambda )}$

lub

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} t \ \ x \ \ y \ \ z \ koniec {bmatrix}} = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i \ cos (\ lambda) i - \ grzech (\ lambda) &0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\ \z_{0}\end{bmatryca}}}$

gdzie łatwo rozpoznamy jednoparametrową macierzową grupę obrotów exp( i λ J _z ) wokół osi z.

Różniczkując względem parametru grupowego λ i ustawiając go λ =0 w tym wyniku, otrzymujemy macierz standardową,

${\ Displaystyle iJ_ {z} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}} ~,}$

co odpowiada polu wektorowemu, od którego zaczęliśmy. To ilustruje, jak przechodzić między macierzowymi i wektorowymi reprezentacjami pól elementów algebry Liego. Wykładniczy mapa odgrywa to szczególną rolę nie tylko dla grupy Lorentza, ale dla grup leżą w ogóle.

Odwracając procedurę w poprzedniej sekcji, widzimy, że transformacje Möbiusa, które odpowiadają naszym sześciu generatorom, wynikają z potęgowania odpowiednio η /2 (dla trzech doładowań ) lub iθ /2 (dla trzech obrotów) razy trzy macierze Pauliego

${\ Displaystyle \ sigma _ {1} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i 1 \ \ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}, \; \; \ sigma _ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 0 i-i \ \ i 0 \end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Klasy koniugatu

Ponieważ ograniczona grupa Lorentza SO ⁺ (1, 3) jest izomorficzna z grupą Möbiusa PSL(2, C ), jej klasy koniugacji również dzielą się na pięć klas:

• Transformacje eliptyczne
• Transformacje hiperboliczne
• Przekształcenia loksodromiczne
• Przekształcenia paraboliczne
• Trywialna transformacja tożsamości

W artykule o transformacjach Möbiusa wyjaśniono, jak powstaje ta klasyfikacja, biorąc pod uwagę punkty stałe transformacji Möbiusa w ich działaniu na sferę Riemanna, co odpowiada tutaj zerowym przestrzeniom własnym ograniczonych transformacji Lorentza w ich działaniu na czasoprzestrzeni Minkowskiego.

Przykład każdego typu jest podany w poniższych podrozdziałach wraz z wpływem generowanej przez niego podgrupy jednoparametrowej (np. na wygląd nocnego nieba).

Transformacje Möbiusa to konformalne transformacje sfery Riemanna (lub sfery niebieskiej). Następnie sprzęgając z dowolnym elementem SL(2, C ) otrzymuje się następujące przykłady odpowiednio dowolnych przekształceń Lorentza eliptycznego, hiperbolicznego, loksodromicznego i parabolicznego (ograniczonego). Wpływ na linie przepływu odpowiednich podgrup jednoparametrowych polega na przekształceniu wzoru widocznego w przykładach przez pewne przekształcenie konforemne. Na przykład eliptyczna transformacja Lorentza może mieć dowolne dwa różne stałe punkty na sferze niebieskiej, ale punkty nadal płyną po łukach kołowych od jednego stałego punktu do drugiego. Pozostałe przypadki są podobne.

Eliptyczny

Elementem eliptycznym SL(2, C ) jest

${\ Displaystyle P_ {1} = {\ zacząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {i} {2}} \ theta \ po prawej) i 0 \ \ 0 i \ exp \ po lewej (- {\ Frac {i} {2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

i ma punkty stałe ξ = 0, ∞. Zapisując akcję jako X ↦ P ₁ X P ₁ ^† i zbierając wyrazy, mapa spinorowa przekształca to w (ograniczoną) transformację Lorentza

${\ Displaystyle Q_ {1} = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 0 i 0 \ \ 0 i \ cos (\ theta) i - \ grzech (\ theta) i 0 \ \ 0 i \ grzech (\ theta) i \ cos (\ theta) i 0 \\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Ta transformacja następnie oznacza obrót o oo osi exp ( iθJ _oo ). Generowana podgrupa jednoparametrowa jest otrzymywana przez przyjęcie θ za zmienną rzeczywistą, kąt obrotu, a nie stałą.

Odpowiadające im ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem tożsamości) mają te same dwa stałe punkty, biegun północny i południowy. Transformacje przesuwają wszystkie inne punkty wokół okręgów szerokości geograficznej, tak aby ta grupa dawała ciągły obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół osi z wraz ze wzrostem θ . Kąt podwojenie widoczne na mapie Spinor jest charakterystyczną cechą spinorial podwójnych wykładzin .

Hiperboliczny

Elementem hiperbolicznym SL(2, C ) jest

${\ Displaystyle P_ {2} = {\ zacząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {\ eta} {2}} \ prawej) i 0 \ \ 0 i \ exp \ po lewej (- {\ Frac {\ eta} {2}}\right)\end{bmatryca}}}$

i ma punkty stałe ξ = 0, ∞. W rzucie stereograficznym ze sfery Riemanna na płaszczyznę euklidesową efektem tej transformacji Möbiusa jest dylatacja od początku.

Mapa spinorowa konwertuje to na transformację Lorentza

${\ Displaystyle Q_ {2} = {\ zacząć {bmatrix} \ cosh (\ eta ) i 0 i 0 i \ sinh (\ eta) \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ \ sinh (\ eta) i 0 i 0 i \ cosh (\ eta) \ koniec {bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Transformacja ta stanowi impuls wzdłuż oo osi z szybkością rj . Generowana podgrupa jednoparametrowa jest uzyskiwana przez przyjęcie η za zmienną rzeczywistą, a nie stałą. Wszystkie odpowiadające im ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem tożsamości) mają te same stałe punkty (biegun północny i południowy) i przesuwają wszystkie inne punkty wzdłuż długości geograficznej od bieguna południowego w kierunku bieguna północnego.

Loxodromic

Loksodromiczny element SL(2, C ) to

${\ Displaystyle P_ {3}= P_ {2} P_ {1} = P_ {1} P_ {2} = {\ zacząć {bmatrix} \ exp \ lewo ({\ Frac {1} {2}} (\ eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

i ma punkty stałe ξ = 0, ∞. Mapa spinorowa konwertuje to na transformację Lorentza

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}.}$

Generowana jednoparametrowa podgrupa jest otrzymywana przez zastąpienie η+iθ dowolną rzeczywistą wielokrotnością tej złożonej stałej. (Jeżeli η, θ zmieniają się niezależnie, otrzymujemy dwuwymiarową podgrupę abelową , składającą się z równoczesnych obrotów wokół osi z i wzmocnień wzdłuż osi z ; w przeciwieństwie do tego, omawiana tutaj podgrupa jednowymiarowa składa się z tych elementów tego podgrupa dwuwymiarowa tak, że szybkość doładowania i kąt obrotu mają stały stosunek .)

Odpowiadające im ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem tożsamości) mają te same dwa stałe punkty (biegun północny i południowy). Przenoszą wszystkie inne punkty od bieguna południowego w kierunku bieguna północnego (lub odwrotnie), wzdłuż rodziny krzywych zwanych loksodromami . Każdy lokodrom kręci się nieskończenie często wokół każdego bieguna.

Paraboliczny

Elementem parabolicznym SL(2, C ) jest

${\ Displaystyle P_ {4} = {\ zacząć {bmatrix} 1 i \ alfa \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$

i ma pojedynczy punkt stały ξ = ∞ na sferze Riemanna. W rzucie stereograficznym pojawia się jako zwykłe przesunięcie wzdłuż osi rzeczywistej .

Mapa spinorowa przekształca to w macierz (reprezentującą transformację Lorentza)

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} Q_ {4} i = {\ zacząć {bmatrix} 1 + {\ Frac {1} {2}} \ vert \ alfa \ vert ^ {2} i \ operatorname {Re} \alpha )&\nazwa operatora {im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\nazwa operatora {Re} (\alpha )&1&0&-\nazwa operatora {Re} (\alpha )\\-\operator {imię} (\alpha )&0&1&\operatorname {im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2 }&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\ \[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\nazwa operatora {Re} (\alpha )&\nazwa operatora {Im} (\alpha )&0\\\nazwa operatora {Re} (\alpha )&0&0&-\nazwa operatora {O} (\alpha )\\-\nazwa operatora {Wm} (\alpha )&0&0&\nazwa operatora {Wm} (\alpha )\\0&\nazwa operatora {Wm} (\alpha )&\nazwa operatora {Wm} (\alpha )&0\end{bmatryca}}~.\end{wyrównany}}}$

Generuje to dwuparametrową podgrupę abelową, którą uzyskuje się uznając α za zmienną złożoną, a nie stałą. Odpowiednie ciągłe transformacje sfery niebieskiej (z wyjątkiem transformacji tożsamości) przesuwają punkty wzdłuż rodziny okręgów, które są styczne do bieguna północnego do pewnego wielkiego okręgu . Wszystkie punkty poza samym biegunem północnym poruszają się po tych okręgach.

Przekształcenia paraboliczne Lorentza są często nazywane rotacjami zerowymi . Ponieważ są one prawdopodobnie najmniej znane z czterech typów nietożsamościowych transformacji Lorentza (eliptycznej, hiperbolicznej, loksodromicznej, parabolicznej), poniżej zilustrowano, jak określić wpływ przykładowej parabolicznej transformacji Lorentza na czasoprzestrzeń Minkowskiego.

Podana powyżej macierz daje przekształcenie

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} t \ \ x \ \ y \ \ z \ koniec {bmatrix}} \ rightarrow {\ zacząć {bmatrix} t \ \ x \ \ y \ \ z \ koniec {bmatrix}} + \operatorname {Re} (\alfa )\;{\begin{bmacierz}x\\tz\\0\\x\end{bmacierz}}+\operatorname {Im} (\alfa )\;{\begin{bmacierz }y\\0\\zt\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}tz\\0\ \0\\tz\end{bmatryca}}.}$

Teraz, bez utraty ogólności, wybierz Im(α) = 0 . Zróżnicowanie tego przekształcenia w odniesieniu do obecnie rzeczywistego parametru grupy α i obliczenie przy α =0 daje odpowiednie pole wektorowe (liniowy operator różniczkowy cząstkowy pierwszego rzędu),

${\ Displaystyle x \, \ lewo (\ częściowy _ {t} + \ częściowy _ {z} \ po prawej) + (tz) \, \ częściowy _ {x}.}$

Zastosuj to do funkcji f(t, x, y, z) i zażądaj, aby pozostała niezmienna, tj. została unicestwiona przez to przekształcenie. Rozwiązanie otrzymanego równania różniczkowego liniowego cząstkowego pierwszego rzędu można wyrazić w postaci

${\ Displaystyle f (t x x y z) = f \ lewo (y \ tz \ t ^ {2} -x ^ {2} - z ^ {2} \ prawej)}$

gdzie F jest dowolną gładką funkcją. Argumenty F dają trzy racjonalne niezmienniki opisujące, jak punkty (zdarzenia) poruszają się w ramach tej transformacji parabolicznej, ponieważ same się nie poruszają,

${\ Displaystyle y=c_{1},~~~~tz=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

Wybranie wartości rzeczywistych dla stałych po prawej stronie daje trzy warunki, a tym samym określa krzywą w czasoprzestrzeni Minkowskiego. Ta krzywa jest orbitą transformacji.

Postać niezmienników wymiernych pokazuje, że te linie przepływu (orbity) mają prosty opis: tłumiąc nieistotną współrzędną y , każda orbita jest przecięciem płaszczyzny zerowej , t = z + c ₂ , z hiperboloidą , t ² − x ² − z ² = c ₃ . Przypadek c ₃ = 0 ma hiperboloidę zdegenerowaną do stożka świetlnego, przy czym orbity stają się parabolami leżącymi w odpowiednich płaszczyznach zerowych.

Poszczególna linia zerowa leżąca na stożku świetlnym pozostaje niezmienna ; odpowiada to jedynemu (podwójnemu) stałemu punktowi na sferze Riemanna wspomnianej powyżej. Inne zerowe linie przechodzące przez początek są „obracane wokół stożka” przez transformację. Podążanie za ruchem jednej takiej linii zerowej w miarę wzrostu α odpowiada podążaniu za ruchem punktu wzdłuż jednej z kołowych linii przepływu na sferze niebieskiej, jak opisano powyżej.

Zamiast tego wybór Re(α) = 0 daje podobne orbity, teraz z zamienionymi rolami x i y .

Przekształcenia paraboliczne prowadzą do symetrii cechowania cząstek bezmasowych (takich jak fotony ) o spiralności | h | ≥ 1. W powyższym wyraźnym przykładzie na bezmasową cząstkę poruszającą się w kierunku z , czyli z 4-pędem P =( p , 0, 0, p ), w ogóle nie ma wpływu kombinacja x - boost i y- rotacji K _x − J _y zdefiniowane poniżej, w „małej grupie” jego ruchu. Jest to oczywiste z omówionego wyraźnego prawa transformacji: jak każdy wektor podobny do światła, samo P jest teraz niezmienne, tj. wszystkie ślady lub efekty α zniknęły. c ₁ = c ₂ = c ₃ = 0, w omawianym szczególnym przypadku. (Inny podobny generator, K _y + J _x, a także it i J _z, zawierają razem małą grupę wektora podobnego do światła, izomorficznego z E (2).)

Wygląd nocnego nieba

Konsekwencją tego izomorfizmu jest to, że transformacje Möbiusa sfery Riemanna reprezentują sposób, w jaki transformacje Lorentza zmieniają wygląd nocnego nieba, widzianego przez obserwatora, który manewruje z relatywistycznymi prędkościami względem „gwiazd stałych”.

Załóżmy, że „gwiazdy stałe” żyją w czasoprzestrzeni Minkowskiego i są modelowane przez punkty na sferze niebieskiej. Wtedy dany punkt na sferze niebieskiej można skojarzyć z ξ = u + iv , liczbą zespoloną, która odpowiada punktowi na sferze Riemanna , i można go utożsamiać z wektorem zerowym ( wektorem światłopodobnym ) w przestrzeni Minkowskiego

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} u ^ {2} + v ^ {2} +1 \ \ 2u \ \ -2 v \ \ u ^ {2} + v ^ {2} -1 \ koniec {bmatrix}} }$

lub w reprezentacji Weyla (mapa spinorowa) macierz hermitowska

${\ Displaystyle N = 2 {\ zacząć {bmatrix} u ^ {2} + v ^ {2} i u + iv \ \ u-iv i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$

Zbiór rzeczywistych wielokrotności skalarnych tego wektora zerowego, zwany linią zerową przechodzącą przez początek, reprezentuje linię widzenia obserwatora w określonym miejscu i czasie (zdarzenie arbitralne, które możemy utożsamić z początkiem czasoprzestrzeni Minkowskiego) do różnych odległych obiekty, takie jak gwiazdy. Następnie punkty sfery niebieskiej (odpowiednio linie widzenia) są utożsamiane z pewnymi matrycami hermitowskimi.

Algebra kłamstwa

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie Koło Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Algebry kłamstwa
Półprosta algebra Liego
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstwa w fizyce
Naukowcy Sophus kłamstwo Henri Poincaré Zabijanie Wilhelma Elie Cartan Hermanna Weyla Claude Chevalley Harisz-Chandra Armand Borel
Słowniczek Tabela grup kłamstw
v T mi

Podobnie jak w przypadku każdej grupy Liego, użytecznym sposobem badania wielu aspektów grupy Lorentza jest użycie jej algebry Liego . Ponieważ grupa Lorentza SO(1,3) jest macierzową grupą Liego , jej algebra Liego so(1,3) jest algebrą macierzy, którą można obliczyć jako

${\ Displaystyle \ operatorname {tak} (1,3) = \ lewo \ {4 \ razy 4 \ \ operatorname {matryce} \ X \ mid e ^ {tX} \ w \ operatorname {tak} (1, 3 )\,\mathrm {za} \,\mathrm {wszystkie} \,t\prawo\}}$.

Jeżeli jest macierzą diagonalną z wpisami diagonalnymi , to algebra Liego o(1,3) składa się z macierzy takich, że ${\displaystyle \eta}$${\ Displaystyle (1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle 4\razy 4}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ eta X \ eta = - X ^ {T}}$.

Jawnie więc(1,3) składa się z macierzy postaci ${\displaystyle 4\razy 4}$

${\displaystyle {\zacząć{pmatrix}0&a&b&c\\a&0&d&e\\b&-d&0&f\\c&-e&-f&0\koniec {pmatrix}}}$,

gdzie są dowolne liczby rzeczywiste. Ta algebra Liego jest sześciowymiarowa. Podalgebra so(1,3) składająca się z elementów, w których , , i równe zero jest izomorficzna z so(3). ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

Zauważ, że pełna grupa Lorentza O(1,3), właściwa grupa Lorentza SO(1,3) i właściwa ortochroniczna grupa Lorentza wszystkie mają tę samą algebrę Liego, która jest zwykle oznaczana tak(1,3). ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} ^ {+} (1,3)}$

Ponieważ składnik tożsamości grupy Lorentza jest izomorficzny ze skończonym ilorazem SL(2,C) (patrz rozdział powyżej dotyczący połączenia grupy Lorentza z grupą Möbiusa), algebra Liego grupy Lorentza jest izomorficzna z Algebra Liego sl(2,C). Zauważ, że sl(2,C) jest trójwymiarowe, gdy oglądane jest jako złożona algebra Liego, ale sześciowymiarowe, gdy oglądane jako rzeczywista algebra Liego.

Generatory grupy Möbius

Kolejny zestaw generujący powstaje poprzez izomorfizm do grupy Möbiusa. W poniższej tabeli wymieniono sześć generatorów, w których

• Pierwsza kolumna podaje generator przepływu pod działaniem Möbiusa (po projekcji stereograficznej ze sfery Riemanna) jako rzeczywiste pole wektorowe na płaszczyźnie euklidesowej.
• Druga kolumna podaje odpowiednią jednoparametrową podgrupę transformacji Möbiusa.
• Trzecia kolumna podaje odpowiednią podgrupę jednoparametrową transformacji Lorentza (obraz pod naszym homomorfizmem poprzedzającej podgrupy jednoparametrowej).
• Czwarta kolumna podaje odpowiedni generator przepływu pod działaniem Lorentza jako rzeczywiste pole wektorowe w czasoprzestrzeni Minkowskiego.

Zauważ, że generatory składają się z

• Dwie parabole (obroty zerowe)
• Jeden hiperboliczny (wzmocnienie w kierunku ∂ _z )
• Trzy eliptyki (obroty odpowiednio wokół osi x, y, z )

Pole wektorowe na R 2	Podgrupa jednoparametrowa SL(2, C ), reprezentująca transformacje Möbiusa	Jednoparametrowa podgrupa SO + (1,3), reprezentująca przekształcenia Lorentza	Pole wektorowe na R 4
Paraboliczny
${\ Displaystyle \ częściowe _ {u} \, \!}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i \ alfa \ \ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 + {\ Frac {1} {2}} \ alfa ^ {2} i \ alfa 0 i - {\ Frac {1} {2}} \ alfa ^ {2} \ \ \alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end {bmatryca}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} X_ {1} = {} & x (\ częściowy _ {t} + \ częściowy _ {z}) + \ \ & (tz) \ częściowy _ {x} \ koniec {wyrównany} }}$
${\ Displaystyle \ częściowe _ {v} \, \!}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1&i \ alfa \\ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 + {\ Frac {1} {2}} \ alfa ^ {2} i 0 & \ alfa &-{\ Frac {1} {2}} \ alfa ^ {2} \ \ 0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end {bmatryca}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} X_ {2} = {} i y (\ częściowy _ {t} + \ częściowy _ {z}) + \ \ & (tz) \ częściowy _ {y} \ koniec {wyrównany} }}$
Hiperboliczny
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo (u \ częściowy _ {u} + v \ częściowy _ {v} \ po prawej)}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ exp \ po lewej ({\ Frac {\ eta} {2}} \ po prawej) i 0 \ \ 0 i \ exp \ po lewej (- {\ Frac {\ eta } {2}} \ po prawej)\end{bmatryca}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ cosh (\ eta ) i 0 i 0 i \ sinh (\ eta ) \ \ 0 i 1 i 0 i 0 \ \ 0 i 0 i 1 i 0 \ \ \ sinh (\ eta ) i 0 i 0 i \ koszt (\ eta ) \ koniec {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle X_ {3} = z \ częściowy _ {t} + t \ częściowy _ {z} \ \!}$
Eliptyczny
${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ lewo (-v \ częściowy _ {u} + u \ częściowy _ {v} \ po prawej)}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ exp \ po lewej ({\ Frac {i \ theta} {2}} \ po prawej) i 0 \ \ 0 i \ exp \ po lewej ({\ Frac {-i \ theta}} {2} }\right)\end{bmatryca}}}$	${\displaystyle {\zaczynać{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)&0\\0&\sin(\theta)&\cos(\theta)&0\\0&0&0&1\koniec {bmatryca}}}$	${\ Displaystyle X_ {4} = -y \ częściowy _ {x} + x \ częściowy _ {y}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {v ^ {2}-u ^ {2} -1} {2}} \ częściowy _ {u} - uv \ \ częściowy _ {v}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ cos \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ po prawej) i - \ grzech \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ po prawej) \ \\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1&0&0&0\\0&\cos (\theta)&0&\sin (\theta)\\\0&0&1&0\\0&-\sin (\theta)&0&\cos(\theta)\koniec {bmatrix }}}$	${\ Displaystyle X_ {5} = -x \ częściowy _ {z} + z \ częściowy _ {x}}$
${\ Displaystyle uv \, \ częściowy _ {u} + {\ Frac {1-u ^ {2} + v ^ {2}} {2}} \ częściowy _ {v}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} \ cos \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ prawej) i \ sin \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ po prawej) \ \ i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\0&0&\sin(\theta)&\cos(\theta)\koniec {bmatrix }}}$	${\ Displaystyle X_ {6} = - Z \ częściowy _ {y} + r \ częściowy _ {z}}$

Zweryfikujmy jeden wiersz w tej tabeli. Zacząć od

${\ Displaystyle \ sigma _ {2} = {\ zacząć {bmatrix} 0 & i \ \ - i & 0 \ koniec {bmatrix}}.}$

Wykładniczy:

${\ Displaystyle \ exp \ lewo ({\ Frac {i \ theta} {2}} \ \ sigma _ {2} \ prawej) = {\ zacząć {bmatrix} \ cos \ po lewej ({\ Frac {\ theta} {2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)& \cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.}$

Ten element SL(2, C ) reprezentuje jednoparametrową podgrupę (eliptycznych) przekształceń Möbiusa:

${\ Displaystyle \ xi \ mapsto \ xi '= {\ Frac {\ cos \ lewo ({\ Frac {\ theta} {2}} \ po prawej) \ \ xi - \ grzech \ lewo ({\ Frac {\ theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}} \Prawidłowy)}}.}$

Następny,

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {d \ xi '} {d \ theta}} \ prawo | _ {\ theta = 0} = - {\ Frac {1 + \ xi ^ {2}} {2}} .}$

Odpowiednie pole wektorowe na C (myślane jako obraz S ² w projekcji stereograficznej) to

${\ Displaystyle - {\ Frac {1+ \ xi ^ {2}} {2}} \ \ częściowy _ {\ xi}.}$

Pisząc , to staje się polem wektorowym na R ²${\ Displaystyle \ xi = u + IV}$

${\ Displaystyle - {\ Frac {1 + u ^ {2}-v ^ {2}} {2}} \ \ częściowy _ {u} - uv \ \ częściowy _ {v}}.$

Wracając do naszego elementu SL(2, C ), wypisując działanie i zbierając terminy, stwierdzamy, że obraz pod mapą spinorową jest elementem SO ⁺ (1,3) ${\ Displaystyle X \ mapsto PXP ^ {\ sztylet}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1&0&0&0\\0&\cos (\theta)&0&\sin (\theta)\\\0&0&1&0\\0&-\sin (\theta)&0&\cos(\theta)\koniec {bmatrix }}.}$

Różniczkowanie względem θ przy θ =0, daje odpowiednie pole wektorowe na R ⁴ ,

${\ Displaystyle z \ częściowy _ {x}-x \ częściowy _ {z}. \ \!}$

Jest to ewidentnie generator obrotów w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół osi y .

Podgrupy grupy Lorentz

Można wyliczyć podalgebry algebry Liego grupy Lorentza, aż do koniugatu, z którego można wymienić zamknięte podgrupy ograniczonej grupy Lorentza, aż do koniugatu. (Szczegóły można znaleźć w książce Halla cytowanej poniżej.) Można je łatwo wyrazić za pomocą generatorów podanych w powyższej tabeli. ${\ Displaystyle X_ {n}}$

Jednowymiarowe podalgebry oczywiście odpowiadają czterem klasom sprzężeń elementów grupy Lorentza:

• ${\displaystyle X_{1}}$ generuje jednoparametrową podalgebrę paraboli SO(0,1),
• ${\displaystyle X_{3}}$ generuje jednoparametrową podalgebrę wzmocnień SO(1,1),
• ${\ Displaystyle X_{4}}$ generuje jeden parametr obrotów SO(2),
• ${\displaystyle X_{3}+aX_{4}}$(dla dowolnego ) generuje jednoparametrową podalgebrę przekształceń loksodromicznych.${\displaystyle a\neq 0}$

(Ściśle mówiąc, ostatnia odpowiada nieskończenie wielu klasom, ponieważ różne dają różne klasy.) Dwuwymiarowe podalgebry to: ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ wygenerować podalgebrę abelową składającą się wyłącznie z paraboli,
• ${\displaystyle X_{1},X_{3}}$wygenerować nieabelową podalgebrę izomorficzną z algebrą Liego grupy afinicznej Aff(1),
• ${\displaystyle X_{3},X_{4}}$ generować podalgebrę abelową składającą się ze wzmocnień, rotacji i loksodromów, z których wszystkie dzielą tę samą parę punktów stałych.

Podalgebry trójwymiarowe wykorzystują schemat klasyfikacji Bianchi :

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$wygeneruj podalgebrę Bianchi V , izomorficzną z algebrą Liego Hom(2), grupą homotetycznych euklidesów ,
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}}$wygeneruj podalgebrę Bianchi VII_0 , izomorficzną z algebrą Liego z E(2), grupą euklidesową ,
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}+aX_{4}}$, gdzie , generuje podalgebrę Bianchi VII_a ,${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}}$wygenerować podalgebrę Bianchi VIII , izomorficzną do algebry Liego SL(2, R ), grupy izometrii płaszczyzny hiperbolicznej ,
• ${\ Displaystyle X_{4}, X_ {5}, X_ {6}}$wygeneruj podalgebrę Bianchi IX , izomorficzną z algebrą Liego z SO(3), grupy rotacyjnej.

Te typy Bianchi odnoszą się do klasyfikacji trójwymiarowych algebr Liego przez włoskiego matematyka Luigi Bianchi . Wszystkie czterowymiarowe podalgebry są sprzężone z:

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$wygenerować podalgebrę izomorficzną do algebry Liego Sima(2), grupy podobieństw euklidesowych .

Podalgebry tworzą siatkę (patrz rysunek), a każda podalgebra generuje przez potęgowanie zamkniętą podgrupę ograniczonej grupy Liego. Z nich można skonstruować wszystkie podgrupy grupy Lorentza, aż do koniugacji, przez pomnożenie przez jeden z elementów czterogrupy Kleina.

Podobnie jak w przypadku każdej połączonej grupy Liego, przestrzenie kosetowe zamkniętych podgrup ograniczonej grupy Lorentza lub przestrzenie jednorodne , mają duże zainteresowanie matematyczne. Kilka krótkich opisów:

• Grupa Sim(2) jest stabilizatorem linii zerowej , tj. punktu na sferze Riemanna, więc jednorodna przestrzeń SO ⁺ (1,3)/Sim(2) jest geometrią Kleina, która reprezentuje geometrię konforemną na kula S ² .
• Składnik tożsamościowy grupy euklidesowej SE(2) jest stabilizatorem wektora zerowego , więc jednorodna przestrzeń SO ⁺ (1,3)/SE(2) jest przestrzenią pędu cząstki bezmasowej; geometrycznie, ta geometria Kleina reprezentuje zdegenerowaną geometrię stożka świetlnego w czasoprzestrzeni Minkowskiego.
• Grupa rotacyjna SO(3) jest stabilizatorem wektora podobnego do czasu , więc jednorodna przestrzeń SO ⁺ (1,3)/SO(3) jest przestrzenią pędu masywnej cząstki; geometrycznie, ta przestrzeń jest niczym innym jak trójwymiarową przestrzenią hiperboliczną H ³ .

Generalizacja na wyższe wymiary

Koncepcja grupy Lorentza ma naturalne uogólnienie na czasoprzestrzeń o dowolnej liczbie wymiarów. Matematycznie grupa Lorentza n +1-wymiarowej przestrzeni Minkowskiego jest nieokreśloną grupą ortogonalną O( n ,1) przekształceń liniowych R ^{n +1,} która zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}) \ mapsto x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.}$

Grupa O(1, n ) zachowuje formę kwadratową

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, x_ {n + 1}) \ mapsto x_ {1} ^ {2}-x_ {2} ^ {2}-\ cdots -x_{n+1}^{2}}$

Jest izomorficzny z O( n ,1), ale cieszy się większą popularnością w fizyce matematycznej, głównie dlatego, że algebra równania Diraca , a bardziej ogólnie, spinory i algebry Clifforda są „bardziej naturalne” z tą sygnaturą.

Wiele własności grupy Lorentza w czterech wymiarach (gdzie n = 3 ) uogólnia się bezpośrednio do dowolnego n . Na przykład grupa Lorentza O( n ,1) ma cztery połączone składniki i działa poprzez przekształcenia konforemne na sferze niebieskiej ( n −1) w n +1-wymiarowej przestrzeni Minkowskiego. Składnik tożsamościowy SO ⁺ ( n ,1) jest wiązką SO( n ) nad hiperboliczną n- przestrzenią H ⁿ .

Przypadki niskowymiarowe n = 1 i n = 2 są często przydatne jako „modele zabawek” dla przypadku fizycznego n = 3 , podczas gdy grupy Lorentza o wyższych wymiarach są używane w teoriach fizycznych, takich jak teoria strun, które zakładają istnienie ukrytych wymiarów . Grupa Lorentza O( n ,1) jest również grupą izometryczną n- wymiarowej przestrzeni de Sittera dS _n , którą można zrealizować jako jednorodną przestrzeń O( n ,1)/O( n- 1,1). W szczególności O(4,1) jest grupą izometryczną wszechświata de Sittera dS ₄ , modelu kosmologicznego.

Zobacz też

Transformacja Lorentza Teoria reprezentacji grup Lorentza Grupa Poincare Grupa Möbiusa Przestrzeń Minkowskiego Bikwaterniony

Nieokreślona grupa ortogonalna Kwaterniony i rotacja przestrzenna Relatywistyczny środek masy Szczególna teoria względności Symetria w mechanice kwantowej

Uwagi

Bibliografia

Lista rzeczy do przeczytania

• Emil Artin (1957) Algebra geometryczna , rozdział III: Geometria symplektyczna i ortogonalna za pośrednictwem archiwum internetowego , obejmuje grupy ortogonalne O(p,q)
• Carmeli, Mosze (1977). Teoria grup i ogólna teoria względności, reprezentacje grupy Lorentza i ich zastosowania w polu grawitacyjnym . McGraw-Hill, Nowy Jork. Numer ISBN 978-0-07-009986-9.odniesienie kanoniczne; patrz rozdziały 1-6 dla reprezentacji grupy Lorentz.
• Frankel, Teodor (2004). Geometria Fizyki (wyd. 2) . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-53927-2. Doskonałe źródło teorii kłamstw, wiązek włókien, pokryć rdzeniowych i wielu innych tematów.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwsze danie . Teksty magisterskie z matematyki , lektury z matematyki. 129 . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . Numer ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249 . OCLC  246650103 . Zobacz Wykład 11 dla nieredukowalnych reprezentacji SL(2, C ).
• Gelfand, komunikatory internetowe ; Minlos, RA ; Shapiro, Z.Ya. (1963), Reprezentacje grup rotacyjnych i Lorentza i ich zastosowania , New York: Pergamon Press
• Hall, Brian C. (2015), Grupy Liego, algebry Liego i reprezentacje: wprowadzenie elementarne , teksty magisterskie z matematyki, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Hall, GS (2004). Symetrie i struktura krzywizny w ogólnej teorii względności . Singapur: Światowy Naukowy. Numer ISBN 978-981-02-1051-9. Zobacz rozdział 6 dla podalgebr algebry Liego grupy Lorentza.
• Hatcher, Allen (2002). Topologia algebraiczna . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0-521-79540-1. Zobacz także w „wersji online” . Źródło 3 lipca 2005 . Zobacz sekcję 1.3, aby zapoznać się z pięknie zilustrowaną dyskusją na temat zakrywania przestrzeni. Zobacz sekcję 3D, aby zapoznać się z topologią grup obrotowych.
• Misner, Karol ; Thorne, Kip S .; Wheeler, John (1973). Grawitacja . WH Freeman i Spółka . Numer ISBN 978-0-7167-0344-0. §41.3
• Naber, Grzegorz (1992). Geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego . Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-0486432359. (Dover reprint edition.) Doskonałe odniesienie do czasoprzestrzeni Minkowskiego i grupy Lorentz.
• Needham, Tristan (1997). Wizualna analiza złożona . Oksford: Oxford University Press. Numer ISBN 978-0-19-853446-4. Zobacz rozdział 3, gdzie znajduje się znakomicie zilustrowana dyskusja na temat transformacji Möbiusa.
• Weinberg, S. (2002), Kwantowa teoria pól , 1 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
• Wigner, EP (1939), "O jednolitych przedstawieniach niejednorodnej grupy Lorentza", Annals of Mathematics , 40 (1): 149-204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR  1968551 , MR  1503456.