Powtarzalny dziesiętny - Repeating decimal

Powtarzania po przecinku lub ułamek dziesiętny okresowy jest przedstawienie dziesiętne liczby, której cyfry są okresowe (powtarzając jego wartości w regularnych odstępach czasu) i nieskończenie Powtarzana część jest zerowy . Można pokazać, że liczba jest racjonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej reprezentacja dziesiętna jest powtarzalna lub zakończona (tzn. wszystkie z wyjątkiem skończonej liczby cyfr to zero). Na przykład dziesiętna reprezentacja1/3staje się okresowe tuż po przecinku , powtarzając w nieskończoność pojedynczą cyfrę "3", tj. 0,333.... Bardziej skomplikowanym przykładem jest3227/555, którego dziesiętny staje się okresowy na drugiej cyfrze po przecinku, a następnie powtarza sekwencję „144” w nieskończoność, tj. 5.8144144144.... Obecnie nie ma jednego, powszechnie akceptowanego zapisu lub sformułowania dla powtarzających się cyfr dziesiętnych.

Nieskończenie powtarzająca się sekwencja cyfr nazywana jest powtórzeniem lub powtórzeniem . Jeśli powtórzeniem jest zero, ta reprezentacja dziesiętna jest nazywana kończącym dziesiętnym, a nie powtarzającym się dziesiętnym, ponieważ zera można pominąć, a dziesiętny kończy się przed tymi zerami. Każda końcowa reprezentacja dziesiętna może być zapisana jako ułamek dziesiętny , ułamek , którego mianownik jest potęgą 10 (np. 1.585 =1585/1000); może być również zapisany jako stosunek formyk/2 ⁿ 5 ^m(np. 1,585 =317/2 ³ 5 ²). Jednak każda liczba z końcową reprezentacją dziesiętną ma również drugą, alternatywną reprezentację jako powtarzalną reprezentację dziesiętną, której powtórzeniem jest cyfra 9 . Uzyskuje się to poprzez zmniejszenie ostatniej (najbardziej prawej) niezerowej cyfry o jeden i dodanie powtórzenia 9. 1.000... = 0.999... i 1.585000... = 1.584999... to dwa przykłady tego. (Ten typ powtarzalnego dziesiętnego można uzyskać przez dzielenie długie, jeśli używa się zmodyfikowanej formy zwykłego algorytmu dzielenia .)

Każda liczba, której nie można wyrazić jako stosunek dwóch liczb całkowitych, jest uważana za niewymierną . Ich reprezentacja dziesiętna nie kończy się ani nie powtarza się w nieskończoność, ale rozciąga się na zawsze bez regularnego powtarzania. Przykładami takich liczb niewymiernych są pierwiastek kwadratowy z 2 i $π$ .

Tło

Notacja

Istnieje kilka konwencji notacji dotyczących reprezentowania ułamków dziesiętnych powtarzanych. Żaden z nich nie jest powszechnie akceptowany.

W Stanach Zjednoczonych , Kanadzie , Indiach , Francji , Niemczech , Szwajcarii , Czechach i Słowacji konwencja polega na narysowaniu poziomej linii ( vinculum ) nad repetycją . (Patrz przykłady w tabeli poniżej, kolumna Vinculum.)
W Wielkiej Brytanii , Nowej Zelandii , Australii , Indiach , Korei Południowej i Chinach kontynentalnych konwencja polega na umieszczaniu kropek nad skrajnymi cyframi powtórzenia . (Patrz przykłady w tabeli poniżej, kolumna Kropki.)
W niektórych częściach Europy , Wietnamie i Rosji konwencja polega na umieszczeniu powtórek w nawiasach . (Patrz przykłady w tabeli poniżej, kolumna Nawiasy.) Może to powodować pomyłki z zapisem dla niepewności standardowej .
W Hiszpanii i niektórych krajach Ameryki Łacińskiej notacja łukowa nad powtórzeniem jest również używana jako alternatywa dla notacji vinculum i kropki. (Patrz przykłady w tabeli poniżej, kolumna Arc.)
Nieformalnie, powtarzające się ułamki dziesiętne są często reprezentowane przez wielokropek (trzy kropki, 0,333...), zwłaszcza gdy poprzednie konwencje zapisu są po raz pierwszy nauczane w szkole. Ten zapis wprowadza niepewność co do tego, które cyfry powinny się powtarzać, a nawet czy powtórzenie w ogóle występuje, ponieważ takie elipsy są również stosowane dla liczb niewymiernych ; Na przykład $π$ można przedstawić jako 3.14159....

Przykłady
Frakcja	Vinculum	Kropki	Zdanie wtrącone	Łuk	Elipsa
1/9	0. 1	${\ Displaystyle 0. {\ kropka {1}}}$	0.(1)	${\ Displaystyle 0. {\ przesłonięty {\ zmarszczenie brwi} {1}}}$	0.111...
1/3 = 3/9	0. 3	${\ Displaystyle 0. {\ kropka {3}}}$	0.(3)	${\ Displaystyle 0. {\ przesłonięty {\ zmarszczenie brwi} {3}}}$	0,333...
2/3 = 6/9	0. 6	${\ Displaystyle 0. {\ kropka {6}}}$	0.(6)	${\ Displaystyle 0. {\ przesłonięty {\ marszczy brwi} {6}}}$	0,666...
9/11 = 81/99	0. 81	${\ Displaystyle 0. {\ kropka {8}} {\ kropka {1}}}$	0.(81)	${\ Displaystyle 0. {\ przesłonięty {\ marszczy brwi} {81}}}$	0,8181...
7/12 = 525/900	0,58 3	${\ Displaystyle 0.58 {\ kropka {3}}}$	0,58(3)	${\ Displaystyle 0.58 {\ przesłonięty {\ zmarszczenie brwi} {3}}}$	0,58 333 ...
1/7 = 142857/999999	0. 142857	${\ Displaystyle 0. {\ kropka {1}} 4285 {\ kropka {7}}}$	0.(142857)		0.142857 142857 ...
1/81 = 12345679/999999999	0. 012345679	${\ Displaystyle 0. {\ kropka {0}} 1234567 {\ kropka {9}}}$	0. (012345679)		0.012345679 012345679 ...
22/7 = 3142854/999999	3. 142857	${\ Displaystyle 3. {\ kropka {1}} 4285 {\ kropka {7}}}$	3.(142857)		3.142857 142857 ...

W języku angielskim istnieją różne sposoby głośnego odczytywania ułamków dziesiętnych powtarzanych. Na przykład, 1.2 34 może brzmieć „jeden przecinek dwa powtarzający się trzy cztery”, „jeden przecinek dwa powtarzający się trzy cztery”, „jeden przecinek dwa powtarzający się trzy cztery”, „jeden przecinek dwa powtórz trzy cztery” lub „jeden przecinek dwa w nieskończoność”. trzy cztery".

Rozszerzenie dziesiętne i sekwencja rekurencyjna

W celu zamiany liczby wymiernej reprezentowanej jako ułamek na postać dziesiętną można użyć dzielenia długiego . Rozważmy na przykład liczbę wymierną5/74:

        0.0675
   74 ) 5.00000
        4.44
          560
          518
           420
           370
            500

itd. Zauważ, że na każdym kroku mamy resztę; kolejne reszty pokazane powyżej to 56, 42, 50. Kiedy dochodzimy do 50 jako reszty i obniżamy „0”, dzielimy 500 przez 74, co jest tym samym problemem, z którym zaczęliśmy. Dlatego powtórzenie dziesiętne: 0,0675 675 675 .....

Każda liczba wymierna jest albo końcowym, albo powtarzalnym dziesiętnym

Dla dowolnego dzielnika może wystąpić tylko skończenie wiele różnych reszt. W powyższym przykładzie 74 możliwe reszty to 0, 1, 2, ..., 73. Jeśli w dowolnym punkcie dzielenia reszta wynosi 0, to rozwinięcie kończy się w tym punkcie. Wtedy długość powtórzenia, zwana również „kropką”, jest definiowana jako 0.

Jeśli 0 nigdy nie występuje jako reszta, to proces dzielenia trwa w nieskończoność i ostatecznie musi wystąpić reszta, która miała miejsce wcześniej. Następny krok w dzieleniu da tę samą nową cyfrę w ilorazie i tę samą nową resztę, jak poprzednio reszta była taka sama. Dlatego następujący podział powtórzy te same wyniki. Powtarzający się ciąg cyfr nazywany jest „repetend”, który ma określoną długość większą niż 0, zwany również „kropką”.

Każda powtarzająca się lub końcowa liczba dziesiętna jest liczbą wymierną

Każda powtarzająca się liczba dziesiętna spełnia równanie liniowe o współczynnikach całkowitych, a jej unikalnym rozwiązaniem jest liczba wymierna. Aby zilustrować ten ostatni punkt, liczba α = 5,8144144144... powyżej spełnia równanie 10000 α − 10 α = 58144.144144... − 58.144144... = 58086 , którego rozwiązaniem jest α =58086/9990 = 3227/555. Poniżej opisano proces znajdowania tych współczynników całkowitych .

Tabela wartości

frakcja	rozwinięcie dziesiętne	ℓ ₁₀
1/2	0,5	0
1/3	0. 3	1
1/4	0,25	0
1/5	0,2	0
1/6	0,1 6	1
1/7	0. 142857	6
1/8	0,125	0
1/9	0. 1	1
1/10	0,1	0
1/11	0. 09	2
1/12	0,08 3	1
1/13	0. 076923	6
1/14	0,0 714285	6
1/15	0,0 6	1
1/16	0,0625	0

frakcja	rozwinięcie dziesiętne	ℓ ₁₀
1/17	0. 0588235294117647	16
1/18	0.0 5	1
1/19	0. 052631578947368421	18
1/20	0,05	0
1/21	0. 047619	6
1/22	0.0 45	2
1/23	0. 0434782608695652173913	22
1/24	0,041 6	1
1/25	0,04	0
1/26	0,0 384615	6
1/27	0. 037	3
1/28	0,03 571428	6
1/29	0. 0344827586206896551724137931	28
1/30	0,0 3	1
1/31	0. 032258064516129	15

frakcja	rozwinięcie dziesiętne	ℓ ₁₀
1/32	0,03125	0
1/33	0. 03	2
1/34	0.0 2941176470588235	16
1/35	0,0 285714	6
1/36	0,02 7	1
1/37	0. 027	3
1/38	0.0 263157894736842105	18
1/39	0. 025641	6
1/40	0,025	0
1/41	0. 02439	5
1/42	0,0 238095	6
1/43	0. 023255813953488372093	21
1/44	0,02 27	2
1/45	0,0 2	1
1/46	0.0 2173913043478260869565	22

Tym samym ułamek jest ułamkiem jednostkowym 1/na ℓ ₁₀ to długość (dziesiętnego) powtórzenia.

Długości powtórzeń 1/n, n = 1, 2, 3, ..., są:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (sekwencja A051626 w OEIS ).

Powtarza się 1/n, n = 1, 2, 3, ..., są:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (sekwencja A036275 w OEIS ).

Powtarzające się długości 1/P, p = 2, 3, 5, ... ( n- ta liczba pierwsza), to:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (sekwencja A002371 w OEIS ).

Najmniejsze liczby pierwsze p dla których1/Pma długość powtórzeń n , n = 1, 2, 3, ..., są:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (sekwencja A007138 w OEIS ).

Najmniejsze liczby pierwsze p dla którychk/Pma n różnych cykli ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., są:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (sekwencja A054471 w OEIS ).

Dla porównania długości powtórzeń ułamków binarnych 1/n, n = 1, 2, 3, ..., są:

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (sekwencja A007733 w OEIS ) .

Ułamki z pierwszymi mianownikami

Frakcję w najniższych warunkach z głównego mianownika innych niż 2 lub 5, (to jest względnie pierwsze dla 10) zawsze wywołuje powtarzające się po przecinku. Długość powtórzenia (okres powtarzającego się segmentu dziesiętnego)1/Pjest równa kolejności 10 modulo p . Jeśli 10 jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p , długość powtórzenia jest równa p − 1; jeśli nie, długość powtórzenia jest współczynnikiem p − 1. Wynik ten można wywnioskować z małego twierdzenia Fermata , które mówi, że 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

Powtórzenie o podstawie 10 odwrotności dowolnej liczby pierwszej większej niż 5 jest podzielne przez 9.

Jeśli długość powtórzenia 1/Pponieważ liczba pierwsza p jest równa p − 1 to powtórzenie wyrażone jako liczba całkowita nazywa się liczbą cykliczną .

Liczby cykliczne

Przykładami ułamków należących do tej grupy są:

1/7= 0. 142857 , 6 powtarzających się cyfr
1/17= 0,0588235294117647 , 16 powtarzających się cyfr
1/19= 0,052631578947368421 , 18 powtarzających się cyfr
1/23= 0.0434782608695652173913 , 22 powtarzające się cyfry
1/29= 0.0344827586206896551724137931 , 28 powtarzających się cyfr
1/47= 0.00212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 powtarzających się cyfr
1/59= 0.0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 powtarzających się cyfr
1/61= 0.016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 powtarzających się cyfr
1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 powtarzających się cyfr

Lista może dalej obejmować ułamki 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193itp. (sekwencja A001913 w OEIS ).

Każda właściwa wielokrotność liczby cyklicznej (czyli wielokrotność mająca taką samą liczbę cyfr) jest rotacją:

1/7 = 1 × 0,142857... = 0,142857...
2/7 = 2 × 0,142857... = 0,285714...
3/7 = 3 × 0,142857... = 0,428571...
4/7 = 4 × 0,142857... = 0,571428...
5/7 = 5 × 0,142857... = 0,714285...
6/7 = 6 × 0,142857... = 0,857142...

Przyczyna zachowania cyklicznego jest oczywista z ćwiczenia arytmetycznego polegającego na długim dzieleniu 1/7: sekwencyjne reszty są sekwencją cykliczną {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Zobacz także artykuł 142,857, aby uzyskać więcej właściwości tej liczby cyklicznej.

Ułamek, który jest cykliczny, ma zatem powtarzający się dziesiętny o parzystej długości, który dzieli się na dwie sekwencje w formie dopełnienia do dziewiątek . Na przykład1/7 zaczyna się '142' i następuje '857', podczas gdy 6/7(przez obrót) rozpoczyna „857”, a następnie swoich dziewiątek dopełniacza «142».

Właściwa Prime jest podstawowym P , który kończy się cyfrą 1 w podstawie 10 oraz którego odwrotność w bazie 10 ma repetend o długości P - 1. W takich bodźców każda cyfra 0, 1, ..., 9 pojawia się w powtarzających sekwencjonować taką samą liczbę razy, jak każda inna cyfra (mianowicie,p − 1/10czasy). Oni są:

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (sekwencja A073761 w OEIS ).

Liczba pierwsza to właściwa liczba pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy jest to pełna liczba pierwsza i jest zgodna z 1 mod 10.

Jeśli liczba pierwsza p jest zarówno pełną pontyną liczbą pierwszą, jak i bezpieczną liczbą pierwszą , wtedy1/Pwygeneruje strumień p − 1 cyfr pseudolosowych . Te liczby pierwsze są

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823,... (sekwencja A000353 w OEIS ).

Inne odwrotności liczb pierwszych

Niektóre odwrotności liczb pierwszych, które nie generują liczb cyklicznych, to:

1/3= 0. 3 , który ma okres (długość repetend) 1.
1/11= 0. 09 , która ma okres 2.
1/13= 0.076923 , który ma okres 6.
1/31= 0.0032258064516129 , który ma okres 15.
1/37= 0,027 , który ma okres 3.
1/41= 0,02439 , który ma okres 5.
1/43= 0.0 023255813953488372093 , który ma okres 21.
1/53= 0.0188679245283 , który ma okres 13.
1/67= 0.014925373134328358208955223880597 , który ma okres 33.

(sekwencja A006559 w OEIS )

Powodem jest to, że 3 jest dzielnikiem 9, 11 jest dzielnikiem 99, 41 jest dzielnikiem 99999 itd. Aby znaleźć okres 1/P, możemy sprawdzić, czy liczba pierwsza p dzieli pewną liczbę 999...999, w której liczba cyfr dzieli p − 1. Ponieważ okres nigdy nie jest większy niż p − 1, możemy to uzyskać obliczając10 ^{p −1} − 1/P. Na przykład za 11 dostajemy

{\ Displaystyle {\ Frac {10 ^ {11-1}-1} {11}} = 909090909}

a następnie przez inspekcję znajdź powtórzenie 09 i okres 2.

Te odwrotności liczb pierwszych mogą być powiązane z kilkoma sekwencjami powtarzających się liczb dziesiętnych. Na przykład wielokrotności1/13można podzielić na dwa zestawy, o różnych powtórzeniach. Pierwszy zestaw to:

1/13 = 0,076923...
10/13 = 0,769230...
9/13 = 0,692307...
12/13 = 0,923076...
3/13 = 0,230769...
4/13 = 0,307692...,

gdzie powtórzeniem każdej frakcji jest cykliczne przegrupowanie 076923. Drugi zestaw to:

2/13 = 0,153846...
7/13 = 0,538461...
5/13 = 0,384615...
11/13 = 0,846153...
6/13 = 0,461538...
8/13 = 0,615384...,

gdzie powtórzenie każdej frakcji jest cykliczną rearanżacją 153846.

Ogólnie, zbiór właściwych wielokrotności odwrotności liczby pierwszej p składa się z n podzbiorów, z których każdy ma długość powtórzeń k , gdzie nk = p − 1.

Reguła wszystkich

Dla dowolnej liczby całkowitej n , długość L ( n ) dziesiętnego powtórzenia1/ndzieli φ ( n ), gdzie φ jest funkcją totient . Długość jest równa φ ( n ) wtedy i tylko wtedy , gdy 10 jest pierwiastkiem pierwotnym modulo n .

W szczególności wynika z tego, że L ( p ) = p − 1 wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą, a 10 jest pierwiastkiem pierwotnym modulo p . Następnie rozwinięcia dziesiętnen/Pdla n = 1, 2, ..., p -1, wszystkie mają okres p -1 i różnią się tylko permutacją cykliczną. Takie liczby p nazywane są pełnymi powtórzeniami liczbami pierwszymi .

Odwrotności złożonych liczb całkowitych względnie pierwszych do 10

Jeśli p jest liczbą pierwszą inną niż 2 lub 5, dziesiętna reprezentacja ułamka1/p ² powtarza:

149= 0,020408163265306122448979591836734693877551 .

Okres (długość powtórzenia) L (49) musi być współczynnikiem λ (49) = 42, gdzie λ ( n ) jest znana jako funkcja Carmichaela . Wynika to z twierdzenia Carmichaela, które mówi, że jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to λ ( n ) jest najmniejszą liczbą całkowitą m taką, że

{\ Displaystyle a ^ {m} \ równoważ 1 {\ pmod {n}}}

dla każdej liczby całkowitej a, która jest względnie pierwsza do n .

Okres 1/p ²jest zwykle pT _p , gdzie T _p jest okresem1/P. Znane są trzy liczby pierwsze, dla których nie jest to prawdą, a dla tych z okresu1/p ² jest taki sam jak okres 1/Pponieważ p ² dzieli 10 ^{p -1} -1. Te trzy liczby pierwsze to 3, 487 i 56598313 (sekwencja A045616 w OEIS ).

Podobnie okres 1/p ^kwynosi zwykle p ^{k –1}T _p

Jeśli p i q są liczbami pierwszymi innymi niż 2 lub 5, dziesiętna reprezentacja ułamka1/pqpowtarza. Przykładem jest1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM(6, 16) = 48,

gdzie LCM oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność .

Okres T z1/pqjest współczynnikiem λ ( pq ) i w tym przypadku wynosi 48:

1119= 0,008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Okres T z1/pqto LCM( T _p , T _q ), gdzie T _p jest okresem1/Pa T _q jest okresem1/Q.

Jeśli p , q , r , itd. są liczbami pierwszymi innymi niż 2 lub 5, a k , ℓ , m , itd. są dodatnimi liczbami całkowitymi, to

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {p ^ {k} q ^ {\ ell} r ^ {m} \ cdots}}}

jest powtarzalnym dziesiętnym z okresem

{\ Displaystyle \ operatorname {LCM} (T_ {p ^ {k}}, T_ {q ^ {\ ell}}, T_ {r ^ {m}}, \ ldots)}

gdzie T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} ,... są odpowiednio okresem ułamków dziesiętnych powtarzanych1/p ^k, 1/q ^ℓ, 1/r ^m,... jak zdefiniowano powyżej.

Odwrotności liczb całkowitych, które nie są względnie pierwsze do 10

Liczba całkowita, która nie jest względnie pierwsza do 10, ale ma czynnik pierwszy inny niż 2 lub 5, ma odwrotność, która ostatecznie jest okresowa, ale z niepowtarzającą się sekwencją cyfr, które poprzedzają powtarzającą się część. Wzajemność można wyrazić jako:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 ^ {a} 5 ^ {b} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}

gdzie a i b nie są oba zerami.

Ta frakcja może być również wyrażona jako:

{\ Displaystyle {\ Frac {5 ^ {ab}} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}

jeśli a > b , lub jako

{\ Displaystyle {\ Frac {2 ^ {ba}} {10 ^ {b} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}

jeśli b > a , lub jako

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}

jeśli a = b .

Ułamek dziesiętny ma:

Początkowy stan przejściowy składający się z max( a , b ) cyfr po przecinku. Niektóre lub wszystkie cyfry w stanie nieustalonym mogą być zerami.
Kolejne powtórzenie, które jest takie samo jak dla ułamka 1/p ^k q ^ℓ ⋯.

Na przykład 1/28= 0,03 571428 :

a = 2, b = 0, a pozostałe czynniki p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
są 2 początkowe niepowtarzające się cyfry, 03; oraz
jest 6 powtarzających się cyfr, 571428, tyle samo co 1/7 ma.

Zamiana powtarzanych ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe

Mając powtarzalny dziesiętny, można obliczyć ułamek, który go utworzył. Na przykład:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {1} x i = 0,333333 \ ldots \ \ 10 x = 3.333333 \ ldots \ quad i {\ tekst {(mnożąc każdą stronę powyższej linii przez 10)}} \ \ 9 x = 3 i { \text{(odjęcie pierwszej linii od drugiej)}}\\x&={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}&{\text{(redukcja do najniższych wartości) }}\\\end{alignedat}}}

Inny przykład:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {1} x& = \ \ \ \ 0.836363636 \ ldots \ \ 10 x& = \ \ \ \ 8.363636 \ ldots \ quad & {\ tekst {(mnożąc przez potęgę 10, aby przenieść dziesiętny do początek powtórzenia)}}\\1000x&=836.36363636\ldots &{\text{(mnożenie przez potęgę 100, aby przesunąć dziesiętny na koniec pierwszego powtarzalnego dziesiętnego)}}\\990x&=828&{\text{(odejmowanie w celu wyczyszczenia dziesiętne)}}\\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{ wyrównany}}}

Skrót

Poniższą procedurę można zastosować w szczególności, jeśli powtórzenie ma n cyfr, z których wszystkie są równe 0, z wyjątkiem ostatniej, która wynosi 1. Na przykład dla n = 7:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x & = 0,00000100000010000001 \ ldots \ \ 10 ^ {7} x & = 1.000000100000010000001 \ ldots \ \ \ lewy (10 ^ {7} -1 \ prawy) x = 9999999 x & = 1 \ \ x & = {\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{wyrównany}}}

Więc ten konkretny powtarzający się dziesiętny odpowiada ułamkowi 1/10 ⁿ − 1, gdzie mianownik jest liczbą zapisaną jako n cyfr 9. Wiedząc o tym, ogólną powtarzalną liczbę dziesiętną można wyrazić jako ułamek bez konieczności rozwiązywania równania. Na przykład można by argumentować:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 7.48181818 \ ldots & = 7,3 + 0,18181818 \ ldots \ \ [8 pkt] i = {\ Frac {73} {10}} + {\ Frac {18} {99}} = {\ frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[ 12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{wyrównany}}}

Możliwe jest uzyskanie wzoru ogólnego wyrażającego ułamek dziesiętny powtarzalny z okresem n- cyfrowym (długość powtórzenia), rozpoczynający się zaraz po przecinku, jako ułamek:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x i = 0. {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \ \ 10 ^ {n} x i = a_ {1} a_ {2} \cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_ {1}a_{2}\cdots a_{n}\\x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{wyrównany}}}

Mówiąc dokładniej, otrzymujemy następujące przypadki:

Jeśli powtarzający się dziesiętny jest między 0 a 1, a powtarzający się blok ma n cyfr, pierwszy raz po przecinku, to ułamek (niekoniecznie zmniejszony) będzie liczbą całkowitą reprezentowaną przez n- cyfrowy blok podzieloną przez jeden reprezentowany przez n cyfr 9. Na przykład

0.444444... = 4/9 ponieważ powtarzający się blok to 4 (blok 1-cyfrowy),
0,565656... = 56/99 ponieważ powtarzający się blok to 56 (blok 2-cyfrowy),
0,012012... = 12/999ponieważ powtarzający się blok to 012 (blok 3-cyfrowy); to dalej redukuje się do4/333.
0,999999... = 9/9 = 1, ponieważ powtarzający się blok to 9 (również 1-cyfrowy blok)

Jeśli powtarzania dziesiętnej, jak wyżej, z tym że nie są K (dodatkowo) cyfr 0 pomiędzy przecinku i powtarzalną n -cyfrowy bloku, to można po prostu dodać K cyfry od 0 po n cyfry 9 mianownika (i, wcześniej ułamek może być następnie uproszczony). Na przykład,

0,000444... = 4/9000 ponieważ powtarzający się blok to 4, a ten blok jest poprzedzony 3 zerami,
0,005656... = 56/9900 ponieważ powtarzający się blok to 56 i jest poprzedzony 2 zerami,
0,00012012... = 12/99900 = 1/8325 ponieważ powtarzający się blok to 012 i jest poprzedzony 2 zerami.

Dowolny powtarzalny dziesiętny inny niż opisany powyżej może być zapisany jako suma kończącego dziesiętnego i powtarzalnego dziesiętnego jednego z dwóch powyższych typów (właściwie wystarczy pierwszy typ, ale może to wymagać, aby kończący dziesiętny był ujemny). Na przykład,

1,23444... = 1,23 + 0,00444... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
- lub alternatywnie 1,23444... = 0,79 + 0,44444... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
- lub alternatywnie 0,3789789... = -0,6 + 0,9789789... = -6/10 + 978/999 = −5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Jeszcze szybszą metodą jest całkowite zignorowanie przecinka dziesiętnego i postępowanie w ten sposób

1,23444... = 1234 – 123/900 = 1111/900 (mianownik ma jedną 9 i dwie zera, ponieważ jedna cyfra się powtarza, a po przecinku są dwie niepowtarzające się cyfry)
0,3789789... = 3789 - 3/9990 = 3786/9990 (mianownik ma trzy dziewiątki i jedno 0, ponieważ trzy cyfry się powtarzają, a po przecinku jest jedna niepowtarzająca się cyfra)

Wynika z tego, że każdy powtarzający się dziesiętny z okresem n i k cyfr po przecinku, które nie należą do powtarzającej się części, może być zapisany jako (niekoniecznie zmniejszony) ułamek, którego mianownik wynosi (10 ⁿ − 1) 10 ^k .

Odwrotnie, okres powtarzalnego dziesiętnego ułamka C/Dbędzie (co najwyżej) najmniejszą liczbą n taką, że 10 ⁿ − 1 jest podzielne przez d .

Na przykład ułamek 2/7ma d = 7, a najmniejsze k, które dzieli 10 ^k − 1 przez 7, to k = 6, ponieważ 999999 = 7 × 142857. Okres ułamka2/7 wynosi zatem 6.

Powtarzające się ułamki dziesiętne jako szereg nieskończony

Powtarzający się dziesiętny może być również wyrażony jako nieskończony szereg . Oznacza to, że powtarzalny dziesiętny może być uważany za sumę nieskończonej liczby liczb wymiernych. Weźmy najprostszy przykład:

{\ Displaystyle 0. {\ overline {1}} = {\ Frac {1} {10}} + {\ Frac {1} {100}} + {\ Frac {1} {1000}} + \ cdots = \ suma _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}

Powyższy szereg jest szeregiem geometrycznym, którego pierwszym wyrazem jest1/10 i wspólny czynnik 1/10. Ponieważ wartość bezwzględna współczynnika wspólnego jest mniejsza niż 1, możemy powiedzieć, że szereg geometryczny jest zbieżny i znaleźć dokładną wartość w postaci ułamka za pomocą następującego wzoru, gdzie a jest pierwszym członem szeregu, a r jest wspólny czynnik.

{\ Displaystyle {\ Frac {a} {1-r}} = {\ Frac {\ Frac {1} {10}} {1-{\ Frac {1} {10}}}} = {\ Frac {1 }{10-1}}={\frac {1}{9}}}

Podobnie,

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} 0. {\ overline {142857}} i = {\ Frac {142857} {10 ^ {6}}} + {\ Frac {142857} {10 ^ {12}}} + {\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\suma _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px] \implikuje &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6} }}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{wyrównany}}}

Mnożenie i permutacja cykliczna

Cykliczne zachowanie powtarzających się liczb dziesiętnych w mnożeniu prowadzi również do konstruowania liczb całkowitych, które są cyklicznie permutowane po pomnożeniu przez określone liczby. Na przykład 102564 × 4 = 410256 . 102564 jest powtórzeniem4/39 i 410256 powtórzenie 16/39.

Inne właściwości powtarzalnych długości

Różne własności długości powtórzeń (okresów) podają Mitchell i Dickson.

Okres 1/kdla liczby całkowitej k jest zawsze ≤ k − 1.
Jeśli p jest liczbą pierwszą, okres1/Pdzieli się równomiernie na p − 1.
Jeżeli k jest złożony, okres1/kjest ściśle mniejsza niż k − 1.
Okres C/k, dla c względnie pierwsza do k , równa się okresowi1/k.
Jeśli k = 2 ^a 5 ^b n gdzie n > 1 i n nie jest podzielne przez 2 lub 5, to długość transjentu1/kwynosi max( a , b ), a okres jest równy r , gdzie r jest najmniejszą liczbą całkowitą taką, że 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
Jeśli p , p′ , p″ ,... są różnymi liczbami pierwszymi, to okres1/p p " p" ⋯ równa się najmniejszej wspólnej wielokrotności okresów 1/P, 1/P', 1/P",....
Jeśli k i k′ nie mają wspólnych czynników pierwszych innych niż 2 lub 5, to okres1/kk′ równa się najmniejszej wspólnej wielokrotności okresów 1/k oraz 1/k′.
Dla liczby pierwszej p , jeśli

{\ Displaystyle {\ tekst {okres}} \ lewo ({\ Frac {1} {p}} \ prawej) = {\ tekst {okres}} \ lewo ({\ Frac {1} {p ^ {2}} }\right)=\cdots ={\text{okres}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}

dla niektórych m , ale

{\ Displaystyle {\ tekst {okres}} \ po lewej ({\ Frac {1} {p ^ {m}}} \ po prawej) \ neq {\ tekst {okres}} \ po lewej ({\ Frac {1} {p ^{m+1}}}\prawo),}

wtedy dla c ≥ 0 mamy

{\ Displaystyle {\ tekst {okres}} \ lewo ({\ Frac {1} {p ^ {m + c}}} \ prawej) = p ^ {c} \ cdot {\ tekst {okres}} \ lewo ( {\frac {1}{p}}\prawo).}

Jeśli p jest właściwą liczbą pierwszą kończącą się na 1, to znaczy, jeśli powtórzenie1/Pjest liczbą cykliczną o długości p − 1 i p = 10 h + 1 dla pewnego h , to każda cyfra 0, 1, ..., 9 pojawia się w powtórzeniu dokładnie h = p − 1/10 czasy.

Aby poznać inne właściwości powtórzeń, zobacz także.

Rozszerzenie na inne bazy

Różne cechy powtarzających się liczb dziesiętnych dotyczą reprezentacji liczb we wszystkich innych podstawach całkowitych, nie tylko o podstawie 10:

Każda liczba rzeczywista może być reprezentowana jako część całkowita, po której następuje podstawa (uogólnienie kropki dziesiętnej na systemy niedziesiętne), po której następuje skończona lub nieskończona liczba cyfr .
Jeśli zasadą jest liczba całkowita, sekwencja kończąca oczywiście reprezentuje liczbę wymierną.
Liczba wymierna ma ciąg kończący, jeśli wszystkie czynniki pierwsze mianownika w pełni zredukowanej postaci ułamkowej są również czynnikami podstawy. Liczby te tworzą gęsty zbiór w $Q$ i $R$ .
Jeśli pozycyjny system liczbowy jest systemem standardowym, to znaczy ma podstawę

{\ Displaystyle b \ w \ mathbb {Z} \ smallsetminus \ {-1,0, 1 \}}

w połączeniu z kolejnym ciągiem cyfr

{\ Displaystyle D: = \ {d_ {1}, d_ {1} +1, \ kropki, d_ {r} \}}

gdzie

r := | b |

,

d r := d 1 + r - 1

i

0 \in D

, to ciąg kończący jest oczywiście równoważny temu samemu ciągowi z niekończącą się powtarzającą się częścią składającą się z cyfry 0. Jeśli podstawa jest dodatnia, to istnieje porządek homomorfizm z porządku leksykograficznym z prawostronną nieskończone ciągi nad alfabetu

d

do jakiegoś zamkniętego przedziału liczb rzeczywistych, które odwzorowuje ciągi

0. 12 ... a n d b

i

0. 1 a 2 .. . (n + 1) d jeden

z

a i \in d

i

a n \neq d B

z tą samą liczbą rzeczywistą - i nie ma żadnych innych zduplikowane obrazy. W układzie dziesiętnym, na przykład, nie jest 0. 9 = 1 0 = 1; w zrównoważonym potrójnego systemu jest 0. 1 = 1. T = 12.

Liczba wymierna ma nieskończenie powtarzający się ciąg o skończonej długości $l$ , jeśli mianownik zredukowanego ułamka zawiera czynnik pierwszy, który nie jest czynnikiem o podstawie. Jeśli $q$ jest maksymalnym współczynnikiem zredukowanego mianownika, który jest względnie pierwszy względem podstawy, $l$ jest najmniejszym wykładnikiem takim, że $q$ dzieli $b l - 1$ . Jest to porządek multiplikatywny $or q (b)$ klasy reszt $b mod q ,$ który jest dzielnikiem funkcji Carmichaela $λ (q) ,$ która z kolei jest mniejsza niż $q$ . Powtarzająca się sekwencja jest poprzedzona stanem przejściowym o skończonej długości, jeśli zmniejszony ułamek dzieli również czynnik pierwszy z zasadą. Powtarzająca się sekwencja

{\ Displaystyle \ lewo (0. {\ overline {A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {\ ell}}} \ po prawej) _ {b}}

reprezentuje ułamek

{\ Displaystyle {\ Frac {(A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {\ ell}) _ {b}} {b ^ {l} -1}}.}

Liczba niewymierna ma reprezentację o nieskończonej długości, która z żadnego punktu nie jest nieskończenie powtarzającą się sekwencją o skończonej długości.

Na przykład w dwunastce ,1/2 = 0,6, 1/3 = 0,4, 1/4 = 0,3 i 1/6 = 0,2 wszystkie kończą się; 1/5= 0,2497 powtórzeń z długością okresu 4, w przeciwieństwie do równoważnego rozwinięcia dziesiętnego 0,2;1/7= 0,1 186A35 ma okres 6 w dwunastu, tak samo jak w systemie dziesiętnym.

Jeśli b jest liczbą całkowitą, a k jest liczbą całkowitą,

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {k}} = {\ Frac {1} {b}} + {\ Frac {(bk) ^ {1}} {b ^ {2}}} + {\ Frac { (sk)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(sk)^{3}}{b^{4}}}+{\frac {(sk)^{4}} {b^{5}}}+\cdots +{\frac {(bk)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots }

Na przykład 1/7 w dwunastu:

17 = (110 + 510 ² + 2110 ³ + A510 ⁴ + 44110 ⁵ + 198510 ⁶+ ...) _{podstawa 12}

co wynosi 0,186A35 (podstawa 12). 10 (podstawa 12) to 12 (podstawa 10), 10 ² (podstawa 12) to 144 (podstawa 10), 21 (podstawa 12) to 25 (podstawa 10), A5 (podstawa 12) to 125 (podstawa 10), . ...

Algorytm dla zasad dodatnich

Dla wymiernego $0 < P / Q < 1$ (oraz baza $b \in N >1$ ) istnieje następujący algorytm tworzący powtórzenie wraz z jego długością:

function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static digits = "0123..."; // up to the digit with value b–1
begin
  s = "";   // the string of digits
  pos = 0; // all places are right to the radix point
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // the position of the place with remainder p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // index z of digit within: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = b*p − z*q;    // 0 ≤ p < q
    if p = 0 then L = 0; return (s); end if
    s = s . substring(digits, z, 1); // append the character of the digit
    pos += 1;
  end while
  L = pos - occurs[p]; // the length of the repetend (being < q)
  // mark the digits of the repetend by a vinculum:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

Pierwsza podświetlona linia oblicza cyfrę z .

Kolejny wiersz oblicza nową resztę p′ z dzielenia modulo mianownik q . W konsekwencji funkcji podłogi floor mamy

{\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\lewo\lpodłoga {\frac {bp}{q}}\prawo \rpodłoga \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},

zatem

bp-q<zq\quad \implikuje \quad p':=bp-zq<q

oraz

zq\leq bp\quad \implikuje \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.

Ponieważ wszystkie te reszty p są nieujemnymi liczbami całkowitymi mniejszymi niż q , może być ich tylko skończona liczba z konsekwencją, że muszą się powtarzać w whilepętli. Taka nawrót jest wykrywana przez tablicę asocjacyjną occurs . Nowa cyfra z jest utworzona na żółtej linii, gdzie p jest jedyną niestałą. Długość L w repetend równa liczbę reszt (patrz także sekcja Każda liczba wymierna albo zakończenia lub powtarzania dziesiętne ).

Aplikacje do kryptografii

Powtarzające się ułamki dziesiętne (nazywane również sekwencjami dziesiętnymi) znalazły zastosowanie w kodowaniu kryptograficznym i korekcji błędów. W tych zastosowaniach zwykle stosuje się powtarzanie ułamków dziesiętnych do podstawy 2, co powoduje powstawanie ciągów binarnych. Maksymalna długość ciągu binarnego dla1/P(gdy 2 jest pierwiastkiem pierwotnym z p ) jest dane wzorem:

{\ Displaystyle a (i) = 2 ^ {i} {\ bmod {p}} {\ bmod {2}}}

Te sekwencje okresu p -1 mają funkcję autokorelacji, która ma ujemny szczyt -1 dla przesunięcia op − 1/2. Losowość tych sekwencji została zbadana za pomocą trudnych testów .

Zobacz też

Reprezentacja dziesiętna
Pełna żałoba prime
Twierdzenie Midy
Numer pasożytniczy
Końcowe zero
Unikalna liczba pierwsza
0,999... , powtarzalny dziesiętny równy jeden
Zasada szufladki

Referencje i uwagi

Zewnętrzne linki

Weisstein, Eric W. „Powtarzanie dziesiętne” . MatematykaŚwiat .

Languages

In other projects