Prawo Rayleigha-Jeansa - Rayleigh–Jeans law

Porównanie prawa Rayleigha-Jeansa z przybliżeniem Wiena i prawem Plancka dla ciała o temperaturze 5800K .

W fizyce The Prawo Rayleigha-dżinsy jest przybliżeniem widmowej promieniowaniem od promieniowania elektromagnetycznego , w funkcji długości fali ze ciało czarne przy określonej temperaturze przez klasyczne argumentów. Dla długości fali jest to: ${\ Displaystyle \ lambda}$

{\ Displaystyle B_ {\ Lambda} (T) = {\ Frac {2ck_ {\ operatorname {B}} T} {\ Lambda ^ {4}}}}

gdzie jest promieniowaniem widmowym , moc emitowana na jednostkę powierzchni emitującej, na steradian , na jednostkę długości fali; to prędkość światła ; jest stałą Boltzmanna ; i jest temperaturą w kelwinach . W przypadku częstotliwości wyrażenie to $B_{\lambda}$ $c$ $k_{\mathrm {B}}$ ${\ Displaystyle T}$ $\nu$

{\ Displaystyle B_ {\ nu} (T) = {\ Frac {2 \ nu ^ {2} k_ {\ operatorname {B}} T} {c ^ {2}}}.}

Prawo Rayleigha-Jeansa zgadza się z wynikami eksperymentów przy dużych długościach fal (niskich częstotliwościach), ale zdecydowanie nie zgadza się przy krótkich długościach fal (wysokie częstotliwości). Ta niespójność między obserwacjami a przewidywaniami fizyki klasycznej jest powszechnie znana jako katastrofa w ultrafiolecie . Jego rozdzielczość w 1900 r. wraz z wyprowadzeniem przez Maxa Plancka prawa Plancka , które daje prawidłowe promieniowanie we wszystkich częstotliwościach, była fundamentalnym aspektem rozwoju mechaniki kwantowej na początku XX wieku.

Rozwój historyczny

W 1900 roku brytyjski fizyk Lord Rayleigh wyprowadził zależność λ ^-4 prawa Rayleigha-Jeansa na podstawie klasycznych argumentów fizycznych i faktów empirycznych. Pełniejsze wyprowadzenie, które obejmowało stałą proporcjonalności, zostało przedstawione przez Rayleigha i Sir Jamesa Jeans w 1905 roku. Prawo Rayleigha-Jeansa ujawniło ważny błąd w teorii fizyki tamtych czasów. Prawo przewidywało produkcję energii, która rozbiega się w kierunku nieskończoności, gdy długość fali zbliża się do zera (gdy częstotliwość dąży do nieskończoności). Pomiary emisji spektralnej rzeczywistych ciał czarnych wykazały, że emisja zgadza się z prawem Rayleigha-Jeansa przy niskich częstotliwościach, ale rozbieżna przy wysokich częstotliwościach; osiągając maksimum, a następnie spadając z częstotliwością, więc całkowita wyemitowana energia jest skończona.

Porównanie z prawem Plancka

W 1900 roku Max Planck uzyskał empirycznie wyrażenie na promieniowanie ciała doskonale czarnego wyrażone jako długość fali λ = c / ν ( prawo Plancka ):

{\ Displaystyle B_ {\ Lambda} (T) = {\ Frac {2HC ^ {2}} {\ Lambda ^ {5}}} ~ {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {HC}} {\ Lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}},}

gdzie h jest stałą Plancka i $k B$ na stałą Boltzmanna . Prawo Plancka nie jest dotknięte katastrofą ultrafioletową i dobrze zgadza się z danymi eksperymentalnymi, ale jego pełne znaczenie (które ostatecznie doprowadziło do powstania teorii kwantowej) zostało docenione dopiero kilka lat później. Odkąd,

{\ Displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {x ^ {2} \ ponad 2!} + {x ^ {3} \ ponad 3!} + \ cdots.}

wtedy w granicy wysokich temperatur lub długich fal składnik wykładniczy staje się mały, a wykładniczy jest dobrze aproksymowany członem pierwszego rzędu wielomianu Taylora ,

{\ Displaystyle e ^ {\ Frac {HC}{\ Lambda k_ {\ Operator {B}} T}} \ około 1+ {\ Frac {HC}{\ Lambda k_ {\ Operator {B}} T}}. }

Więc,

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {HC}{\ Lambda k_ {\ operatorname {B}} T}} -1}} \ około {\ Frac {1} {\ Frac {HC} {\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}={\frac {\lambda k_{\mathrm {B} }T}{hc}}.}

Powoduje to redukcję formuły ciała doskonale czarnego Plancka do

{\ Displaystyle B_ {\ Lambda} (T) = {\ Frac {2ck_ {\ operatorname {B}} T} {\ Lambda ^ {4}}}}

który jest identyczny z klasycznie wyprowadzoną ekspresją Rayleigh-Jeans.

Ten sam argument można zastosować do promieniowania ciała doskonale czarnego wyrażonego jako częstotliwość ν = c / λ . W granicy małych częstotliwościach, czyli , ${\ Displaystyle h \ nu \ ll k_ {\ operatorname {B}} T}$

{\ Displaystyle B_ {\ nu} (T) = {\ Frac {2 h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {h \ nu} { k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\ok {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{h\nu }}={\frac {2\nu ^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.}

To ostatnie wyrażenie to prawo Rayleigha-Jeansa w granicy małych częstotliwości.

Spójność wyrażeń zależnych od częstotliwości i długości fali

Porównując wyrażenia prawa Rayleigha-Jeansa zależne od częstotliwości i długości fali, należy pamiętać, że

{\ Displaystyle {\ Frac {DP} {d {\ Lambda}}} = B_ {\ Lambda} (T)}

, oraz

{\ Displaystyle {\ Frac {dP} {d {\ nu}}} = B_ {\ nu} (T)}

W związku z tym,

{\ Displaystyle B_ {\ lambda} (T) \ neq B_ {\ nu} (T)}

nawet po podstawieniu wartości , ponieważ ma jednostki energii emitowanej na jednostkę czasu na jednostkę powierzchni emitującej powierzchni, na jednostkę kąta przestrzennego, na jednostkę długości fali , podczas gdy jednostki energii emitowane na jednostkę czasu na jednostkę powierzchni emitującej powierzchni, na jednostkę bryły kąt, na jednostkę częstotliwości . Aby być konsekwentnym, musimy użyć równości ${\ Displaystyle \ lambda = c/\nu}$ ${\ Displaystyle B_ {\ lambda} (T)}$ $B_{\nu}(T)$

{\ Displaystyle B_ {\ lambda} \ d \ lambda = dP = B_ {\ nu} \ d \ nu}

gdzie obie strony mają teraz jednostki mocy (energia emitowana na jednostkę czasu) na jednostkę powierzchni emitującej, na jednostkę kąta bryłowego.

Zaczynając od prawa Rayleigha-Jeansa w zakresie długości fali otrzymujemy

B_{\lambda}(T)=B_{\nu}(T)\times {\frac {d\nu}{d\lambda}}

gdzie

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ nu} {d \ lambda}} = {\ Frac {d} {d \ lambda}} \ lewo ({\ Frac {c} {\ lambda}} \ po prawej) = - { \frac {c}{\lambda ^{2}}}}

.

To prowadzi nas do znalezienia:

{\ Displaystyle B_ {\ Lambda} (T) = {\ Frac {2k_ {\ operatorname {B}} T \ lewo ({\ Frac {c} {\ Lambda}} \ po prawej) ^ {2}} {c ^ {2}}}\times {\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}}

.

Inne formy prawa Rayleigha-Jeansa

W zależności od aplikacji funkcję Plancka można wyrazić w 3 różnych formach. Pierwsza dotyczy energii emitowanej na jednostkę czasu na jednostkę powierzchni emitującej, na jednostkę kąta przestrzennego, na jednostkę widmową. W tej postaci funkcja Plancka i związane z nią granice Rayleigha-Jeansa są podane przez

{\ Displaystyle B_ {\ Lambda} (T) = {\ Frac {2HC ^ {2}} {\ Lambda ^ {5}}} ~ {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {HC}} {\ Lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\ok {\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}}

lub

{\ Displaystyle B_ {\ nu} (T) = {\ Frac {2 h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {h \ nu} { k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\ok {\frac {2k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{2}}}}

Alternatywnie, prawo Plancka można zapisać jako wyrażenie na emitowaną moc całkowaną po wszystkich kątach bryłowych. W tej postaci funkcja Plancka i związane z nią granice Rayleigha-Jeansa są podane przez ${\ Displaystyle I (\ nu, T) = \ pi B_ {\ nu} (T)}$

{\ Displaystyle I (\ Lambda, T) = {\ Frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ Lambda ^ {5}}} ~ {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {HC}} \lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\ok {\frac {2\pi ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}}

lub

{\ Displaystyle I (\ nu, T) = {\ Frac {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {h \ nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\ok {\frac {2\pi k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{2}}} }

W innych przypadkach prawo Plancka jest zapisane jak dla energii na jednostkę objętości (gęstość energii). W tej postaci funkcja Plancka i związane z nią granice Rayleigha-Jeansa są podane przez ${\ Displaystyle u (\ nu, T) = {\ Frac {4 \ pi} {c}} B_ {\ nu} (T)}$