Ranga (algebra liniowa) - Rank (linear algebra)

W liniowym Algebra The stopień z macierzy A jest wymiar w przestrzeni wektorowej (albo i rozpiętej ) pod względem kolumny. Odpowiada to maksymalnej liczbie liniowo niezależnych kolumn A . To z kolei jest identyczne z wymiarem przestrzeni wektorowej obejmującej jej wiersze. Ranga jest więc miarą „ niezdegeneracji ” układu równań liniowych i przekształcenia liniowego zakodowanego przez A . Istnieje wiele równoważnych definicji rangi. Ranga macierzy jest jedną z jej najbardziej podstawowych cech.

Ranga jest zwykle oznaczana przez rank( A ) lub rk( A ) ; czasami nawiasy nie są pisane, jak w randze A .

Główne definicje

W tej sekcji podajemy kilka definicji rangi macierzy. Możliwych jest wiele definicji; zobacz alternatywne definicje dla kilku z nich.

Stopień kolumny z A jest wymiar od miejsca kolumny z A , a stopień rzędu od A jest wymiarem powierzchni rzędu od A .

Podstawowym wynikiem algebry liniowej jest to, że ranga kolumny i ranga wiersza są zawsze równe. (Dwa dowody tego wyniku są podane w § Dowody, że kolumna ranga = wiersz ranking poniżej). Numer ten (czyli liczba liniowo niezależnych wierszy lub kolumn) jest po prostu nazywany rangę z A .

Mówi się, że macierz ma pełną rangę, jeśli jej ranga jest równa największej możliwej macierzy o tych samych wymiarach, czyli mniejszej z liczby wierszy i kolumn. Mówi się, że macierz ma niedostateczną rangę, jeśli nie ma pełnej rangi. Niedobór stopień macierzy jest różnica między pomniejszonego liczbę wierszy i kolumn, a rangi.

Ranga mapy lub operatora liniowego jest definiowana jako wymiar jej obrazu :${\ Displaystyle \ Phi}$

gdzie jest wymiarem przestrzeni wektorowej i jest obrazem mapy. ${\displaystyle \słabe}$${\displaystyle \operatorname {img}}$

Przykłady

Macierz

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} 1 i 0 i 1 \ \ -2 i 3 i 1 \ \ 3 i 3 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

ma rangę 2: pierwsze dwie kolumny są liniowo niezależne , więc ranga wynosi co najmniej 2, ale ponieważ trzecia jest kombinacją liniową pierwszych dwóch (druga jest odjęta od pierwszej), trzy kolumny są liniowo zależne, więc ranga musi być mniejsza niż 3.

Macierz

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 i 0 i 2 \ \ -1 i 1 i 0 i 2 \ koniec {bmatrix}}}$

ma rangę 1: istnieją niezerowe kolumny, więc ranga jest dodatnia, ale każda para kolumn jest liniowo zależna. Podobnie transpozycja

${\ Displaystyle A ^ {\ operatorname {T}} = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 1 \ \ 1 i 1 \ \ 0 i 0 \ \ 2 i 2 \ koniec {bmatrix}}}$

od ma stopień 1. Rzeczywiście, ponieważ wektory kolumny z A są wektory Wiersz transponowaniem z A , stwierdzenie, że stopień kolumny macierzy jest równy rząd pozycja odpowiada stwierdzeniem, że rząd macierzy są równe do stopnia jej transpozycji znaczy stopień ( ) = stopień ( ^T ) .

Obliczanie rangi macierzy

Pozycja z form schodkowych rzędowych

Powszechnym podejściem do znajdowania rangi macierzy jest sprowadzenie jej do prostszej postaci, ogólnie postaci schodkowej , za pomocą elementarnych operacji na wierszach . Operacje na wierszach nie zmieniają przestrzeni wierszy (stąd nie zmieniają rangi wierszy) i, będąc odwracalnymi, mapują przestrzeń kolumn na przestrzeń izomorficzną (stąd nie zmieniaj rangi kolumn). Gdy w macierz schodkowa, postój jest oczywiście taka sama dla szeregu rzędów i kolumn pozycji, i równe liczby czopów (lub zasadowych kolumny), a także liczbę niezerowych rzędów.

Na przykład macierz A dana przez

${\ Displaystyle A = {\ zacząć {bmatrix} 1 i 2 i 1 \ \ -2 i 3 i 1 \ \ 3 i 5 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

można umieścić w zredukowanej formie schodkowej za pomocą następujących podstawowych operacji na wierszach:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ zacząć {bmatrix} 1 i 2 i 1 \ \ 2 i 3 i 1 \ \ 3 i 5 i 0 \ koniec {bmatrix}} i \ xrightarrow {2R_ {1}+ R_ {2}\ do R_ {2} } {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\do R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3 \\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\do R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\ \0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~ .\koniec{wyrównany}}}$

Ostateczna macierz (w postaci schodkowej wierszy) ma dwa niezerowe wiersze, a zatem rząd macierzy A wynosi 2.

Obliczenie

W przypadku zastosowania do obliczeń zmiennoprzecinkowych na komputerach podstawowa eliminacja Gaussa ( dekompozycja LU ) może być zawodna i zamiast tego należy zastosować dekompozycję ujawniającą rangę. Skuteczną alternatywą jest dekompozycja według wartości osobliwych (SVD), ale istnieją inne, tańsze opcje, takie jak dekompozycja QR z ruchem obrotowym (tzw. faktoryzacja QR odsłaniająca rangę ), które są nadal bardziej solidne liczbowo niż eliminacja Gaussa. Numeryczne określenie rangi wymaga kryterium decydowania, kiedy wartość, taką jak wartość pojedyncza z SVD, należy traktować jako zero, co jest praktycznym wyborem, który zależy zarówno od macierzy, jak i zastosowania.

Dowodzi, że ranga kolumny = ranga wiersza

Fakt, że rzędy kolumn i wierszy dowolnej macierzy są formami równymi, ma fundamentalne znaczenie w algebrze liniowej. Dostarczono wiele dowodów. Jeden z najbardziej elementarnych został naszkicowany w § Rang z form schodkowych . Oto wariant tego dowodu:

Łatwo jest pokazać, że ani pozycja wiersza, ani pozycja kolumny nie są zmieniane przez elementarną operację na wierszu . Ponieważ eliminacja Gaussa przebiega przez elementarne operacje na wierszach, zredukowana forma schodkowa macierzy ma taką samą rangę wiersza i taką samą rangę kolumny jak oryginalna macierz. Dalsze elementarne operacje na kolumnach pozwalają na umieszczenie macierzy w postaci macierzy jednostkowej ewentualnie ograniczonej rzędami i kolumnami zer. Ponownie, nie zmienia to ani rangi wiersza, ani rangi kolumny. Jest natychmiastowe, że zarówno rangą wierszy, jak i kolumn wynikowej macierzy jest liczba jej niezerowych wpisów.

Przedstawiamy dwa inne dowody tego wyniku. Pierwsza wykorzystuje tylko podstawowe właściwości liniowych kombinacji wektorów i obowiązuje w każdym polu . Dowód opiera się na Wardle (2005). Drugi wykorzystuje ortogonalność i dotyczy macierzy nad liczbami rzeczywistymi ; opiera się na Mackiw (1995). Oba dowody można znaleźć w książce Banerjee i Roy (2014).

Dowód za pomocą kombinacji liniowych

Niech A będzie macierzą m × n . Niech rząd kolumny A będzie równy r i niech c ₁ , ..., c _r będzie dowolną podstawą przestrzeni kolumnowej A . Umieść je jako kolumny macierzy m × r C . Każda kolumna A może być wyrażona jako liniowa kombinacja r kolumn w C . Oznacza to, że istnieje macierz r × n R taka, że A = CR . R jest macierzą, której i- ta kolumna jest utworzona ze współczynników dających i- tą kolumnę A jako liniową kombinację r kolumn C . Innymi słowy, R jest macierzą zawierającą wielokrotności podstaw przestrzeni kolumnowej A (czyli C ), które są następnie używane do utworzenia A jako całości. Teraz każdy rząd A jest podany przez liniową kombinację r rzędów R . Dlatego wiersze R tworzą zbiór opinający przestrzeń wierszy A i, zgodnie z lematem wymiany Steinitza , rząd wiersza A nie może przekraczać r . Dowodzi to, że pozycja wiersza A jest mniejsza lub równa pozycji kolumny A . Ten wynik można zastosować do dowolnej macierzy, więc zastosuj wynik do transpozycji A . Ponieważ ranga wiersza transpozycji A jest rangą kolumny A, a rangą kolumny transpozycji A jest rangą wiersza A , ustanawia to odwrotną nierówność i otrzymujemy równość rangowania wiersza i rang kolumny . (Zobacz także Rozkład na czynniki rang .)

Dowód za pomocą ortogonalności

Niech A będzie macierzą m  ×  n z wpisami w liczbach rzeczywistych, których rząd rzędu wynosi r . Dlatego wymiar przestrzeni wierszy A wynosi r . Niech x ₁ , x ₂ , …, x _r będzie bazą przestrzeni wierszy A . Twierdzimy, że wektory A x ₁ , A x ₂ , …, A x _r są liniowo niezależne . Aby zobaczyć dlaczego, rozważmy liniową jednorodną relację obejmującą te wektory ze współczynnikami skalarnymi c ₁ , c ₂ , …, c _r :

${\ Displaystyle 0 = c_ {1} A \ mathbf {x} _ {1} + c_ {2} A \ mathbf {x} _ {2} + \ cdots + c_ {r} A \ mathbf {x} _ { r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}) =A\mathbf {v} ,}$

gdzie v = c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂ + ⋯ + c _r x _r . Dokonujemy dwóch obserwacji: (a) v jest kombinacją liniową wektorów w przestrzeni A , co implikuje, że v należy do przestrzeni A , oraz (b) ponieważ A v = 0 , wektor v jest prostopadły do każdy wektor wierszowy A, a zatem jest ortogonalny do każdego wektora w przestrzeni wierszowej A . Z faktów (a) i (b) łącznie wynika, że v jest prostopadłe do siebie, co dowodzi, że v = 0 lub, z definicji v ,

${\ Displaystyle c_ {1} \ mathbf {x} _ {1} + c_ {2} \ mathbf {x} _ {2} + \ cdots + c_ {r} \ mathbf {x} _ {r} = 0. }$

Przypomnijmy jednak, że x _i zostały wybrane jako podstawa przestrzeni wierszy A, a więc są liniowo niezależne. Oznacza to, że c ₁ = c ₂ = ⋯ = c _r = 0 . Wynika z tego, że A x ₁ , A x ₂ , …, A x _r są liniowo niezależne.

Teraz każdy A x _i jest oczywiście wektorem w przestrzeni kolumnowej A . Zatem A x ₁ , A x ₂ , …, A x _r jest zbiorem r liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni kolumn A i stąd wymiar przestrzeni kolumn A (tj. rząd kolumny A ) musi być co najmniej tak duży jak r . To dowodzi, że pozycja wiersza A nie jest większa niż pozycja kolumny A . Teraz zastosuj ten wynik do transpozycji A, aby uzyskać odwrotną nierówność i zawnioskuj jak w poprzednim dowodzie.

Alternatywne definicje

We wszystkich definicjach w tej sekcji, macierz A jest uważana za macierz m × n nad dowolnym polem F .

Wymiar obrazu

Biorąc pod uwagę macierz , istnieje powiązane mapowanie liniowe${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle f: F ^ {n} \ mapsto F ^ {m}}$

zdefiniowany przez

${\ Displaystyle f (x) = topór}$.

Ranga jest wymiarem wizerunku . Ta definicja ma tę zaletę, że można ją zastosować do dowolnej mapy liniowej bez potrzeby stosowania określonej macierzy. ${\ Displaystyle A}$${\displaystyle f}$

Ranga pod względem nieważności

Zgodnie z tą samą liniową odwzorowania F , jak wyżej, rangę n minus wymiar jądra z F . Twierdzenie rang-nullity mówi, że ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Ranga kolumny – wymiar przestrzeni kolumny

Rangę A jest maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn z A ; jest to wymiar w miejscu kolumny z A (powierzchni kolumny będącego podprzestrzeń F ^m generowanego przez kolumny A , który jest w rzeczywistości tylko obraz liniowej mapie f związanej z A ). ${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {1}, \ mathbf {c} _ {2}, \ kropki, \ mathbf {c} _ {k}}$

Rząd rzędu – wymiar przestrzeni rzędu

Rząd A to maksymalna liczba liniowo niezależnych rzędów A ; jest to wymiar w miejscu rzędu od A .

Stopień dekompozycji

Rząd A jest najmniejszą liczbą całkowitą k taką, że A można rozłożyć na czynniki jako , gdzie C jest macierzą m × k , a R jest macierzą k × n . W rzeczywistości dla wszystkich liczb całkowitych k następujące są równoważne: ${\ Displaystyle A = CR}$

1. ranga kolumny A jest mniejsza lub równa k ,
2. istnieje k kolumn o rozmiarze m takim, że każda kolumna A jest kombinacją liniową ,${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {1} \ ldots \ mathbf {c} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {1} \ ldots \ mathbf {c} _ {k}}$
3. istnieje matrycy C , a matryca R , tak że (przy k jest pozycja, to jest na czynniki stopień z A )${\displaystyle m\razy k}$${\displaystyle k\razy n}$${\ Displaystyle A = CR}$
4. istnieje k wierszy o rozmiarze n takim, że każdy wiersz A jest kombinacją liniową ,${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1} \ ldots \ mathbf {r} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1} \ ldots \ mathbf {r} _ {k}}$
5. rząd rzędu A jest mniejszy lub równy k .

Rzeczywiście, następujące równoważności są oczywiste: . Na przykład, aby udowodnić (3) z (2), weź C jako macierz, której kolumny pochodzą z (2). Aby udowodnić (2) z (3), weźmy jako kolumny C . ${\ Displaystyle (1) \ Strzałka w lewo (2) \ Strzałka w prawo (3) \ Strzałka w lewo (4) \ Strzałka w prawo (5)}$${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {1} \ ldots \ mathbf {c} _ {k}}$${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {1} \ ldots \ mathbf {c} _ {k}}$

Z równoważności wynika, że ​​ranga wiersza jest równa randze kolumny. ${\ Displaystyle (1) \ Strzałka w lewo (5)}$

Podobnie jak w przypadku charakteryzacji „wymiaru obrazu” można to uogólnić do definicji rangi dowolnego odwzorowania liniowego: rząd odwzorowania liniowego f  : V → W jest minimalnym wymiarem k przestrzeni pośredniej X taki że f można zapisać jako złożenie odwzorowania V → X i odwzorowania X → W . Niestety definicja ta nie sugeruje wydajnego sposobu obliczania rangi (dla której lepiej jest użyć jednej z alternatywnych definicji). Zobacz faktoryzację rang, aby uzyskać szczegółowe informacje.

Ranga pod względem wartości osobliwych

Ranga A jest równa liczbie niezerowych wartości osobliwych , która jest taka sama jak liczba niezerowych elementów diagonalnych w Σ w dekompozycji na wartości osobliwe .${\ Displaystyle A = U \ Sigma V ^ {*}}$

Ranga determinująca – wielkość największego nie znikającego nieletniego

Ranga A jest największym porządkiem dowolnego niezerowego mniejszego w A . (Porządek minor jest długością boku podmacierzy kwadratowej, której jest wyznacznikiem). Podobnie jak charakteryzacja rangi dekompozycji, nie daje to wydajnego sposobu obliczania rangi, ale jest przydatne teoretycznie: a pojedynczy niezerowy podrzędny świadczy o dolnym ograniczeniu (mianowicie jego kolejności) dla rangi macierzy, co może być przydatne (na przykład) do udowodnienia, że ​​pewne operacje nie obniżają rangi macierzy.

A niezanikające P -minor ( s x s podmatryca z niezerową determinanta) pokazuje, że wiersze i kolumny tego podmatryca są liniowo niezależne, a więc te rzędy i kolumny pełnej macierzy są liniowo niezależne (w pełnej macierzy) , więc ranga wiersza i kolumny jest co najmniej tak duża, jak ranga decydująca; jednak odwrotność jest mniej prosta. Równoważność rzędu wyznacznika i rzędu kolumny jest wzmocnieniem twierdzenia, że ​​jeśli rozpiętość n wektorów ma wymiar p, to p tych wektorów rozpina tę przestrzeń (równoważnie, że można wybrać zbiór rozpinający będący podzbiorem wektorów ): równoważność oznacza, że ​​podzbiór wierszy i podzbiór kolumn jednocześnie definiują odwracalną podmacierz (odpowiednio, jeśli rozpiętość n wektorów ma wymiar p, to p tych wektorów obejmuje przestrzeń i istnieje zbiór p współrzędne, od których są liniowo niezależne).

Ranga tensorów – minimalna liczba prostych tensorów

Rząd A jest najmniejszą liczbą k taką, że A można zapisać jako sumę k macierzy rzędu 1, gdzie macierz ma rząd 1 wtedy i tylko wtedy, gdy można ją zapisać jako niezerowy iloczyn wektora kolumny c i wektor wierszowy r . To pojęcie rzędu nazywa się rządem tensorowym ; można go uogólnić w interpretacji modeli separowalnych rozkładu na wartości osobliwe . ${\displaystyle c\cdot r}$

Nieruchomości

Zakładamy, że A jest macierzą m × n i definiujemy liniową mapę f przez f ( x ) = A x jak powyżej.

• Rząd macierzy m × n jest nieujemną liczbą całkowitą i nie może być większy niż m ani n . To jest,

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (A) \ leq \ min (m, n).}$

Mówi się, że macierz, która ma rząd min( m , n ) ma pełną rangę ; w przeciwnym razie macierz ma niedostateczną rangę .

• Tylko macierz zero ma rangę zero.
• f jest injektywny (lub „jeden do jednego”) wtedy i tylko wtedy, gdy A ma rangę n (w tym przypadku mówimy, że A ma pełną rangę kolumny ).
• f jest surjekcją (lub „nato”) wtedy i tylko wtedy, gdy A ma rangę m (w tym przypadku mówimy, że A ma pełną rangę wiersza ).
• Jeśli A jest macierzą kwadratową (tj. m = n ), to A jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy A ma rząd n (czyli A ma pełną rangę).
• Jeśli B jest dowolną macierzą n × k , to

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (AB) \ leq \ min (\ operatorname {ranga} (A), \ operatorname {ranga} (B)).}$

• Jeśli B jest macierzą n × k rzędu n , wtedy

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (AB) = \ operatorname {ranga} (A).}$

• Jeśli C jest macierzą l × m rzędu m , to

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (CA) = \ operatorname {ranga} (A).}$

• Rząd A jest równy r wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalna macierz m × m X i odwracalna macierz n × n Y taka, że

${\ Displaystyle XAY = {\ zacząć {bmatrix} I_ {r} i 0 \ \ 0 i 0 \ \ \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie I _r oznacza macierz tożsamości r × r .

• Nierówność rang Sylwestra : jeśli A jestmacierzą m × n , a B jest n × k , to

${\displaystyle \operatorname {ranga} (A)+\operatorname {ranga} (B)-n \leq \operatorname {ranga} (AB).}$

To szczególny przypadek następnej nierówności.

• Nierówność spowodowana przez Frobeniusa : jeśli zdefiniowane są AB , ABC i BC , to

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (AB) + \ operatorname {ranga} (BC) \ leq \ operatorname {ranga} (B) + \ operatorname {ranga} (ABC).}$

• Subaddytywność:

${\ Displaystyle \ Operatorname {ranga} (A + B) \ Leq \ Operatorname {ranga} (A) + \ Operatorname {ranga} (B)}$

gdy A i B mają ten sam wymiar. W konsekwencji macierz rang- k może być zapisana jako suma macierzy k rang-1, ale nie mniej.

• Ranga macierzy plus nieważność macierzy równa się liczbie kolumn macierzy. (To jest twierdzenie rang-nullity .)
• Jeśli A jest macierzą na liczbach rzeczywistych, to rząd A i rząd odpowiadającej mu macierzy Grama są równe. Tak więc dla prawdziwych matryc

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (A ^ {\ operatorname {T}} A) = \ operatorname {ranga} (AA ^ {\ operatorname {T}}) = \ operatorname {ranga} (A) = \ operatorname { ranga} (A^{\mathrm {T} }).}$

Można to wykazać, udowadniając równość ich pustych przestrzeni . Przestrzeń zerowa macierzy Grama dana jest przez wektory x dla których Jeśli ten warunek jest spełniony, mamy również${\ Displaystyle A ^ {\ operatorname {T}} A \ mathbf {x} = 0.}$${\ Displaystyle 0 = \ mathbf {x} ^ {\ operatorname {T}} A ^ {\ operatorname {T}} Ax = \ lewo | A \ mathbf {x} \ prawej | ^ {2}.}$

• Jeśli jest macierzą ciągu liczb zespolonych i oznacza sprzężoną liczbę zespoloną części A i A ^* koniugat transpozycję A (to jest sprzężona z A ), a następnie${\displaystyle {\overline {A}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} (A) = \ operatorname {ranga} ({\ overline {A}}) = \ operatorname {ranga} (A ^ {\ operator {T}}) = \ operatorname {ranga} ( A^{*})=\operatorname {ranga} (A^{*}A)=\operatorname {ranga} (AA^{*}).}$

Aplikacje

Jednym z użytecznych zastosowań obliczania rzędu macierzy jest obliczanie liczby rozwiązań układu równań liniowych . Zgodnie z twierdzeniem Rouché-Capelli , system jest niespójny, jeśli ranga macierzy rozszerzonej jest większa niż ranga macierzy współczynników . Jeśli natomiast rządy tych dwóch macierzy są równe, to system musi mieć co najmniej jedno rozwiązanie. Rozwiązanie jest unikalne wtedy i tylko wtedy, gdy ranga jest równa liczbie zmiennych. W przeciwnym razie rozwiązanie ogólne ma k wolnych parametrów, gdzie k jest różnicą między liczbą zmiennych a rangą. W tym przypadku (i zakładając, że układ równań jest w liczbach rzeczywistych lub zespolonych) układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W teorii sterowania rząd macierzy może być użyty do określenia, czy układ liniowy jest sterowalny , czy obserwowalny .

W dziedzinie złożoności komunikacji , ranga macierzy komunikacyjnej funkcji wyznacza granice ilości komunikacji potrzebnej dwóm stronom do obliczenia funkcji.

Uogólnienie

Istnieją różne uogólnienia pojęcia rangi na macierze nad dowolnymi pierścieniami , gdzie ranga kolumny, ranga wiersza, wymiar przestrzeni kolumn i wymiar przestrzeni wierszy macierzy mogą różnić się od innych lub mogą nie istnieć.

Myśląc o macierzach jako tensorach , rząd tensorów uogólnia się na dowolne tensory; dla tensorów rzędu większego niż 2 (macierze są tensorami rzędu 2), bardzo trudno jest obliczyć rangę, w przeciwieństwie do macierzy.

Istnieje pojęcie rangi dla gładkich odwzorowań między gładkimi rozmaitościami . Jest równy rządowi liniowemu pochodnej .

Macierze jako tensory

Ranga macierzy nie powinna być mylona z porządkiem tensorowym , który nazywa się rangą tensorową. Kolejność tensorów to liczba indeksów potrzebnych do napisania tensora , a zatem macierze mają porządek tensorów 2. Dokładniej, macierze są tensorami typu (1,1), posiadającymi jeden indeks wiersza i jeden indeks kolumny, zwany także porządkiem kowariantnym 1 i kontrawariantny rząd 1; zobacz Tensor (definicja wewnętrzna), aby uzyskać szczegółowe informacje.

Rząd tensorów macierzy może również oznaczać minimalną liczbę prostych tensorów potrzebnych do wyrażenia macierzy jako kombinacji liniowej i że ta definicja zgadza się z rzędem macierzy, jak tutaj omówiono.

Zobacz też

• Pozycja Matroid
• Rząd nieujemny (algebra liniowa)
• Ranga (topologia różnicowa)
• Wielokoliniowość
• Zależność liniowa

Uwagi

Bibliografia

Źródła

• Osra, Sheldona (2015). Algebra liniowa zrobione dobrze . Teksty licencjackie z matematyki (3rd ed.). Springer . Numer ISBN 978-3-319-11079-0.
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Skończenie wymiarowe przestrzenie wektorowe . Teksty licencjackie z matematyki (wyd. 2). Springer . Numer ISBN 0-387-90093-4.
• Hefferon, Jim (2020). Algebra Liniowa (wyd. 4). Numer ISBN 978-1-944325-11-4.
• Katznelson, Icchak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). (Zwięzłe) Wprowadzenie do algebry liniowej . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . Numer ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Romana, Stevena (2005). Zaawansowana Algebra Liniowa . Teksty licencjackie z matematyki (wyd. 2). Springer . Numer ISBN 0-387-24766-1.
• Valenza, Robert J. (1993) (1951). Algebra liniowa: wprowadzenie do matematyki abstrakcyjnej . Teksty licencjackie z matematyki (3rd ed.). Springer . Numer ISBN 3-540-94099-5.

Dalsza lektura

• Roger A. Horn i Charles R. Johnson (1985). Analiza macierzy . Numer ISBN 978-0-521-38632-6.
• Kaw, Autar K. Dwa rozdziały z książki Wprowadzenie do algebry macierzy: 1. Wektory [1] i układ równań [2]
• Mike Brookes: Instrukcja obsługi macierzy. [3]