Macierz czwartorzędowa - Quaternionic matrix

Quaternionic macierz jest macierzą , której elementy są kwaterniony .

Operacje na macierzach

Kwaterniony tworzą nieprzemienny pierścień , a zatem dodawanie i mnożenie można zdefiniować dla macierzy czwartorzędowych, tak jak dla macierzy nad dowolnym pierścieniem.

Dodatek . Suma dwóch czwartorzędowych macierzy A i B jest określona w zwykły sposób przez dodawanie elementów:

Mnożenie . Iloczyn dwóch czwartorzędowych macierzy A i B również jest zgodny ze zwykłą definicją mnożenia macierzy. Aby została ona zdefiniowana, liczba kolumn A musi być równa liczbie rzędów B . Następnie wpis w ı -go rzędu a j tej kolumny produktu jest iloczyn skalarny tego ı -tego rzędu pierwszej matrycy z j -tego kolumnie drugiej matrycy. Konkretnie:

Na przykład dla

produkt jest

Ponieważ mnożenie czwartorzędowe jest nieprzemienne, podczas obliczania iloczynu macierzy należy zachować ostrożność, aby zachować kolejność czynników.

Tożsamość tego mnożenia, tak jak oczekiwano, przekątnej macierzy I = diag (1, 1, ..., 1). Mnożenie odbywa się zgodnie ze zwykłymi prawami asocjatywności i rozdzielności . Ślad macierzy definiuje się jako sumę elementów diagonalnych, ale ogólnie

Mnożenie przez skalar lewy i mnożenie przez skalar prawe są zdefiniowane przez

Ponownie, ponieważ mnożenie nie jest przemienne, należy zachować ostrożność w kolejności czynników.

Determinanty

Nie ma naturalnego sposobu na zdefiniowanie wyznacznika dla (kwadratowych) macierzy czwartorzędowych, tak aby wartości wyznacznika były kwaternionymi. Można jednak zdefiniować złożone determinanty wartości. Kwaternion a + bi + cj + dk można przedstawić jako macierz zespoloną 2×2

Definiuje to mapa * F MN z m od n quaternionic matryc do 2 m od 2 n próbkach, przez zastąpienie każdego wpisu w quaternionic matrycy przez jej 2 o 2 złożonej reprezentacji. Wartość zespolona wyznacznik kwadratowej macierzy kwaternionowej A jest następnie definiowana jako det(Ψ( A )). Wiele zwykłych praw dotyczących wyznaczników obowiązuje; w szczególności macierz n na n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy.

Aplikacje

Macierze czwartorzędowe znajdują zastosowanie w mechanice kwantowej oraz w leczeniu problemów wielociałowych .

Bibliografia