Analiza czwartorzędowa - Quaternionic analysis

W matematyce , analiza quaternionic jest badanie funkcji z kwaterniony jak domeny i / lub zasięgu. Takie funkcje można nazwać funkcjami zmiennej kwaternionowej, tak jak nazywa się funkcje zmiennej rzeczywistej lub zmiennej zespolonej .

Podobnie jak w przypadku analizy złożonej i rzeczywistej , możliwe jest badanie pojęć analityczności , holomorfii , harmoniczności i konformizmu w kontekście kwaternionów. W przeciwieństwie do liczb zespolonych i jak liczb rzeczywistych , te cztery pojęcia nie pokrywają się.

Nieruchomości

Te występy o kwaterniony na jej skalarnej części albo na jego części wektora, jak również moduł sprężystości i versor funkcji są przykładami, które są podstawowe dla zrozumienia struktury kwaternionów.

Ważnym przykładem funkcji zmiennej kwaternionowej jest

{\ Displaystyle f_ {1} (q) = uqu ^ {-1}}

który obraca część wektora q o dwukrotność kąta reprezentowanego przez u .

Odwrotność multiplikatywna kwaternionów jest kolejną podstawową funkcją, ale podobnie jak w przypadku innych systemów liczbowych i związane z tym problemy są generalnie wykluczone ze względu na naturę dzielenia przez zero . ${\ Displaystyle f_ {2} (q) = q ^ {-1}}$ $f_{2}(0)$

Przekształcenia afiniczne kwaternionów mają postać

{\ Displaystyle f_ {3}(q) = aq + b, \ quad a, b, q \ w \ mathbb {H}.}

Liniowe przekształcenia ułamkowe kwaternionów mogą być reprezentowane przez elementy pierścienia macierzy operującego na linii rzutowej nad . Na przykład odwzorowania, w których i są stałymi wersorami, służą do wytwarzania ruchów przestrzeni eliptycznej . ${\ Displaystyle M_ {2} (\ mathbb {H} )}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ $q\mapsto uqv$ ${\ Displaystyle u}$ $v$

Teoria zmiennych kwaternionowych różni się pod pewnymi względami od teorii zmiennych zespolonych. Na przykład: Złożone odwzorowanie sprzężone płaszczyzny zespolonej jest głównym narzędziem, ale wymaga wprowadzenia niearytmetycznej, nieanalitycznej operacji. Rzeczywiście, koniugacja zmienia orientację figur płaskich, czego nie zmieniają funkcje arytmetyczne.

W przeciwieństwie do sprzężenia złożonego, koniugacja kwaternionów może być wyrażona arytmetycznie, jako ${\ Displaystyle f_ {4} (q) = - {\ tfrac {1} {2}} (q + iqi + jqj + kqk)}$

Równanie to można udowodnić, wychodząc z bazy {1, i, j, k}:

{\ Displaystyle f_ {4} (1) = - {\ tfrac {1} {2}} (1-1-1-1) = 1, \ quad f_ {4} (i) = - {\ tfrac {1 }{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}

.

W konsekwencji, ponieważ jest liniowy , $f_{4}$

{\ Displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_ {4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}

Powodzenie analizy zespolonej w dostarczaniu bogatej rodziny funkcji holomorficznych do pracy naukowej zaangażowało niektórych pracowników w próby rozszerzenia teorii planarnej, opartej na liczbach zespolonych, do badania 4-przestrzennego z funkcjami zmiennej kwaternionowej. Te wysiłki zostały podsumowane w Deavours (1973) .

Chociaż wygląda na połączenie złożonych płaszczyzn , poniższa propozycja pokazuje, że rozszerzenie złożonych funkcji wymaga szczególnej uwagi: ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

Niech będzie funkcją zmiennej zespolonej, . Załóżmy również, że jest nawet funkcja of a jest funkcją nieparzystą od . Następnie jest rozszerzeniem zmiennej kwaternion gdzie i . Następnie reprezentujmy sprzężenie , tak że . Rozszerzenie do będzie kompletne, gdy zostanie wyświetlone, że . Rzeczywiście, przez hipotezę ${\ Displaystyle f_ {5} (z) = u (x, y) + iv (x, y)}$ $z=x+iy$ ${\ Displaystyle u}$ $y$ $v$ $y$ ${\ Displaystyle f_ {5} (q) = u (x, y) + rv (x, y)}$ ${\ Displaystyle f_ {5}}$ $q=x+rok$ ${\ Displaystyle r ^ {2} = -1}$ ${\ Displaystyle r \ w \ mathbb {H} }$ ${\ Displaystyle r ^ {*}}$ ${\ Displaystyle r}$ ${\ Displaystyle q = x-rok ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle f_ {5} (q) = f_ {5} (x-yr ^ {*})}$

{\ Displaystyle u (x, y) = u (x, - y), \ quad v (x, y) = - v (x, - y) \ quad }

otrzymuje się

{\ Displaystyle f_ {5} (x-yr ^ {*}) = u (x, -y) + r ^ {*} v (x, -y) = u (x, y) + rv (x, y )=f_{5}(q).}

Homografie

W dalszej części dwukropki i nawiasy kwadratowe oznaczają jednorodne wektory .

Obrót wokół osi B jest klasycznym zastosowanie quaternions do przestrzeni mapowania. W kategoriach homograficznych rotacja jest wyrażona

{\ Displaystyle [q: 1] {\ zacząć {pmatrix} u i 0 \ \ 0 i u \ koniec {pmatrix}} = [qu: u] \ gruby [u ^ {-1} qu: 1],}

gdzie jest wersor . Jeśli p * = − p , to translacja jest wyrażona przez ${\ Displaystyle u = \ exp (\ theta r) = \ cos \ theta + r \ sin \ theta}$ $q\mapsto q+p$

{\ Displaystyle [q: 1] {\ zacząć {pmatrix} 1 i 0 \ \ p i 1 \ koniec {pmatrix}} = [q + p: 1].}

Obrót i translację xr wzdłuż osi obrotu wyraża

{\ Displaystyle [q: 1] {\ zacząć {pmatrix} u i 0 \ \ uxr i u \ koniec {pmatrix}} = [qu + uxr: u] \ pogrubienie [u ^ {-1} qu + xr: 1].}

Takie odwzorowanie nazywamy przemieszczeniem śruby . W klasycznych kinematyki , Chasles' Twierdzenie mówi, że każdy ruch ciała sztywnego mogą być wyświetlane jako przemieszczenie śruby. Podobnie jak w reprezentacji euklidesowej płaszczyzny izometrii jako obrót jest sprawą numer skomplikowanej arytmetyki, więc twierdzenia Chasles' i osi śruby wymagane jest kwestią kwaternionów arytmetyki z homographies: Niech s będzie prawo versor lub pierwiastek kwadratowy minus jeden, prostopadle do r , gdzie t = rs .

Rozważ oś przechodzącą przez s i równoległą do r . Obrót wokół tego wyraża się w kompozycji homograficznej

{\ Displaystyle {\ zacznij {pmatrix} 1 i 0 \ \ - s i 1 \ koniec {pmatrix}} {\ zacznij {pmatrix} u i 0 \ \ 0 i u \ koniec {pmatrix}} {\ zacznij {pmatrix} 1 i 0 \ \ s i 1 \ koniec {pmatrix }}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}

gdzie ${\ Displaystyle z = us-su = \ sin \ theta (rs-sr) = 2t \ sin \ theta.}$

Teraz w płaszczyźnie ( s, t ) parametr θ wyznacza okrąg w półpłaszczyźnie ${\ Displaystyle u ^ {-1} z = u ^ {-1} (2 t \ sin \ theta) = 2 \ sin \ theta (t \ cos \ theta -s \ sin \ theta)}$ ${\ Displaystyle \ l nawias wagowy + xs: x> 0 \ r nawias.}$

Każde p w tej półpłaszczyźnie leży na promieniu od początku przez okrąg i można je zapisać ${\ Displaystyle \ l klamra u ^ {-1} z: 0 < \ theta < \ pi \ r klamra}$ ${\ Displaystyle p = au ^ {-1} z \ \ a> 0.}$

Następnie up = az , przy czym jako homografia wyrażająca koniugację rotacji przez translację p. ${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} u i 0 \ \ az i u \ koniec {pmatrix}}}$

Pochodna dla kwaternionów

Od czasów Hamiltona zdano sobie sprawę, że wymaganie niezależności pochodnej od ścieżki, którą podąża różniczka do zera, jest zbyt restrykcyjne: wyklucza nawet z różniczkowania. Dlatego pochodna zależna od kierunku jest konieczna dla funkcji zmiennej kwaternionowej. Rozważenie przyrostu funkcji wielomianowej argumentu czwartorzędowego pokazuje, że przyrost jest liniową mapą przyrostu argumentu. Na tej podstawie można sformułować definicję: ${\ Displaystyle f (q) = q ^ {2}}$

Ciągła mapa nazywana jest różniczkowalną na zbiorze , jeśli w każdym punkcie przyrost mapy można przedstawić jako ${\ Displaystyle f: \ mathbb {H} \rightarrow \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle U \ podzbiór \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle x \ w U}$ $f$

{\ Displaystyle f (x + h) - f (x) = {\ Frac {df (x)} {dx}} \ ok h + o (h)}

gdzie

{\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}}: \ mathbb {H} \ rightarrow \ mathbb {H}}

jest liniowym odwzorowaniem algebry kwaternionów i jest takim ciągłym odwzorowaniem, że ${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle o: \ mathbb {H} \rightarrow \ mathbb {H}}$

{\ Displaystyle \ lim _ {a \ rightarrow 0} {\ Frac {| o (a) |} {| a |}} = 0}

Mapa liniowa nazywana jest pochodną mapy . ${\frac {df(x)}{dx}}$ $f$

Na kwaterniony, pochodna może być wyrażona jako

{\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}} = \ suma _ {s} {\ Frac {d_ {s0} f (x)} {dx}} \ otimes {\ Frac {d_ {s1} f(x)}{dx}}}

Dlatego różniczka mapy może być wyrażona w następujący sposób z nawiasami po obu stronach. $f$

{\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}} \ circ dx = \ lewo (\ suma _ {s} {\ Frac {d_ {s0} f (x)} {dx}} \ otimes {\ frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac { d_{s1}f(x)}{dx}}}

Liczba wyrazów w sumie będzie zależeć od funkcji f . Wyrażenia nazywane są składnikami pochodnej. ${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {sp} df (x)} {dx}}, p = 0,1}$

Pochodna funkcji czwartorzędowej posiada następujące równości

{\ Displaystyle {\ Frac {df (x)} {dx}} \ circ h = \ _ lim {t \ do 0} (t ^ {-1} (f (x + th) - f (x))) }

{\ Displaystyle {\ Frac {d (f (x) + g (x))} {dx}} = {\ Frac {df (x)} {dx}} + {\ Frac {dg (x)} {dx }}}

{\ Displaystyle {\ Frac {df (x) g (x)} {dx}} = {\ Frac {df (x)} {dx}} \ g (x) + f (x) \ {\ Frac {dg (x)}{dx}}}

{\ Displaystyle {\ Frac {df (x) g (x)} {dx}} \ circ h = \ lewo ({\ Frac {df (x)} {dx}} \ circ h \ po prawej) \ g (x )+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)}

{\ Displaystyle {\ Frac {daf (x) b} {dx}} = a \ {\ Frac {df (x)} {dx}} \ b}

{\ Displaystyle {\ Frac {daf (x) b} {dx}} \ ok h = a \ lewo ({\ Frac {df (x)} {dx}} \ ok h \ prawej) b}

Dla funkcji f ( x ) = axb , pochodną jest

${\ Displaystyle {\ Frac {daxb} {dx}} = a \ czasami b}$		${\ Displaystyle dy = {\ Frac {daxb} {dx}} \ circ dx = a \ dx \ b}$

a więc komponenty to:

${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {10} axb} {dx}} = a}$		${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {11} axb} {dx}} = b}$

Podobnie, dla funkcji f ( x ) = x ² , pochodną jest

${\ Displaystyle {\ Frac {dx ^ {2}} {dx}} = x \ otimes 1 + 1 \ otimes x}$		${\ Displaystyle dy = {\ Frac {dx ^ {2}} {dx}} \ circ dx = x \ dx + dx \ x}$

a komponenty to:

${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {10} x ^ {2}} {dx}} = x}$		${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {11} x ^ {2}} {dx}} = 1}$
${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {20} x ^ {2}} {dx}} = 1}$		${\ Displaystyle {\ Frac {d_ {21} x ^ {2}} {dx}} = x}$

Wreszcie, dla funkcji f ( x ) = x ⁻¹ , pochodną jest

${\ Displaystyle {\ Frac {dx ^ {-1}} {dx}} = -x ^ {-1} \ otimes x ^ {-1}}$		${\ Displaystyle dy = {\ Frac {dx ^ {-1}} {dx}} \ circ dx = -x ^ {-1} dx \ x ^ {-1}}$