Element quasi-regularny - Quasiregular element

Artykuł dotyczy pojęcia quasiregularności w kontekście teorii pierścieni , gałęzi współczesnej algebry . Inne pojęcia quasiregularności w matematyce można znaleźć na stronie ujednoznacznienia quasiregular .

W matematyce , a konkretnie w teorii pierścieni , pojęcie quasiregularności zapewnia wygodny obliczeniowo sposób pracy z rodnikiem Jacobsona w pierścieniu. W tym artykule zajmujemy się przede wszystkim pojęciem quasiregularności dla pierścieni jednostkowych . Jednak jeden rozdział poświęcony jest teorii quasiregularności w niejednostkowych pierścieniach, która stanowi ważny aspekt teorii pierścieni nieprzemiennych.

Definicja

Niech R będzie pierścieniem (z jednością ) i niech r będzie elementem R . Następnie R uważa się za quasiregular Jeśli 1 -  R jest urządzenie do badania ; to znaczy odwracalne pod mnożeniem. Pojęcia quasiregularności prawej lub lewej odpowiadają sytuacjom, w których 1 −  r ma odpowiednio prawą lub lewą odwrotność.

Mówi się, że element x niejednostkowego pierścienia jest prawostronny quasi-regularny, jeśli istnieje y takie, że . Analogicznie definiowane jest pojęcie lewego elementu quasi-regularnego . Element Y jest czasami określany jako prawej quasi odwrócony od x . Jeśli pierścień jest unitarny, ta definicja quasiregularności pokrywa się z tą podaną powyżej. Jeśli napiszemy , to ta operacja binarna jest asocjacyjna. W rzeczywistości mapa (gdzie × oznacza pomnożenie pierścienia R ) jest izomorfizmem monoidu. Dlatego jeśli element posiada zarówno lewą, jak i prawą quasi-odwrotność, są one równe. ${\displaystyle x+y-xy=0}$${\ Displaystyle x \ cdot y = x + y-xy}$${\displaystyle \cdot}$${\ Displaystyle (R \ cdot ) \ do (R \ razy); x \ mapsto 1-x}$

Zauważ, że niektórzy autorzy używają różnych definicji. Nazywają element x prawostronnym quasiregularnym, jeśli istnieje y takie, że , co jest równoważne stwierdzeniu, że 1 +  x ma prawo odwrotności, gdy pierścień jest jednością. Jeśli piszemy , to , więc możemy łatwo przejść od jednego układu do drugiego, zmieniając znaki. Na przykład, x jest prawostronnie quasiregularne w jednym układzie, jeśli − x jest prawostronne quasiregularne w innym układzie. ${\ Displaystyle x + y + xy = 0}$${\displaystyle x\circ y=x+y+xy}$${\ Displaystyle (-x) \ circ (-y) = - (x \ cdot y)}$

Przykłady

• Jeśli R jest pierścieniem, to addytywna tożsamość R jest zawsze quasiregularna.
• Jeśli jest prawe (lub lewe) quasi-regularne, to jest prawe (lub lewe) quasi-regularne.${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$
• Jeśli R jest RNG każdy nilpotent elementem z R jest quasiregular. Potwierdza to elementarne obliczenie:

Jeśli , to${\ Displaystyle x ^ {n + 1} = 0}$

${\ Displaystyle (1-x) (1 + x + x ^ {2} + \ kropki + x ^ {n}) = 1}$(lub jeśli podążamy za drugą konwencją).${\ Displaystyle (1 + x) (1-x + x ^ {2} - \ kropki + (-x) ^ {n}) = 1}$

Z tego widzimy łatwo, że quasi-odwrotnością x jest (lub ).${\ Displaystyle -xx ^ {2} - \ kropki - x ^ {n}}$${\ Displaystyle -x + x ^ {2} - \ kropki + (-x) ^ {n}}$

• W drugiej konwencji macierz jest quasiregularna w pierścieniu macierzy, jeśli nie posiada wartości własnej -1 . Mówiąc bardziej ogólnie, operator ograniczony jest quasi-regularny, jeśli w jego widmie nie ma -1.
• W algebrze Banacha z jedynką, jeśli , to szereg geometryczny jest zbieżny. W konsekwencji każde takie x jest quasi-regularne.${\ Displaystyle \ | x \ | <1}$${\ Displaystyle \ suma _ {0} ^ {\ infty} x ^ {n}}$
• Jeśli R jest pierścieniem, a S = R [[ X ₁ , ..., X _n ]] oznacza pierścień formalnego szeregu potęgowego w n niewyznacznikach nad R , element S jest quasi-regularny wtedy i tylko jego człon stały jest quasi-regularny jako element R .

Nieruchomości

• Każdy element rodnika Jacobsona (niekoniecznie przemiennego) pierścienia jest quasiregularny. W rzeczywistości, rodnik Jacobsona pierścienia można scharakteryzować jako jedyny w swoim rodzaju słuszny ideał pierścienia, maksymalny ze względu na własność, że każdy element jest kwaziregularny. Jednak właściwy quasiregularny element niekoniecznie musi być członkiem radykału Jacobsona. Uzasadnia to uwagę na początku artykułu – „złe elementy” są quasi-regularne, choć elementy quasi-regularne niekoniecznie są „złe”. Elementy rodnika Jacobsona w pierścieniu są często uważane za „złe”.
• Jeśli element pierścienia jest nilpotentny i centralny , to jest członkiem rodnika Jacobsona w pierścieniu. Dzieje się tak dlatego, że główny ideał słuszny generowany przez ten element składa się wyłącznie z elementów quasi-regularnych (w rzeczywistości nilpotentnych).
• Jeśli element, r , pierścienia jest idempotentny , nie może być członkiem rodnika Jacobsona pierścienia. Dzieje się tak, ponieważ elementy idempotentne nie mogą być quasi-regularne. Ta właściwość, jak również powyższa, uzasadniają uwagę podaną na początku artykułu, że pojęcie quasiregularności jest wygodne obliczeniowo podczas pracy z rodnikiem Jacobsona.

Uogólnienie na półpierścienie

Pojęcie elementu quasi-regularnego łatwo uogólnia się na półpierścienie . Jeśli a jest elementem półpierścienia S , to mapa afiniczna od S do siebie jest . Mówi się, że element a z S jest prawostronny quasiregularny, jeśli ma ustalony punkt , który nie musi być niepowtarzalny. Każdy taki punkt stały się nazywa lewo quasi-odwrotny od . Jeśli b jest lewy quasi odwrotność a ponadto b = AB + 1, a b jest nazywany quasi odwrócony od ; każdy element półpierścienia, który ma quasi-odwrotność, jest uważany za quasi- regularny . Możliwe, że niektóre, ale nie wszystkie elementy półpierścienia są quasi-regularne; na przykład w półpierścieniu liczb rzeczywistych nieujemnych ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb rzeczywistych ma punkt stały dla wszystkich a < 1, ale nie ma punktu stałego dla a ≥ 1. nazywany quasi regularne semiring , zamknięte semiring lub czasami Lehmann semiring (ten ostatni dokument cześć Daniel J. Lehmann). ${\ Displaystyle \ mu _ {a} (r) = ra + 1}$${\ Displaystyle \ mu _ {a}}$${\ Displaystyle \ mu _ {a}}$${\displaystyle {\frac {1}{1-a}}}$

Przykłady quasi-regularny semirings są dostarczane przez algebr KLEENE (widocznym wśród nich algebry wyrażeń regularnych ), w którym quasi-odwrotne jest podnoszony do roli jednoargumentowego pracy (oznaczone na *) zdefiniowane jako najmniej fixedpoint rozwiązanie. Algebry Kleene'a są addytywnie idempotentne, ale nie wszystkie quasi-regularne półpierścienie są takie. Możemy rozszerzyć przykład liczb rzeczywistych nieujemnych o nieskończoność i staje się ona półpierścieniem quasi-regularnym, przy czym quasi-odwrotność dowolnego elementu a ≥ 1 oznacza nieskończoność. Ten quasi-regularny półpierścień nie jest jednak addytywnie idempotentny, więc nie jest algebrą Kleene'a. Jest to jednak kompletny semiring . Mówiąc bardziej ogólnie, wszystkie pełne półpierścienie są quasi-regularne. Terminu zamkniętego semiringu niektórzy autorzy używają raczej na oznaczenie pełnego semiringu, a nie tylko quasi-regularnego.

Półpierścienie Conwaya są również quasi-regularne; dwa aksjomaty Conwaya są w rzeczywistości niezależne, tj. istnieją półpierścienie spełniające tylko aksjomat iloczynu gwiazdy [Conwaya], ( ab )* = 1+ a ( ba )* b , ale nie aksjomat gwiazdy sumy ( a + b ) * = ( a * b )* a * i na odwrót; to aksjomat gwiazdy produktu [Conwaya] implikuje, że półpierścień jest quasi-regularny. Dodatkowo przemienny półpierścień jest quasi-regularny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia aksjomat gwiazdy produktu Conwaya.

Półpierścienie quasiregularne pojawiają się w problemach ścieżki algebraicznej , uogólnieniu problemu najkrótszej ścieżki .

Zobacz też

• element odwrotny

Uwagi

Bibliografia

• I. Martina Isaacsa (1993). Algebra, kurs podyplomowy (wyd. 1). Wydawnictwo Brooks/Cole. Numer ISBN 0-534-19002-2.
• Irving Kaplansky (1969). Pola i pierścienie . Wydawnictwo Uniwersytetu Chicago.
• Lam, Tsit-Yuen (2003). Ćwiczenia z klasycznej teorii pierścieni . Książki problemowe w matematyce (2nd ed.). Springer-Verlag . Numer ISBN 978-0387005003.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Wprowadzenie do kręgów grupowych . Skoczek. Numer ISBN 978-1-4020-0238-0.