Kontrola proporcjonalna - Proportional control

Regulator typu fly-ball jest wczesnym przykładem sterowania proporcjonalnego. Kulki unoszą się wraz ze wzrostem prędkości, co zamyka zawór, zmniejszając prędkość, aż do osiągnięcia równowagi.

Sterowanie proporcjonalne , w inżynierii i kontroli procesu, jest rodzajem liniowego systemu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym , w którym do regulowanej zmiennej stosuje się korekcję proporcjonalną do różnicy między wartością pożądaną ( nastawa , SP) a wartością zmierzoną ( zmienna procesowa , PV). Dwa klasyczne mechaniczne przykłady to zawór dozujący pływak muszli klozetowej i regulator typu fly-ball .

Koncepcja sterowania proporcjonalnego jest bardziej złożona niż system sterowania włączaniem i wyłączaniem , taki jak bimetaliczny termostat domowy , ale prostsza niż system sterowania proporcjonalno-całkująco-pochodnego (PID) używany w czymś takim jak tempomat samochodowy . Sterowanie włącz-wyłącz będzie działać, gdy cały system ma stosunkowo długi czas reakcji, ale może spowodować niestabilność, jeśli kontrolowany system ma krótki czas reakcji. Sterowanie proporcjonalne przezwycięża ten problem poprzez modulowanie sygnału wyjściowego do urządzenia sterującego, takiego jak zawór sterujący, na poziomie, który zapobiega niestabilności, ale stosuje korekcję tak szybko, jak to możliwe, poprzez zastosowanie optymalnej wielkości wzmocnienia proporcjonalnego.

Wadą sterowania proporcjonalnego jest to, że nie może wyeliminować błędu resztkowego SP - PV w procesach z kompensacją, np. sterowanie temperaturą, ponieważ wymaga błędu do wygenerowania wyjścia proporcjonalnego. Aby rozwiązać ten problem , opracowano regulator PI , który wykorzystuje składnik proporcjonalny (P) do usunięcia błędu brutto i składnik całkowy (I) w celu wyeliminowania błędu resztkowego przesunięcia poprzez całkowanie błędu w czasie, aby wytworzyć składnik „I” dla wyjście kontrolera.

Teoria

W algorytmie regulacji proporcjonalnej wyjście regulatora jest proporcjonalne do sygnału błędu, który jest różnicą między wartością zadaną a zmienną procesową. Innymi słowy, wyjście regulatora proporcjonalnego jest iloczynem sygnału błędu i wzmocnienia proporcjonalnego.

Można to matematycznie wyrazić jako

${\ Displaystyle P_ {\ operatorname {out}} = K_ {p} \ {e (t) + p0}}$

gdzie

• ${\displaystyle p0}$: Wyjście regulatora z zerowym błędem.
• ${\displaystyle P_{\mathrm {out}}}$: Wyjście regulatora proporcjonalnego
• ${\ Displaystyle K_ {p}}$: Proporcjonalny zysk
• ${\ Displaystyle e (t)}$: Chwilowy błąd procesu w czasie t . ${\ Displaystyle e (t) = SP-PV}$
• ${\displaystyle SP}$: Nastawa
• ${\displaystyle PV}$: Zmienna procesu

Ograniczenia: W rzeczywistej instalacji siłowniki mają ograniczenia fizyczne, które można wyrazić jako ograniczenia na . Na przykład może być ograniczony od -1 do +1, jeśli są to maksymalne limity wyjściowe. ${\displaystyle P_{\mathrm {out}}}$${\displaystyle P_{\mathrm {out}}}$

Kwalifikacje: Najlepiej jest wyrazić jako liczbę niemianowaną. Aby to zrobić, możemy wyrazić jako stosunek do rozpiętości instrumentu. Rozpiętość ta jest w tych samych jednostkach co błąd (np. stopnie C), więc stosunek nie ma jednostek. ${\ Displaystyle K_ {p}}$${\ Displaystyle e (t)}$

Opracowanie schematów blokowych sterowania

Prosta pętla sterowania sprzężeniem zwrotnym2

Nakazuje kontrola proporcjonalna . Na podstawie pokazanego schematu blokowego załóżmy, że r , wartość zadana, jest natężeniem przepływu do zbiornika, a e jest błędem , który jest różnicą między wartością zadaną a zmierzonym wyjściem procesu. jest funkcją transferu procesu; wejście do bloku to natężenie przepływu, a wyjście to poziom zbiornika. ${\ Displaystyle {\ mathit {g_ {c} = k_ {c}}}}$${\displaystyle {\mathit {g_{p}}},}$

Wyjście jako funkcja wartości zadanej r jest znane jako funkcja transferu w pętli zamkniętej . Jeśli bieguny są stabilne, to system pętli zamkniętej jest stabilny. ${\ Displaystyle {\ mathit {g_ {cl}}} = {\ Frac {\ mathit {g_ {p} g_ {c}}} {1 + g_ {p} g_ {c}}},}$${\displaystyle {\mathit {g_{cl}}},}$

Proces pierwszego rzędu

Dla procesu pierwszego rzędu, ogólną funkcją transferu jest . W połączeniu z funkcją transferu w zamkniętej pętli powyżej zwraca . Uproszczenie tego równania daje w wyniku gdzie i . Dla stabilności w tym systemie ; dlatego musi być liczbą dodatnią i (standardową praktyką jest upewnienie się, że ). ${\ Displaystyle g_ {p} = {\ Frac {k_ {p}} {\ tau _ {p} s + 1}}}$${\ Displaystyle g_ {CL} = {\ Frac {\ Frac {k_ {p} k_ {c}} {\ tau _ {p} s + 1}} {1 + {\ Frac {k_ {p} k_ {c }}{\tau _{p}s+1}}}}}$${\ Displaystyle g_ {CL} = {\ Frac {k_ {CL}} {\ tau _ {CL} s + 1}}}$${\ Displaystyle k_ {CL} = {\ Frac {k_ {p} k_ {c}} {1 + k_ {p} k_ {c}}}}$${\ Displaystyle \ tau _ {CL} = {\ Frac {\ tau _ {p}} {1 + k_ {p} k_ {c}}}}$${\ Displaystyle \ tau _ {CL}> 0}$${\ Displaystyle \ tau _ {p}}$${\displaystyle k_{p}k_{c}>-1}$${\displaystyle k_{p}k_{c}>0}$

Wprowadzenie zmiany skokowej do systemu daje odpowiedź wyjściową . ${\ Displaystyle y (s) = g_ {CL} \ razy {\ Frac {\ Delta R} {s}}}$

Korzystając z twierdzenia o wartości końcowej,

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} y (t) = \ lim _ {s \, \ searrow \, 0} \ lewo (s \ razy {\ frac {k_ {CL}}} {\ tau _ {CL}s+1}}\times {\frac {\Delta R}{s}}\right)=k_{CL}\times \Delta R=y(t)|_{t=\infty }}$

co pokazuje, że w systemie zawsze będzie występować przesunięcie.

Proces integracji

Dla procesu całkowania ogólną transmitancją jest , która w połączeniu z transmitancją w pętli zamkniętej staje się . ${\ Displaystyle g_ {p} = {\ Frac {1} {s (s + 1)}}}$${\ Displaystyle g_ {CL} = {\ Frac {k_ {c}} {s (s + 1) + k_ {c}}}}$

Wprowadzenie zmiany skokowej do systemu daje odpowiedź wyjściową . ${\ Displaystyle y (s) = g_ {CL} \ razy {\ Frac {\ Delta R} {s}}}$

Korzystając z twierdzenia o wartości końcowej,

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} y (t) = \ lim _ {s \, \ searrow \, 0} \ lewo (s \ razy {\ frac {k_ {c}} {s (s) +1)+k_{c}}}\times {\frac {\Delta R}{s}}\right)=\Delta R=y(t)|_{t=\infty }}$

co oznacza, że ​​w tym systemie nie ma offsetu. Jest to jedyny proces, który nie będzie miał żadnego przesunięcia przy użyciu regulatora proporcjonalnego.

Błąd przesunięcia

Pętla kontroli przepływu. Jeśli jest używany tylko jako regulator proporcjonalny, zawsze występuje przesunięcie między SP a PV.

Samo sterowanie proporcjonalne nie jest w stanie wyeliminować błędu przesunięcia, czyli różnicy między wartością zadaną a wartością rzeczywistą, SP – błąd PV, ponieważ do wygenerowania wyjścia wymaga błędu. Gdy w kontrolowanej wielkości procesowej wystąpi zakłócenie (odchylenie od istniejącego stanu), każde działanie korekcyjne, oparte wyłącznie na sterowaniu proporcjonalnym, zawsze spowoduje pominięcie błędu między następnym stanem ustalonym a pożądaną wartością zadaną i spowoduje błąd resztkowy nazwany błędem przesunięcia. Ten błąd będzie się zwiększał w miarę zwiększania zapotrzebowania procesu na system lub zwiększania wartości zadanej.

Rozważmy obiekt zawieszony na sprężynie jako prostą regulację proporcjonalną. Sprężyna będzie próbowała utrzymać obiekt w określonym miejscu pomimo zakłóceń, które mogą go chwilowo przesunąć. Prawo Hooke'a mówi nam, że sprężyna przykłada siłę korygującą, która jest proporcjonalna do przemieszczenia obiektu. Chociaż spowoduje to utrzymywanie obiektu w określonym miejscu, bezwzględne położenie spoczynku obiektu będzie się różnić, jeśli zmieni się jego masa. Ta różnica w miejscu spoczynku jest błędem przesunięcia.

Wyobraź sobie tę samą sprężynę i przedmiot w nieważkości. W takim przypadku sprężyna będzie miała tendencję do utrzymywania obiektu w tym samym miejscu, niezależnie od jego masy. W tym przypadku nie ma błędu przesunięcia, ponieważ akcja proporcjonalna nie działa przeciwko niczemu w stanie ustalonym.

Pasmo proporcjonalne

Pasmo proporcjonalności to pasmo wyjścia regulatora, po którym końcowy element sterujący (na przykład zawór regulacyjny) będzie się przemieszczał z jednej skrajności w drugą. Matematycznie można to wyrazić jako:

${\ Displaystyle PB = {\ Frac {100} {K_ {p}}} \}$

Jeśli więc wzmocnienie proporcjonalne jest bardzo duże, pasmo proporcjonalności jest bardzo małe, co oznacza, że ​​pasmo wyjścia regulatora, w którym końcowy element sterujący przejdzie od minimum do maksimum (lub odwrotnie) jest bardzo małe. Tak jest w przypadku regulatorów on-off, gdzie jest bardzo wysoki, a co za tym idzie, nawet przy małym błędzie, wyjście regulatora jest przesuwane z jednej skrajności w drugą. ${\ Displaystyle K_ {p}}$${\ Displaystyle K_ {p}}$

Zalety

Wyraźną przewagę sterowania proporcjonalnego nad sterowaniem włączaniem i wyłączaniem można zademonstrować za pomocą sterowania prędkością samochodu. Analogią do sterowania włączaniem i wyłączaniem jest prowadzenie samochodu przez zastosowanie pełnej mocy lub jej braku i zmianę cyklu pracy w celu kontrolowania prędkości. Moc będzie włączona, dopóki nie zostanie osiągnięta docelowa prędkość, a następnie zostanie odłączona, więc samochód zmniejszy prędkość. Gdy prędkość spadnie poniżej celu, z pewną histerezą , ponownie zostanie zastosowana pełna moc. Można zauważyć, że spowodowałoby to oczywiście słabą kontrolę i duże wahania prędkości. Im mocniejszy silnik, tym większa niestabilność; im cięższy samochód, tym większa stabilność. Stabilność można wyrazić jako korelację ze stosunkiem mocy do masy pojazdu.

W sterowaniu proporcjonalnym moc wyjściowa jest zawsze proporcjonalna do błędu (rzeczywista w stosunku do prędkości docelowej). Jeśli samochód osiąga prędkość docelową, a prędkość nieznacznie wzrasta z powodu opadającego nachylenia, moc jest nieznacznie zmniejszana lub proporcjonalnie do zmiany błędu, tak że samochód stopniowo zmniejsza prędkość i osiąga nowy punkt docelowy z bardzo małą, jeśli istnieje, „przeregulowanie”, co jest znacznie bardziej płynną kontrolą niż sterowanie włączaniem i wyłączaniem. W praktyce do tego celu wykorzystywane są regulatory PID oraz wiele innych procesów regulacyjnych, które wymagają szybszego sterowania niż przy zastosowaniu wyłącznie proporcjonalnego.

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Sterowanie proporcjonalne w porównaniu do sterowania włącz-wyłącz lub bang-bang