Rzutowa jednolitą grupę - Projective unitary group

W matematyce The rzutowa grupa jednolity PU ( n ) stanowi iloraz z jednolitego grupy u ( n ) przez mnożenie prawej jego środka , U (1) , osadzone w skalarnych. Abstrakcyjnie, jest holomorficzna grupa izometrii o skomplikowanej przestrzeni rzutowej , tak jak rzutowe grupa ortogonalna to grupa izometrii od rzeczywistej przestrzeni rzutowej .

Pod względem matryc , elementy U ( n ) są złożone n x n jednostkowe matryce i elementy centrum są macierze diagonalne równej e ^iθ mnożone przez macierz tożsamości. W ten sposób, elementy PU ( n ) odpowiada równoważne klas jednostkowe mocy mnożenia macierzy przez fazy stałej θ .

Abstrakcyjny, otrzymuje hermitowskiego przestrzeń V , grupa PU ( V ) jest obrazem jednolitym grupy U ( V ) w grupie automorfizm rzutowej przestrzeni P ( V ) .

Rzutowa Grupa Su

Rzutowa specjalny jednolity zespół zasilacza ( n ) jest równy rzutowej grupy jednostkowej, w przeciwieństwie do przypadku prostopadłego.

Połączenia między u ( n ), SU ( n ), a ich środki rzutowej grupy jednostkowe pokazano po prawej stronie.

Środek o specjalnej grupy jednostkowej jest skalarne macierzy z n -tego korzeni jedności: ${\ Displaystyle Z (\ operatorname {SU} (n)) = \ operatorname {SU} (n) \ Czapka Z (\ operatorname {u} (n)) \ Cong \ mathbf {Z} / n}$

Naturalną mapa

${\ Displaystyle \ operatorname {zasilacza} (n) = \ operatorname {SU} (n) / Z (\ operatorname {SU} (n)) \ z \ operatorname {PU} (N) = \ operatorname {U} (n ) m / z (\ operatorname {u} (n))}$

Izomorfizm jest przez drugi twierdzenia izomorfizmu , co

PU ( n ) = PSU ( n ) = su ( n ) / ( Z / N ) .

i Grupa Su su ( n ) jest n pokrywa krotnie rzutowej grupy jednostkowej.

Przykłady

Przy n = 1 U (1) jest abelowa a więc jest równa jego środka. Dlatego PU (1) = U (1) / U (1) jest trywialne grupy .

Przy n = 2, wszystkie przedstawianego przez quaternions normą jednostkowych i PU (2) ≅ SO (3), za pomocą: ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (2) \ Cong \ operatorname {wirowania} (3) \ Cong \ operatorname {Sp} (1)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {PU} (2) = \ operatorname {zasilacza} (2) = \ operatorname {SU} (2) / (\ mathbf {Z} / 2) \ Cong \ operatorname {wirowania} (3) / (\ mathbf {Z} / 2) = \ operatorname {SO} (3)}$

Pola skończonych

Można również określić grup jednostkowych ponad określone pole: podany dziedziną rzędu q jest nie zdegenerowany hermitowskie struktura w przestrzeni wektorów na unikalny do jednolitego zbieżność i odpowiednio grupę matrycy oznaczono u ( n , Q ) lub U ( n , Q ²), a także specjalne i rzutowe grup jednostkowych. Dla wygody, w artykule zastosowano u ( n , Q ²) konwencji. ${\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {P ^ {2}}}$

Przypomnijmy, że grupa jednostek skończonego jest cykliczny , tak więc grupy jednostek , a w ten sposób grupa odwracalnych skalarnych macierzy w GL ( n , q ²) jest cykliczną grupą rzędu q ²-1. Centrum u ( n , Q ²) ma kolejność q + 1 i składa się z skalarnych macierzy, które mają jednolity, to znaczy te matryce cI _V o c ^{q + 1} = 1. Środek Grupa Su ma GCD zamówienia ( n, q + 1) i składa się z tych jednostkowych skalarnych, które również mają kolejność podzielenie n . ${\ Displaystyle \ mathbf {f} _ {P ^ {2}}}$

Iloraz jednostkowej grupy przez jego środek jest rzutowa jednolitą grupę PU ( n , Q ²) i iloraz Grupa Su o jego środku znajduje się rzutowa specjalny jednolity zespół zasilacza ( n , Q ²). W większości przypadków ( n ≥ 2 i ), SU ( n , Q ²) jest doskonała grupa i P ( n , Q ²) jest ograniczony grupa prosta ( Grove 2002 , Thm, 11.22 i 11.26). ${\ Displaystyle (n, Q ^ {2}) \ Notin \ {(2,2 ^ {2}) (2,3 ^ {2}) (3,2 ^ {2}) \}}$

Topologia PU ( H )

PU ( H ) jest przestrzeń klasyfikowanie okrąg wiązek

Tej samej konstrukcji mogą być stosowane do matryc działając na nieskończonej wymiarowej przestrzeni Hilberta . ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Niech u ( H ) oznacza miejsce operatorów jednostkowych o nieskończonej-wymiarowej przestrzeni Hilberta. Gdy f : X → U ( H ) jest ciągły odwzorowania zwartej przestrzeni X, do jednolitego grupie, można wykorzystać ograniczoną wymiarową przybliżenie wizerunku i prosty K teoretyczna sprawę

${\ Displaystyle U \ Oplus 1 _ {\ Ell ^ {2}} \ SIM U \ Oplus 1 _ {\ Ell ^ {2}} \ Oplus 1 _ {\ Ell ^ {2}} \ Oplus \ cdots \ SIM U \ Oplus U ^ {- 1} \ Oplus U \ Oplus u ^ {- 1} \ Oplus \ cdots \ SIM 1 _ {\ Ell ^ {2}} \ Oplus 1 _ {\ Ell ^ {2}} \ Oplus \ cdots (U \ w {\ rm {u}} (H))}$

aby pokazać, że to jest rzeczywiście homotopijne do banalnej mapie na jednym punkcie. Oznacza to, że u ( H ) jest słabo kurczliwe i dodatkowy argumentu wskazuje, że jest to rzeczywiście kurczliwe. Należy zauważyć, że jest to wyłącznie nieskończony zjawisko wymiarowej, w przeciwieństwie do ograniczonych trójwymiarowy krewnych u ( n ) oraz ich dopuszczalne U (∞), na podstawie mapy inkluzyjnych, które nie są kurczliwe dopuszczając homotopically nietrywialnych ciągły odwzorowania na U (1) podaną przez wyznacznikiem macierzy.

Środek nieskończonej wymiarowe grupy jednostkowej jest, podobnie jak w przypadku ograniczonym wymiarowej, U (1), która z kolei działa na jednostkowej grupy poprzez pomnożenie przez fazę. Jako jednolity zespół nie zawiera matrycę zerowy, to działanie jest wolny. Tak więc jest to przestrzeń ściągalna z U (1) działania, który identyfikuje go jako UE (1) i przestrzeń U (1) orbity jak BU (1) The przestrzeń klasyfikowanie dla U (1). ${\ Displaystyle \ operatorname {u} ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {u} ({\ mathcal {H}})}$

Homotopią i (ko) homologię z PU ( H )

${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$określa się dokładnie się przestrzeń orbit (1) działanie na U , co jest realizacja przestrzeni segregującego BU (1). W szczególności, za pomocą izomorfizm ${\ Displaystyle \ operatorname {u} ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$

${\ Displaystyle \ pi _ {A} (X) = \ pi _ {n + 1} (BX)}$

pomiędzy grupami homotopii przestrzeni X i grupy homotopii jego przestrzeni segregującego BX, w połączeniu z rodzajem homotopii koła U (1)

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (U (1)) = \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {k \ neq 1} (U (1)) = 0}$

znajdziemy homotopią grupy ${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$

${\ Displaystyle \ pi _ {2} (\ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})) = \ mathbf {Z}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {k \ neq 2} (\ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})) = 0}$

identyfikując w ten sposób jako przedstawiciel Eilenberg-MacLane przestrzeni K ( Z , 2). ${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$

W konsekwencji muszą być tego samego typu jak homotopii nieskończonej wymiarowej złożonej powierzchni projekcyjnej , która również prezentuje K ( Z , 2). Oznacza to w szczególności, że mają one izomorficzne homologii i kohomologii grup ${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$

${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {2n} (\ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})) = \ operatorname {H} _ {2n} (\ operatorname {PU} ({\ mathcal {H }})) = \ mathbf {Z}}$

i

${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {2n + 1} (\ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})) = \ operatorname {H} _ {2n + 1} (\ operatorname {PU} ({ \ mathcal {H}})) = 0}$,

reprezentacje

Reprezentacja adjoint

PU ( n ), w ogóle nie ma n -wymiarowej reprezentacje, tak jak (3), nie ma przedstawienia dwuwymiarowych.

PU ( n ) ma działanie sprzężonego z su ( n ), w ten sposób, że ma ( n ² - 1) reprezentacja wymiarową. Gdy n = 2 odpowiada trójwymiarową reprezentację SO (3). Działanie sprzężone określa się myślenie elementu PU ( n ) jako klasy równoważności elementów u ( n ), które różnią się od faz. Można następnie podjąć działania sprzężone względem każdego z tych u ( n ) przedstawiciele i fazy dojeżdża wszystko więc zrezygnować. Tak więc działanie jest niezależne od wyboru przedstawiciela i tak jest dobrze zdefiniowana.

rzutowe reprezentacje

W wielu zastosowaniach PU ( n ) nie działa w żaden reprezentacji liniowym, lecz w projekcyjnej reprezentacji , która jest reprezentowana do fazy, która jest niezależna od wektora, który z nich działa. Są one przydatne w mechanice kwantowej, jak stany fizyczne są zdefiniowane tylko do fazy. Na przykład, masywne stany fermionic transformacji pod rzutowej przedstawienie, ale nie na podstawie reprezentacji małej grupy PU (2) = SO (3).

Rzutowej reprezentacje grupy klasyfikuje drugim integralną kohomologiami , który w tym przypadku jest

${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {2} (\ operatorname {PU} (n)) = \ mathbf {Z} / n}$lub .${\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {2} (\ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})) = \ mathbf {Z}}$

Grupy kohomologii w skończonej przypadku może wynikać z długiego dokładnej sekwencji dla wiązek oraz wyżej, że su ( n ) jest Z / n wiązki na PU ( n ). Kohomologii w nieskończonej przypadku argumentowano powyżej z izomorfizmu z kohomologiami nieskończonej złożonej przestrzeni rzutowej.

Zatem PU ( n ) posiada n projekcyjne reprezentacje, z których pierwszy jest podstawowym reprezentację jego su ( n ) osłony, podczas gdy posiada szereg przeliczalnie granic. Jak zwykle projekcyjnym reprezentacje grupy są zwykłymi reprezentacje w centralnej rozszerzenia grupy. W tym przypadku środkowa grupa przedłużony odpowiednio do pierwszego rzutowej reprezentacji każdej grupy rzutowej jednostkowej tylko przy jednolity zespół z którą zajął iloraz przez U (1) w definicji PU. ${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$

Aplikacje

Teoria K skręcone

Działanie sprzężony nieskończonej rzutowej grupy jednostkowej jest użyteczny w geometrycznej definicji skręconych K-teorii . Tutaj akcja adjoint nieskończoności wymiarowej zestawione zarówno na operatorów Fredholma lub nieskończonej grupy jednolitego jest używany. ${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$

Geometrycznej konstrukcji skręconych K-teorii z krętego H The to włókna, wiązki i różnych nici H odpowiadają różnym fibrations. Jak można zauważyć poniżej, topologicznie oznacza Eilenberg-MacLane przestrzeń K ( Z , 2), w związku z tym przestrzeń klasyfikujący z wiązek jest Eilenberg-MacLane przestrzeń K ( Z , 3). K ( Z , 3) jest również przestrzeń klasyfikowaniu trzecim zintegrowanym kohomologii grupy zatem pakiety są klasyfikowane w trzecim zintegrowanym kohomologiami. W rezultacie, możliwe nici H zwiniętego K-teorii są dokładnie elementy trzecim zintegrowanym kohomologiami. ${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$${\ Displaystyle \ operatorname {PU} ({\ mathcal {H}})}$

Czysta Yanga-Millsa cechowanie

W czystym Yang Mills su ( n ) cechowanie , który jest cechowanie tylko gluonami i ma fundamentalne znaczenie, wszystkie pola przekształcić w adjoint grupy przyrządów su ( n ). Z / n środek su ( n ) dojazdy, znajdujący się w centrum, z su ( n ) -valued pola, a więc działanie sprzężone centrum jest trywialne. W związku z tym symetrii miernik jest ilorazem su ( n ) przez Z / n , który jest PU ( n ) i działa w dziedzinie z wykorzystaniem działania sprzężonego opisany powyżej.

W związku z tym, różnica pomiędzy su ( n ) i PU ( n ) ma istotny skutek fizycznego. Su ( n ) łączy się w prosty, lecz podstawowe grupy PU ( n ) to Z / N , cykliczna grupa rzędu n . Dlatego PU ( n ) cechowanie z skalarów sprzężonego będą miały nietrywialnej codimension 2 wiry , w których wartości oczekiwanych przez skalarów nawinięcie PU ( n ) to nietrywialna cyklu jako jeden otacza wirowych. Te wiry, dlatego też opłaty w Z / n , co oznacza, że przyciągają one do siebie i gdy n stykają się one zniszczyć. Przykładem takiego wiru jest łańcuch Douglasa Shenker SU ( n ) Seiberg-Witten teorii cechowania .

Referencje

• Grove, Larry C. (2002), grupy klasyczne i geometryczne algebra , studia z matematyki , 39 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN  978-0-8218-2019-3 , MR  1859189

Zobacz też

• jednolitą grupę
• Grupa Su
• operator unitarny
• rzutowa grupa prostopadłe