Principia Matematyka -Principia Mathematica

Strona tytułowa skróconej Principia Mathematica do ✸56
✸54.43 : „Z tego twierdzenia wynika, że ​​po zdefiniowaniu dodawania arytmetycznego 1 + 1 = 2.” – Tom I, wydanie I, s. 379 (s. 362 w wyd. II; s. 360 w wersji skróconej). (Dowód jest właściwie ukończony w tomie II, wydanie 1, strona 86 , któremu towarzyszy komentarz: „Powyższe twierdzenie jest czasami przydatne”. Dalej mówią: „Jest ono użyte co najmniej trzy razy, w 113.66 i ✸120.123 .472.")
Pamiętam, jak Bertrand Russell opowiadał mi okropny sen. Był na najwyższym piętrze Biblioteki Uniwersyteckiej, około roku 2100. Asystent biblioteczny krążył po półkach niosąc ogromne wiadro, zdejmując książki, zerkając na nie, umieszczając je na półkach lub wrzucając je do wiadra. W końcu dotarł do trzech dużych tomów, które Russell rozpoznał jako ostatni zachowany egzemplarz Principia Mathematica . Zdjął jeden z tomów, przewrócił kilka stron, przez chwilę wydawał się zdziwiony ciekawą symboliką, zamknął tom, wyważył go w dłoni i zawahał się...

Hardy, GH (2004) [1940]. Apologia matematyka . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersyteckie. str. 83. Numer ISBN 978-0-521-42706-7.

[Russell] powiedział kiedyś, po pewnym kontakcie z językiem chińskim, że był przerażony, że język Principia Mathematica był językiem indoeuropejskim.

Littlewood, JE (1985). Miscellany matematyka . Cambridge: Wydawnictwo Uniwersyteckie. str. 130.

Principia Mathematica (często w skrócie PM ) jest dziełem trzech objętość od podstaw matematyki napisanych przez matematyków Alfred North Whitehead i Bertrand Russell i opublikowany w 1910, 1912 i 1913. W latach 1925-27, to pojawił się w drugim wydaniu z ważnym wstępie do Second Edition , w dodatku a , która zastąpiła ✸9 i wszystko-nowy dodatek B i Dodatek C . PM nie należy mylić z Zasadami matematyki Russella z 1903 roku . PM został pierwotnie pomyślany jako kontynuacja Zasad Russella z 1903 roku , ale jak twierdzi PM , stał się to niewykonalną sugestią z powodów praktycznych i filozoficznych: „Niniejsza praca pierwotnie miała być zawarta w drugim tomie Principles of Mathematics . .. Ale w miarę postępów stawało się coraz bardziej oczywiste, że temat jest o wiele szerszy, niż przypuszczaliśmy, a ponadto w wielu fundamentalnych kwestiach, które w poprzedniej pracy pozostawały niejasne i wątpliwe, dotarliśmy teraz do tego, w co wierzymy być zadowalającymi rozwiązaniami”.

PM , zgodnie ze wstępem, miał trzy cele: (1) przeanalizować w jak największym stopniu idee i metody logiki matematycznej oraz zminimalizować liczbę pierwotnych pojęć i aksjomatów oraz reguł wnioskowania ; (2) precyzyjne wyrażanie zdań matematycznych w logice symbolicznej przy użyciu najdogodniejszej notacji, na jaką pozwala precyzyjne wyrażenie; (3) rozwiązać paradoksy, które nękały logikę i teorię mnogości na przełomie XIX i XX wieku, jak paradoks Russella .

Ten trzeci cel umotywował przyjęcie teorii typów w PM . Teoria typów przyjmuje ograniczenia gramatyczne na formuły, które wykluczają nieograniczone rozumienie klas, właściwości i funkcji. Skutkiem tego formuły, które pozwalałyby na zrozumienie przedmiotów takich jak zbiór Russella, okazują się źle sformułowane: naruszają ograniczenia gramatyczne systemu PM .

Nie ma wątpliwości, że PM ma ogromne znaczenie w historii matematyki i filozofii: jak zauważył Irvine , wzbudziła zainteresowanie logiką symboliczną i poszerzyła temat poprzez jej popularyzację; ukazywał moce i zdolności logiki symbolicznej; i pokazało, jak postępy filozofii matematyki i logiki symbolicznej mogą iść w parze z niesamowitą płodnością. Rzeczywiście, PM został po części spowodowany zainteresowaniem logiką , poglądem, w którym wszystkie prawdy matematyczne są prawdami logicznymi. Częściowo dzięki postępom dokonanym w PM , pomimo jego wad, poczyniono liczne postępy w meta-logice, w tym twierdzenia o niezupełności Gödla .

Mimo wszystko, notacje PM nie są dziś powszechnie używane: prawdopodobnie głównym powodem tego jest to, że praktykujący matematycy mają tendencję do zakładania, że ​​podstawa jest formą systemu teorii mnogości Zermelo-Fraenkla . Niemniej jednak naukowe, historyczne i filozoficzne zainteresowanie PM jest ogromne i trwa: na przykład Modern Library umieściła go na 23 miejscu na liście 100 najlepszych anglojęzycznych książek non-fiction XX wieku. Istnieje również wiele artykułów na temat tej pracy w recenzowanej Encyklopedii Filozofii Stanforda, a badacze akademiccy kontynuują pracę z Principia , czy to z historycznego powodu zrozumienia tekstu lub jego autorów, czy też z matematycznych powodów zrozumienia lub rozwinięcia logiki Principii. system.

Zakres posadowionych fundamentów

Principia pokryte tylko teoria mnogości , liczby kardynalne , liczby porządkowe i liczb rzeczywistych . Nie uwzględniono głębszych twierdzeń z analizy rzeczywistej , ale pod koniec trzeciego tomu stało się jasne dla ekspertów, że w przyjętym formalizmie można w zasadzie rozwinąć dużą ilość znanej matematyki . Było również jasne, jak długo taki rozwój będzie trwał.

Planowano czwarty tom o podstawach geometrii , ale autorzy przyznali się do intelektualnego wyczerpania po ukończeniu trzeciego.

Podstawy teoretyczne

Jak zauważono w krytyce teorii Kurta Gödla (poniżej), w przeciwieństwie do teorii formalistycznej , „logistyczna” teoria PM nie ma „precyzyjnego określenia składni formalizmu”. Ponadto w teorii prawie natychmiast można zaobserwować, że interpretacje (w sensie teorii modeli ) są przedstawiane w kategoriach wartości prawdziwościowych dla zachowania symboli „⊢” (potwierdzenie prawdziwości), „~” (logiczne nie). i "V" (logiczne LUB).

Wartości prawdziwości : PM osadza pojęcia „prawdy” i „fałszu” w pojęciu „propozycja pierwotna”. Surowa (czysta) teoria formalistyczna nie dostarczyłaby znaczenia symboli, które tworzą „prymitywne twierdzenie” — same symbole mogą być całkowicie arbitralne i nieznane. Teoria określiłaby tylko, jak zachowują się symbole na podstawie gramatyki teorii . Następnie, przez przypisanie „wartości”, model określi interpretację tego, co mówią formuły. Tak więc w formalnym symbolu Kleene przedstawionym poniżej, „interpretacja” tego, co te symbole powszechnie oznaczają, i przez implikację, w jaki sposób są one używane, jest podana w nawiasach, np. „¬ (nie)”. Ale to nie jest czysta teoria formalistyczna.

Współczesna konstrukcja teorii formalnej

Lista propozycji, do których odniesiono się imionami

Poniższa teoria formalistyczna jest przedstawiona jako przeciwieństwo logicznej teorii PM . Współczesny system formalny zostałby skonstruowany w następujący sposób:

  1. Użyte symbole : Ten zestaw jest zestawem początkowym, a inne symbole mogą się pojawiać, ale tylko z definicji z tych symboli początkowych. Zbiorem początkowym może być następujący zbiór wywodzący się z Kleene 1952: symbole logiczne : "→" (implikuje, JEŻELI-TO i "⊃"), "&" (i), "V" (lub), "¬" ( nie), „∀” (dla wszystkich), „∃” (istnieje); symbol predykatu "=" (równa się); symbole funkcji "+" (dodawanie arytmetyczne), "∙" (mnożenie arytmetyczne), "'" (następca); indywidualny symbol „0” (zero); zmiennea ”, „ b ”, „ c ” itd.; oraz nawiasy „(” i „)”.
  2. Ciągi symboli : Teoria zbuduje „ciągi” tych symboli przez konkatenację (zestawienie).
  3. Reguły tworzenia : Teoria określa reguły składni (reguły gramatyki) zwykle jako rekurencyjną definicję, która zaczyna się od „0” i określa, jak budować dopuszczalne ciągi lub „dobrze sformułowane formuły” (wffs). Obejmuje to zasadę „podstawiania” ciągów za symbole zwane „zmiennymi”.
  4. Reguły transformacji : Aksjomaty, które określają zachowanie symboli i sekwencji symboli.
  5. Reguła wnioskowania, oderwania, modus ponens : reguła, która pozwala teorii „odłączyć” „wniosek” od „przesłanek”, które do niego doprowadziły, a następnie odrzucić „przesłanki” (symbole na lewo od linii │ lub symbole nad linią, jeśli są poziome). Gdyby tak nie było, to podstawienie skutkowałoby coraz dłuższymi ciągami, które musiałyby być przenoszone dalej. Rzeczywiście, po zastosowaniu modus ponens nie pozostaje nic poza wnioskiem, reszta znika na zawsze.
Współczesne teorie często określają jako swój pierwszy aksjomat klasyczny lub modus ponens lub „zasadę oderwania”:
A , ABB
Symbol „│” jest zwykle pisany jako linia pozioma, tutaj „⊃” oznacza „implikuje”. Symbole A i B są „zamiennikami” ciągów; ta forma notacji nazywana jest „schematem aksjomatów” (tj. istnieje policzalna liczba konkretnych form, które notacja może przyjąć). Można to odczytać w sposób podobny do JEŻELI-TO, ale z tą różnicą: podany ciąg symboli JEŻELI A i A implikuje B TO B (i zachowaj tylko B do dalszego wykorzystania). Ale symbole nie mają żadnej „interpretacji” (np. „tablicy prawdy”, „wartości prawdy” lub „funkcji prawdy”), a modus ponens przebiega mechanicznie, przez samą gramatykę.

Budowa

Teoria PM ma zarówno istotne podobieństwa, jak i podobne różnice, do współczesnej teorii formalnej. Kleene stwierdza, że ​​„to dedukcja matematyki z logiki była oferowana jako intuicyjna aksjomatyka. W aksjomaty miały wierzyć, a przynajmniej być akceptowane jako wiarygodne hipotezy dotyczące świata”. Rzeczywiście, w przeciwieństwie do teorii formalistycznej, która manipuluje symbolami zgodnie z zasadami gramatyki, PM wprowadza pojęcie „wartości prawdziwości”, tj. prawdy i fałszu w sensie realnym , oraz „potwierdzenia prawdy” niemal natychmiast jako piąty i szóste elementy w strukturze teorii ( PM 1962: 4-36):

  1. Zmienne
  2. Zastosowania różnych liter
  3. Podstawowe funkcje zdań : „Funkcja sprzeczna” symbolizowana przez „~” oraz „Suma logiczna lub funkcja rozłączna” symbolizowana przez „∨” są traktowane jako pierwotna i zdefiniowana implikacja logiczna (poniższy przykład służy również do zilustrowania 9. Definicja poniżej ) jako
    pq . = . ~ pq Df . ( PM 1962:11)
    oraz iloczyn logiczny zdefiniowany jako
    p . q . = . ~(~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962:12)
  4. Równoważność : Równoważność logiczna , a nie arytmetyczna: „≡” podana jako demonstracja użycia symboli, tj. „Zatem ' pq ' oznacza '( pq ) . ( qp )'”. ( PM 1962:7). Zauważ, że w celu omówienia notacji PM identyfikuje "meta"-notację z "[spacja] ... [spacja]":
    Logiczna równoważność pojawia się ponownie jako definicja :
    pq . = . ( Pq ) . ( qp ) ( PM 1962:12),
    Zwróć uwagę na pojawienie się nawiasów. To użycie gramatyczne nie jest określone i pojawia się sporadycznie; nawiasy odgrywają jednak ważną rolę w ciągach symboli, np. notacja „( x )” dla współczesnego „∀ x ”.
  5. Wartości prawdziwości : „'Wartość prawdziwości ' zdania jest prawdą, jeśli jest prawdą, a fałszem, jeśli jest fałszem” (to zdanie pochodzi od Gottloba Fregego ) ( PM 1962:7).
  6. Twierdzenie, znak : „ '⊦ . P mogą być odczytywane 'prawdą jest, że' ... w ten sposób '⊦ : p .. Q ' oznacza 'prawdą jest, że p implikuje q ', natomiast' ⊦ . Str . ⊃⊦ . Q „oznacza” s jest prawdziwe zatem q prawda”pierwszy z nich nie wymagają koniecznie prawdę albo o. p lub z Q , a drugi polega na prawdę zarówno” ( PM 1962: 92).
  7. Wnioskowanie : wersja modus ponens PM . „[Jeżeli] '⊦ . p ' i '⊦ ( pq )' wystąpią, wtedy '⊦ . q ' wystąpi, jeśli chce się to zapisać. Procesu wnioskowania nie można sprowadzić do symboli. jego jedynym płyta jest występowanie „⊦ . Q ” [innymi słowy, symbole na lewej zniknąć lub mogą być usunięte]”( PM, 1962, 9).
  8. Użycie kropek
  9. Definicje : używają znaku „=” z „Df” po prawej stronie.
  10. Podsumowanie poprzednich stwierdzeń : krótkie omówienie pierwotnych idei "~ p " i " pq " oraz "⊦" poprzedzonych zdaniem.
  11. Zdania prymitywne : aksjomaty lub postulaty. Zostało to znacznie zmodyfikowane w drugim wydaniu.
  12. Funkcje zdaniowe : Pojęcie „zdania” zostało znacząco zmodyfikowane w drugim wydaniu, w tym wprowadzenie „atomowych” zdań połączonych znakami logicznymi w celu utworzenia „molekularnych” zdań, oraz zastosowanie substytucji zdań molekularnych przez zdania atomowe lub tworzyć nowe wyrażenia.
  13. Zakres wartości i całkowita zmienność
  14. Asercja niejednoznaczna i zmienna rzeczywista : Ta i dwie następne sekcje zostały zmodyfikowane lub porzucone w drugim wydaniu. W szczególności w drugim wydaniu zrezygnowano z rozróżnienia między pojęciami zdefiniowanymi w rozdziałach 15. Definicja a zmienna rzeczywista oraz 16 Propozycje łączące zmienne rzeczywiste i pozorne .
  15. Formalna implikacja i formalna równoważność
  16. Tożsamość
  17. Klasy i relacje
  18. Różne opisowe funkcje relacji
  19. Liczba mnoga funkcji opisowych
  20. Klasy jednostek

Prymitywne pomysły

Por. PM 1962:90-94, dla pierwszego wydania:

  • (1) Podstawowe twierdzenia .
  • (2) Podstawowe zdania funkcji .
  • (3) Asercja : wprowadza pojęcia „prawdy” i „fałszu”.
  • (4) Asercja funkcji zdaniowej .
  • (5) Negacja : „Jeżeli p jest jakimkolwiek zdaniem, to zdanie „nie- p ” lub „ p jest fałszywe” będzie reprezentowane przez „~ p ”.
  • (6) Rozdzielenie : „Jeżeli p i q są jakimikolwiek zdaniami, to zdanie” p lub q , tj. „albo p jest prawdziwe, albo q jest prawdziwe”, gdzie alternatywy nie mają się wzajemnie wykluczać, będzie reprezentowane przez „ pq " ".
  • (por. sekcja B)

Propozycje prymitywne

Wydanie pierwsze (patrz omówienie odnoszące się do wydania drugiego, poniżej) rozpoczyna się od definicji znaku „⊃”

1.01 . Pq . = . ~ pq . Df .

✸1.1 . Wszystko, co implikuje prawdziwe zdanie elementarne, jest prawdziwe. Pp modus ponens

( ✸1.11 został porzucony w drugim wydaniu.)

✸1.2 . ⊦ : pp . . s . . Zasada tautologii Pp

✸1.3 . ⊦ : P . . P Ú q . Zasada dodawania Pp

✸1.4 . ⊦ : pq . . qp . Zasada permutacji Pp

1,5 . ⊦ : p ( qr ) . . q ( pr ). Pp zasada asocjacji

✸1.6 . ⊦ . qr . : pq . . P Ú R . Zasada sumowania Pp

✸1.7 . Jeśli p jest zdaniem elementarnym, ~ p jest zdaniem elementarnym. Pp

1,71 . Jeśli p i q są zdaniami elementarnymi, pq jest zdaniem elementarnym. Pp

1,72 . Jeśli φ p i ψ p są elementarnymi funkcjami zdaniowymi, które przyjmują jako argumenty zdania elementarne, to φ p ∨ ψ p jest zdaniem elementarnym. Pp

Wraz ze „Wprowadzeniem do wydania drugiego” dodatek A do drugiego wydania pomija cały rozdział ✸9 . Obejmuje to sześć prymitywnych twierdzeń od 9 do ✸9,15 wraz z aksjomatami redukowalności.

Poprawiona teoria jest utrudniona przez wprowadzenie kreski Sheffera („|”), która symbolizuje „niezgodność” (tj. jeśli oba zdania elementarne p i q są prawdziwe, ich „skok” p | q jest fałszywe), współczesna logika NAND (nie-AND). W zrewidowanej teorii Wstęp przedstawia pojęcie „zdania atomowego”, „datum”, które „należy do filozoficznej części logiki”. Nie mają one części, które są propozycjami i nie zawierają pojęć „wszystkie” lub „niektóre”. Na przykład: „to jest czerwone” lub „to jest wcześniej”. Takie rzeczy mogą istnieć ad finitum , tj. nawet „nieskończone wyliczenie” ich, aby zastąpić „ogólność” (tj. pojęcie „dla wszystkich”). PM następnie „postęp [s] do propozycji molekularnych”, które są połączone przez „udar”. Definicje podają odpowiedniki dla „~”, „∨”, „⊃” i „ . ”.

Nowe wprowadzenie definiuje „zdania elementarne” jako pozycje atomowe i molekularne razem. Następnie zastępuje wszystkie prymitywne zdania 1,2 do ✸1,72 jednym prymitywnym zdaniem sformułowanym w kategoriach obrysu:

„Jeśli p , q , r są zdaniami elementarnymi, przy danych p i p |( q | r ), możemy wywnioskować r . Jest to zdanie pierwotne”.

W nowym wprowadzeniu zachowano notację „istnieje” (teraz przekształcona jako „czasami prawda”) i „dla wszystkich” (przekształcona jako „zawsze prawda”). Dodatek A wzmacnia pojęcie „macierzy” lub „funkcji predykatywnej” („pierwotna idea”, PM 1962:164) i przedstawia cztery nowe twierdzenia prymitywne jako ✸8.1–✸8.13 .

✸88 . Aksjomat multiplikatywny

✸120 . Aksjomat nieskończoności

Typy rozgałęzione i aksjomat redukowalności

W teorii typów prostych obiekty są elementami różnych rozłącznych „typów”. Typy są budowane niejawnie w następujący sposób. Jeżeli τ 1 ,...,τ m są typami, to istnieje typ (τ 1 ,...,τ m ), który można traktować jako klasę funkcji zdań τ 1 ,...,τ m ( który w teorii mnogości jest zasadniczo zbiorem podzbiorów τ 1 ×...×τ m ). W szczególności istnieje typ () zdań i może istnieć typ ι (jota) „indywiduów”, z których budowane są inne typy. Notacja Russella i Whiteheada dotycząca budowania typów z innych typów jest raczej nieporęczna, a notacja tutaj jest spowodowana Churchem .

W rozgałęzionej teorii typów PM wszystkie obiekty są elementami różnych rozgałęzionych typów rozgałęzionych. Typy rozgałęzione są budowane niejawnie w następujący sposób. Jeżeli τ 1 ,...,τ m1 ,...,σ n są typami rozgałęzionymi to tak jak w prostej teorii typów istnieje typ (τ 1 ,...,τ m1 ,... ,σ n ) „predykatywnych” funkcji zdaniowych τ 1 ,...,τ m1 ,...,σ n . Istnieją jednak również typy rozgałęzione (τ 1 ,...,τ m1 ,...,σ n ), które można traktować jako klasy funkcji zdaniowych τ 1 ,...τ m otrzymanych z funkcje zdaniowe typu (τ 1 ,...,τ m1 ,...,σ n ) poprzez kwantyfikację po σ 1 ,...,σ n . Gdy n =0 (a więc nie ma σs) te funkcje zdaniowe nazywane są funkcjami predykatywnymi lub macierzami. Może to być mylące, ponieważ obecna praktyka matematyczna nie rozróżnia funkcji predykatywnych i niepredykatywnych, aw każdym razie PM nigdy nie definiuje dokładnie, czym właściwie jest „funkcja predykatywna”: jest to traktowane jako pojęcie pierwotne.

Russell i Whitehead stwierdzili, że niemożliwe jest rozwijanie matematyki przy jednoczesnym zachowaniu różnicy między funkcjami predykatywnymi i niepredykatywnymi, więc wprowadzili aksjomat redukowalności , mówiąc, że dla każdej funkcji niepredykatywnej istnieje funkcja predykatywna przyjmująca te same wartości. W praktyce aksjomat ten zasadniczo oznacza, że ​​elementy typu (τ 1 ,...,τ m1 ,...,σ n ) można utożsamiać z elementami typu (τ 1 ,...,τ m ), co powoduje, że hierarchia typów rozgałęzionych zapada się w prostą teorię typów. (Ściśle mówiąc, nie jest to całkiem poprawne, ponieważ PM pozwala, aby dwie funkcje zdaniowe były różne, nawet jeśli przyjmują te same wartości dla wszystkich argumentów; różni się to od obecnej praktyki matematycznej, w której zwykle identyfikuje się dwie takie funkcje.)

W teorii mnogości Zermelo można modelować teorię typu rozgałęzionego PM w następujący sposób. Jeden wybiera zbiór ι jako typ indywiduów. Na przykład ι może być zbiorem liczb naturalnych, zbiorem atomów (w teorii mnogości z atomami) lub dowolnym innym zbiorem, którym ktoś się interesuje. Wtedy jeśli τ 1 ,...,τ m są typami, typem (τ 1 ,...,τ m ) jest zbiorem potęgowym iloczynu τ 1 ×...×τ m , który można również traktować nieformalnie jako zbiór funkcji (orzekania zdaniowego) z tego iloczynu do 2 -zestaw elementów {prawda, fałsz}. Typ rozgałęziony (τ 1 ,...,τ m1 ,...,σ n ) można modelować jako iloczyn typu (τ 1 ,...,τ m1 ,... ,σ n ) ze zbiorem ciągów n kwantyfikatorów (∀ lub ∃) wskazujących, który kwantyfikator należy zastosować do każdej zmiennej σ i . (Można to nieco zmienić, pozwalając na kwantyfikację σ w dowolnej kolejności lub pozwalając, aby wystąpiły przed niektórymi τ, ale ma to niewielką różnicę, z wyjątkiem księgowości.)

Notacja

Jeden z autorów zauważa, że ​​„Zapis w tej pracy został zastąpiony przez dalszy rozwój logiki w XX wieku, do tego stopnia, że ​​początkujący w ogóle ma problemy z czytaniem PM”; podczas gdy znaczna część symbolicznej treści może zostać przekształcona w nowoczesną notację, oryginalna notacja sama w sobie jest „przedmiotem naukowego sporu”, a niektóre zapisy „uosabiają merytoryczne doktryny logiczne, tak że nie można ich po prostu zastąpić współczesną symboliką”.

Kurt Gödel był surowo krytyczny wobec notacji:

„To ma być żal, że to pierwszy kompleksowy i gruntowny trwające przedstawienie logiki matematycznej i wyprowadzenie z niej matematyki [jest] tak bardzo brakuje precyzji formalnej w fundamentach (zawartych w ✸1-✸21 z Principia [tj , sekcje ✸1–✸5 (logika zdań), ✸8–14 (logika predykatów z tożsamością/równością), ✸20 (wstęp do teorii mnogości) i ✸21 (wstęp do teorii relacji)]), które reprezentuje w tym uszanować znaczny krok wstecz w porównaniu z Fregego. Brakuje przede wszystkim precyzyjnego określenia składni formalizmu. Pomija się rozważania syntaktyczne nawet w przypadkach, gdy są one niezbędne dla zgodności dowodu”.

Jest to widoczne w poniższym przykładzie z symboli „ P ”, „ P ”, „ R ” i „⊃”, które mogą być uformowane w ciągu „ Pqr .” PM wymaga zdefiniowania tego, co ten ciąg symboli oznacza w kategoriach innych symboli; we współczesnych terapiach „reguły formowania” (reguły syntaktyczne prowadzące do „dobrze uformowanych formuł”) zapobiegałyby tworzeniu tego ciągu.

Źródło notacji : Rozdział I „Wstępne wyjaśnienia idei i notacji” rozpoczyna się od źródła elementarnych części notacji (symbole =⊃≡−⊃≡Vε i system kropek):

„Notacja przyjęta w niniejszej pracy opiera się na notacji Peano , a poniższe wyjaśnienia są do pewnego stopnia wzorowane na tych, które poprzedza on przedrostkiem Formulario Mathematico [tj. Peano 1889]. Jego użycie kropek jako nawiasów zostało przyjęte, i tak wiele jego symboli” ( PM 1927:4).

PM zmienił Ɔ Peano na ⊃, a także przyjął kilka późniejszych symboli Peano, takich jak ℩ i ι, oraz praktykę Peano odwracania liter do góry nogami.

PM przyjmuje znak asercji „⊦” z Begriffsschrift Fregego z 1879 roku :

„(I) można przeczytać »to prawda«”

Tak więc, aby potwierdzić twierdzenie p PM pisze:

„⊦ . p .” ( PM 1927:92)

(Zauważ, że tak jak w oryginale, lewa kropka jest kwadratowa i ma większy rozmiar niż kropka po prawej stronie).

Większość pozostałej notacji w PM została wymyślona przez Whiteheada.

Wprowadzenie do notacji „Sekcja A Mathematical Logic” (wzory ✸1–✸5,71)

Kropki PM są używane w sposób podobny do nawiasów. Każda kropka (lub wiele kropek) reprezentuje lewy lub prawy nawias lub symbol logiczny ∧. Więcej niż jedna kropka wskazuje "głębokość" nawiasów, na przykład " . ", " : " lub " :. ", " :: ". Jednak pozycja pasującego prawego lub lewego nawiasu nie jest wyraźnie wskazana w notacji, ale musi być wyprowadzona z pewnych reguł, które są złożone i czasami niejednoznaczne. Co więcej, gdy kropki oznaczają symbol logiczny , jego lewy i prawy operandy muszą być wydedukowane przy użyciu podobnych reguł. Najpierw należy zdecydować na podstawie kontekstu, czy kropki oznaczają lewy czy prawy nawias, czy też symbol logiczny. Następnie trzeba zdecydować, jak daleko znajduje się drugi odpowiedni nawias: tutaj kontynuujemy, aż napotkamy albo większą liczbę kropek, albo tę samą liczbę kropek obok, które mają taką samą lub większą „siłę”, albo koniec wiersza. Kropki obok znaków ⊃, ≡,≡, =Df mają większą siłę niż kropki obok ( x ), (∃ x ) itd., które mają większą siłę niż kropki wskazujące na iloczyn logiczny ∧.

Przykład 1. Linia

3.4 . ⊢ : p . q . . p q

koresponduje z

((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Dwie kropki stojące razem bezpośrednio po znaku asercji wskazują, że to, co jest stwierdzone, jest całą linią: ponieważ są ich dwie, ich zasięg jest większy niż którejkolwiek z pojedynczych kropek po ich prawej stronie. Zastępuje je lewy nawias stojący w miejscu kropek oraz prawy nawias na końcu wzoru, a więc:

⊢ (p . q .. p ⊃ q).

(W praktyce te skrajne nawiasy, które obejmują całą formułę, są zwykle wymazane.) Pierwsza z pojedynczych kropek, stojąca między dwiema zmiennymi zdaniowymi, reprezentuje koniunkcję. Należy do trzeciej grupy i ma najwęższy zakres. Tutaj jest zastąpiony przez nowoczesny symbol spójnika „∧”, a więc

⊢ (p q .. p ⊃ q).

Dwie pozostałe pojedyncze kropki wskazują główny łącznik całej formuły. Ilustrują one użyteczność notacji kropkowej w wybieraniu spójników, które są relatywnie ważniejsze niż te, które je otaczają. Ten na lewo od „⊃” jest zastąpiony parą nawiasów, prawy idzie tam, gdzie jest kropka, a lewy idzie tak daleko w lewo, jak to możliwe bez przekraczania grupy kropek o większej sile, w w tym przypadku dwie kropki po znaku asercji, a więc

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)

Kropka na prawo od „⊃” zostaje zastąpiona przez lewy nawias, który przechodzi w miejsce kropki, oraz prawy nawias, który sięga jak najdalej w prawo bez wychodzenia poza zakres już ustalony przez grupę kropek o większej siła (w tym przypadku dwie kropki po znaku asercji). Tak więc prawy nawias zastępujący kropkę na prawo od „⊃” jest umieszczany przed prawym nawiasem, który zastępuje dwie kropki po znaku asercji, stąd

((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Przykład 2, z podwójnymi, potrójnymi i poczwórnymi kropkami:

✸9,521 . ⊢ : : (∃x). x . . q : ⊃ : . (∃x). x . v . r : . qvr

oznacza

((((∃x)(φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

Przykład 3, z podwójną kropką oznaczającą symbol logiczny (z tomu 1, strona 10):

PP : PR .⊃. PR

oznacza

( pq ) ∧ (( qr )⊃( pr ))

gdzie podwójna kropka reprezentuje symbol logiczny ∧ i może być postrzegana jako mająca wyższy priorytet jako nielogiczna pojedyncza kropka.

W dalszej części sekcji ✸14 pojawiają się nawiasy klamrowe "[ ]", aw sekcjach ✸20 i następnych pojawiają się nawiasy klamrowe "{ }". Nie jest jasne, czy te symbole mają określone znaczenie, czy służą tylko do wizualnego wyjaśnienia. Niestety pojedyncza kropka (ale także " : ", " :. ", " :: " itp.) jest również używana do symbolizowania "logicznego produktu" (współczesne logiczne AND często symbolizowane przez "&" lub "∧").

Implikacja logiczna jest reprezentowana przez „Ɔ” Peano uproszczone do „⊃”, logiczna negacja jest symbolizowana przez wydłużoną tyldę, tj. „~” (współczesne „~” lub „¬”), logiczne OR przez „v”. Symbol „=” wraz z „Df” służy do wskazania „jest zdefiniowany jako”, podczas gdy w sekcjach ✸13 i następnych „=” jest zdefiniowany jako (matematycznie) „identyczny z”, tj. współczesna matematyczna „równość” ( por. omówienie w sekcji ✸13 ). Równoważność logiczna jest reprezentowana przez „≡” (współczesne „jeśli i tylko wtedy”); „elementarne” funkcje zdaniowe są napisane w zwykły sposób, na przykład, „ f ( p )”, ale później pojawia się bezpośrednio przed znakiem funkcja zmiennej bez nawiasów np „φ x ”, „χ x ”, etc.

Przykład, PM wprowadza definicję „produktu logicznego” w następujący sposób:

3.01 . s . . q . = . ~(~ p v ~ q ) Df .
gdzie „ s . q ” jest logicznym iloczynem p i q .
3,02 . PqR . = . Pq . qr Df .
Ta definicja służy jedynie do skrócenia dowodów.

Tłumaczenie formuł na współczesne symbole : Różni autorzy używają alternatywnych symboli, więc nie można podać ostatecznego tłumaczenia. Jednak ze względu na krytykę, taką jak poniżej, Kurta Gödla , najlepsze współczesne zabiegi będą bardzo precyzyjne w odniesieniu do „reguł formowania” (składni) formuł.

Pierwsza formuła może zostać przekształcona na współczesną symbolikę w następujący sposób:

( p & q ) = df (~(~ p v ~ q ))

na przemian

( p & q ) = df (¬(¬ p v ¬ q ))

na przemian

( pq ) = df (¬(¬ p v ¬ q ))

itp.

Drugą formułę można przekonwertować w następujący sposób:

( pqr ) = df ( pq ) & ( qr )

Zauważ jednak, że nie jest to (logicznie) równoważne ( p → ( qr )) ani (( pq ) → r ), a te dwa również nie są równoważne logicznie.

Wprowadzenie do notacji „Część B Teoria zmiennych pozornych” (wzory ✸8–✸14,34)

Te sekcje dotyczą tego, co obecnie nazywamy logiką predykatów i logiką predykatów z tożsamością (równość).

  • Uwaga: W wyniku krytyki i postępów drugie wydanie PM (1927) zastępuje ✸9 nowym ✸8 (Załącznik A). Ta nowa sekcja eliminuje rozróżnienie między zmiennymi rzeczywistymi i pozornymi w pierwszym wydaniu i eliminuje „prymitywną ideę 'potwierdzenie funkcji zdaniowej'. Aby zwiększyć złożoność leczenia, ✸8 wprowadza pojęcie substytucji „macierzy”, i udar Sheffera :
  • Matrix : We współczesnej użytkowania, PM jest matryca jest (przynajmniej dla funkcji zdaniowych ), z tabeli prawdy , czyli wszystkie prawdy wartości funkcji zdaniowej lub kwantyfikatorów.
  • Skok Sheffera : Czy współczesny logiczny NAND (NOT-AND), tj. „niezgodność”, co oznacza:
"Mając dwa zdania p i q , wtedy ' p | q ' oznacza "zdanie p jest niezgodne ze zdaniem q ", tj. jeśli oba zdania p i q są prawdziwe, wtedy i tylko wtedy p | q jest fałszem." Po sekcji ✸8 kreska Sheffera nie ma zastosowania.

Rozdział ✸10: Egzystencjalne i uniwersalne „operatory” : PM dodaje „( x )”, aby przedstawić współczesną symbolikę „dla wszystkich x ”, tj. „∀ x ”, i używa odwrotnego seryfikowanego E do przedstawienia „istnieje x ”, tj. „(Ǝx)”, tj. współczesne „∃x”. Typowy zapis byłby podobny do następującego:

„( X ) . Cp x ” oznacza „do wszystkich wartości zmiennej x , ocenia Function cp na true”
„(Ǝ x ) . Cp x ” oznacza „na pewną wartość zmiennej x , ocenia Function cp true”

Sekcje 10, ✸11, ✸12: Własności zmiennej rozszerzone na wszystkie indywidua : sekcja 10 wprowadza pojęcie „własności” „zmiennej”. PM podaje przykład: φ jest funkcją, która wskazuje „jest Grekiem”, a ψ oznacza „jest człowiekiem”, a χ oznacza „jest śmiertelnikiem” te funkcje mają zastosowanie do zmiennej x . PM może teraz pisać i oceniać:

( x ) . ψ x

Zapis powyższy oznacza „dla wszystkich x , x jest człowiekiem”. Mając zbiór jednostek, można ocenić powyższy wzór pod kątem prawdy lub fałszu. Na przykład, biorąc pod uwagę ograniczony zbiór indywiduów { Sokrates, Platon, Russell, Zeus }, powyższe ocenia się jako „prawdziwe”, jeśli pozwolimy, by Zeus był człowiekiem. Ale zawodzi w przypadku:

( x ) . φ x

ponieważ Russell nie jest Grekiem. I zawodzi na

( x ) . χ x

ponieważ Zeus nie jest śmiertelnikiem.

Wyposażony w ten zapis PM może tworzyć formuły wyrażające: „Jeżeli wszyscy Grecy są ludźmi i jeśli wszyscy ludzie są śmiertelnikami, to wszyscy Grecy są śmiertelnikami”. ( PM 1962:138)

( x ) . φ x ⊃ ψ x : ( x ) . ψ x ⊃ χ x :: ( x ) . φ x ⊃ χ x

Inny przykład: formuła:

10.01 . (Ǝ x ) . φ x . = . ~( x ) . x Df .

oznacza „Symbole reprezentujące twierdzenie 'Istnieje co najmniej jeden x spełniający funkcję φ' są definiowane przez symbole reprezentujące twierdzenie 'Nie jest prawdą, że przy wszystkich wartościach x nie ma wartości x spełniających φ'”.

W SYMBOLIKA ⊃ x i "≡ x " pojawi się na ✸10.02 i ✸10.03 . Oba są skrótami uniwersalności (tj. dla wszystkich), które wiążą zmienną x z operatorem logicznym. Współczesna notacja po prostu używałaby nawiasów poza znakiem równości ("="):

✸10.02 cp xx ψ x . = . ( x ) . φ x ⊃ ψ x Df
Współczesny zapis: ∀ x (φ( x ) → ψ( x )) (lub wariant)
✸10.03 cp xx ψ x . = . ( x ) . φ x ≡ ψ x Df
Współczesny zapis: ∀ x (φ( x ) ↔ ψ( x )) (lub wariant)

PM przypisuje pierwszą symbolikę Peano.

Rozdział 11 stosuje tę symbolikę do dwóch zmiennych. Zatem następujące zapisy: ⊃ x , ⊃ y , ⊃ x, y mogą występować w jednym wzorze.

Rozdział ✸12 ponownie wprowadza pojęcie „macierzy” (współczesnej tablicy prawdy ), pojęcie typów logicznych, aw szczególności pojęcia funkcji i zdań pierwszego i drugiego rzędu .

Nowa symbolika "φ ! x " reprezentuje dowolną wartość funkcji pierwszego rzędu. Jeśli cyrkumfleks „^” jest umieszczony nad zmienną, to jest to „indywidualna” wartość y , co oznacza, że ​​„ ŷ ” oznacza „osoby” (np. wiersz w tabeli prawdy); to rozróżnienie jest konieczne ze względu na macierzową/ekstensjonalną naturę funkcji zdaniowych.

Teraz wyposażony w pojęcie macierzy, PM może potwierdzić swój kontrowersyjny aksjomat redukowalności : funkcja jednej lub dwóch zmiennych (dwie są wystarczające do użycia PM ), gdzie wszystkie jej wartości są podane (tj. w jej macierzy) jest (logicznie) równoważne ("≡") jakiejś funkcji predykatywnej tych samych zmiennych. Definicja jednej zmiennej jest podana poniżej jako ilustracja notacji ( PM 1962:166–167):

✸12.1:F ) : φ x . x . f ! x pp ;

Pp jest „zdaniem pierwotnym” („Stwierdzenia przyjęte bez dowodu”) ( PM 1962:12, tj. współczesne „aksjomaty”), dodanym do 7 zdefiniowanych w sekcji ✸1 (zaczynając od ✸1.1 modus ponens ). Należy je odróżnić od „idei pierwotnych”, które zawierają znak asercji „⊢”, negację „~”, logiczne LUB „V”, pojęcia „zdania elementarnego” i „elementarnej funkcji zdaniowej”; są one tak bliskie, jak PM zbliża się do zasad tworzenia notacji, tj . składni .

Oznacza to: „Twierdzimy prawdziwość tego, co następuje: Istnieje funkcja f o własności, która: biorąc pod uwagę wszystkie wartości x , ich oceny w funkcji φ (tj. wynikowa ich macierz) są logicznie równoważne niektórym f o wartości wartości x . (i odwrotnie, stąd równoważność logiczna)”. Innymi słowy: mając macierz określoną przez właściwość φ przyłożoną do zmiennej x , istnieje funkcja f, która zastosowana do x jest logicznie równoważna macierzy. Albo: każda macierz φ x może być reprezentowana przez funkcję f stosowaną do x i na odwrót.

✸13: Operator tożsamości "=" : Jest to definicja, która używa znaku na dwa różne sposoby, jak zaznaczono w cytacie z PM :

✸ 13.01 . x = y . = : (φ) : φ ! x . . φ ! y Df

znaczy:

„Definicja ta stwierdza, że x i y należy nazwać identycznymi, gdy każda funkcja predykatywna spełniona przez x jest również spełniona przez y … Zauważ, że drugi znak równości w powyższej definicji jest połączony z „Df”, a zatem nie jest naprawdę ten sam symbol, co znak równości, który jest zdefiniowany”.

Znak nierówności „≠” pojawia się jako definicja w 13.02 .

✸14: Opisy :

Opis to wyrażenie w postaci „termin y, który spełnia φ ŷ , gdzie φ ŷ jest funkcją spełnianą przez jeden i tylko jeden argument”.

Od tego PM stosuje dwa nowe symbole, przód „E” i odwrócony jota „℩”. Oto przykład:

✸ 14.02 . E ! (℩ Y ) (φ Y ) . = : ( b ) : φ y . y . y = b Df .

Ma to znaczenie:

Y spełniające φ ŷ istnieje”, które obowiązuje wtedy i tylko wtedy, gdy φ ŷ spełnia jedna wartość y i żadna inna wartość” ( PM 1967:173–174).

Wprowadzenie do notacji teorii klas i relacji

Tekst przeskakuje z sekcji ✸14 bezpośrednio do rozdziałów podstawowych 20 OGÓLNA TEORIA KLAS i ✸21 OGÓLNA TEORIA RELACJI . „Relacje” to to, co we współczesnej teorii mnogości znane jest jako zbiory par uporządkowanych . Sekcje ✸20 i ✸22 wprowadzają wiele symboli, które wciąż są w użyciu. Należą do nich symbole „ε”, „⊂”, „∩”, „∪”, „–”, „Λ” i „V”: „ε” oznacza „jest elementem” ( PM 1962:188); „⊂” ( 22.01 ) oznacza „zawarte w”, „jest podzbiorem”; „∩” ( ✸22.02 ) oznacza przecięcie (iloczyn logiczny) klas (zbiorów); „∪” ( ✸22.03 ) oznacza sumę (suma logiczna) klas (zbiorów); „–” ( ✸22.03 ) oznacza negację klasy (zbioru); „Λ” oznacza klasę null; a „V” oznacza powszechną klasę lub wszechświat dyskursu.

Małe litery greckie (inne niż „ε”, „ι”, „π”, „φ”, „ψ”, „χ” i „θ”) reprezentują klasy (np. „α”, „β”, „γ ", "δ" itd.) ( PM 1962:188):

x ε α
„Użycie pojedynczej litery zamiast symboli takich jak ( z ) lub ! z ) jest praktycznie niezbędne, ponieważ w przeciwnym razie notacja szybko staje się nieznośnie nieznośna. Tak więc ' x ε α' będzie oznaczać ' x jest a członek klasy α'". ( PM 1962:188)
α ∪ –α = V
Związek zbioru i jego odwrotność jest zbiorem uniwersalnym (spełnionym).
α ∩ –α = Λ
Przecięcie zbioru i jego odwrotności jest zbiorem zerowym (pustym).

W odniesieniu do relacji w sekcji ✸23 RACHUNEK RELACJI symbole „⊂”, „∩”, „∪” i „–” przybierają kropkę, na przykład: „⊍”, „∸”.

Pojęcie i notacja „klasy” (zbiór) : W pierwszym wydaniu PM twierdzi, że żadne nowe idee pierwotne nie są potrzebne do zdefiniowania tego, co rozumie się przez „klasę”, a tylko dwa nowe „zdania pierwotne” zwane aksjomatami redukowalności odpowiednio dla klas i relacji ( PM 1962:25). Ale zanim to pojęcie może zostać zdefiniowane, PM uważa, że ​​konieczne jest stworzenie szczególnej notacji " z )", którą nazywa "obiektem fikcyjnym". ( PM 1962:188)

: x ε ( φ z ) . . x )
„tzn. ' x jest członkiem klasy określonej przez (φ )' jest [logicznie] równoważne ' x spełnia (φ )' lub '(φ x ) jest prawdziwe.'”. ( PM 1962:25)

Przynajmniej PM może powiedzieć czytelnikowi, jak zachowują się te fikcyjne obiekty, ponieważ „Klasa jest całkowicie zdeterminowana, gdy znana jest jej przynależność, to znaczy, że dwie różne klasy nie mogą mieć tego samego członkostwa” ( PM 1962:26). Symbolizuje to następująca równość (podobna do ✸13,01 powyżej:

Źz ) = Źoo ) . : ( x ) : φ x . . ψ x
„To ostatnie jest cechą wyróżniającą klasy i uzasadnia traktowanie z ) jako klasy określonej przez [funkcję] ψ ”. ( PM 1962:188)

Być może powyższe można wyjaśnić poprzez omówienie klas we Wstępie do Drugiego Wydania , w którym pozbywa się Aksjomat redukowalności i zastępuje go pojęciem: „Wszystkie funkcje funkcji są ekstensjonalne” ( PM 1962: xxxix), tj.

φ xx ψ x . . ( x ) : ƒ(φ ) ƒ ƒ(ψ ) ( PM 1962: xxxix)

Ma to rozsądne znaczenie, że „JEŻELI dla wszystkich wartości x wartości prawdziwości funkcji φ i ψ x są [logicznie] równoważne, WTEDY funkcja ƒ danego φ i ƒ ψ są [logicznie] równoważne ”. PM twierdzi, że jest to „oczywiste”:

„Jest to oczywiste, ponieważ φ może wystąpić tylko w ƒ(φ ) przez podstawienie wartości φ dla p, q, r, ... w funkcji [logicznej], a jeśli φ x ≡ ψ x , podstawienie φ x za p w funkcji [logicznej] daje tę samą wartość prawdziwościową funkcji prawdziwościowej, co podstawienie x . W konsekwencji nie ma już powodu, aby rozróżniać klasy funkcji, ponieważ mamy, w z racji powyższego,
φ xx ψ x . . ( x ) . φ Ż = . ψ Z ”.

Zwróć uwagę na zmianę znaku równości „=” po prawej stronie. PM stwierdza, że ​​nadal będzie trzymał się notacji " z )", ale jest to po prostu równoważne φ , a to jest klasa. (wszystkie cytaty: PM 1962:xxxix).

Spójność i krytyka

Według „Logicist Foundations of Mathematics” Carnapa Russell chciał teorii, o której można by wiarygodnie powiedzieć, że wywodzi całą matematykę z czysto logicznych aksjomatów. Jednak Principia Mathematica wymagała, oprócz podstawowych aksjomatów teorii typów, trzech dalszych aksjomatów, które wydawały się nie być prawdziwe jako zwykłe kwestie logiki, a mianowicie aksjomat nieskończoności , aksjomat wyboru i aksjomat redukowalności . Ponieważ pierwsze dwa były aksjomatami egzystencjalnymi, Russell sformułował zdania matematyczne w zależności od nich jako warunki warunkowe. Ale redukowalność była wymagana, aby upewnić się, że zdania formalne nawet właściwie wyrażają zdania analizy rzeczywistej, tak aby zdania od nich zależne nie mogły być przeformułowane jako zdania warunkowe. Frank P. Ramsey próbował argumentować, że rozgałęzienie teorii typów przez Russella było niepotrzebne, aby można było usunąć redukowalność, ale te argumenty wydawały się niejednoznaczne.

Poza statusem aksjomatów jako prawd logicznych , można zadać następujące pytania dotyczące dowolnego systemu, takiego jak PM:

Wiadomo było, że sama logika zdań jest spójna, ale tego samego nie ustalono dla aksjomatów teorii mnogości Principia . (Patrz drugi problem Hilberta .) Russell i Whitehead podejrzewali, że system w PM jest niekompletny: wskazali na przykład, że nie wydaje się wystarczająco potężny, aby pokazać, że kardynał ℵ ω istnieje. Można jednak zapytać, czy jakieś rekursywnie aksjomatyzowalne rozszerzenie jest kompletne i spójne.

Gödel 1930, 1931

W 1930 r. twierdzenie Gödla o zupełności wykazało, że logika predykatów pierwszego rzędu jest zupełna w znacznie słabszym sensie – to znaczy, że każde zdanie, którego nie można udowodnić z danego zestawu aksjomatów, musi być w rzeczywistości fałszywe w jakimś modelu aksjomatów. Nie jest to jednak silniejsze poczucie zupełności pożądane dla Principia Mathematica, ponieważ dany system aksjomatów (np. Principia Mathematica) może mieć wiele modeli, z których w niektórych dane zdanie jest prawdziwe, a w innych to zdanie jest fałszywe, tak że twierdzenie pozostaje niezdecydowane przez aksjomaty.

Twierdzenia Gödla o niezupełności rzucają nieoczekiwane światło na te dwa powiązane ze sobą pytania.

Pierwsze twierdzenie Gödla o niezupełności pokazało, że żadne rekurencyjne rozszerzenie Principia nie może być zarówno spójne, jak i kompletne dla zdań arytmetycznych. (Jak wspomniano powyżej, sama Principia była już znana jako niekompletna dla niektórych zdań niearytmetycznych.) Zgodnie z twierdzeniem, w każdym wystarczająco potężnym rekurencyjnym systemie logicznym (takim jak Principia ) istnieje zdanie G, które zasadniczo brzmi: stwierdzenie G nie może być udowodnione." Takie stwierdzenie jest rodzajem paragrafu 22 : jeśli G jest dowodliwe, to jest fałszywe, a zatem system jest niespójny; a jeśli G nie jest dowodliwe, to jest prawdziwe, a zatem system jest niekompletny.

Drugie twierdzenie Gödla o niezupełności (1931) pokazuje, że żaden system formalny rozszerzający podstawową arytmetykę nie może być użyty do udowodnienia własnej spójności. Zatem stwierdzenie „nie ma sprzeczności w Principia systemu” nie może być udowodnione w Principia systemu, chyba że sprzeczności w systemie (w którym to przypadku może być sprawdzony zarówno prawdziwe i fałszywe).

Wittgenstein 1919, 1939

W drugim wydaniu PM Russell usunął swój aksjomat redukowalności do nowego aksjomatu (chociaż nie stwierdza tego jako taki). Gödel 1944:126 opisuje to w ten sposób:

„Zmiana ta jest powiązana z nowym aksjomatem, że funkcje mogą występować w zdaniach tylko „poprzez ich wartości”, tj. ekstensywnie… [jest to] całkiem niepodważalne nawet z konstruktywnego punktu widzenia… pod warunkiem, że kwantyfikatory są zawsze ograniczone do określonego Zamówienia". Ta zmiana ze stanowiska quasi- intensjonalnego do stanowiska w pełni ekstensjonalnego ogranicza również logikę predykatów do drugiego rzędu, tj. funkcji funkcji: „Możemy postanowić, że matematyka ma ograniczać się do funkcji funkcji, które są zgodne z powyższym założeniem” ( PM 2. wydanie s. 401, załącznik C).

Ta nowa propozycja przyniosła tragiczny wynik. „Postawa ekstensjonalna” i ograniczenie do logiki predykatów drugiego rzędu oznacza, że ​​funkcja zdaniowa rozszerzona na wszystkie indywidua, taka jak „Wszystkie „x” są niebieskie”, musi teraz wymieniać wszystkie „x”, które spełniają (są prawdziwe w) zdanie, wymieniając je w możliwie nieskończonej koniunkcji: np. x 1x 2 ∧ . . . ∧ x n ∧. . Jak na ironię, zmiana ta nastąpiła w wyniku krytyki Wittgensteina zawartej w Tractatus Logico-Philosophicus z 1919 roku . Jak opisuje Russell we Wstępie do Drugiego Wydania PM :

„Istnieje inny kurs, zalecany przez Wittgensteina († Tractatus Logico-Philosophicus , *5.54ff) ze względów filozoficznych. Oznacza to założenie, że funkcje zdań są zawsze funkcjami prawdziwościowymi i że funkcja może wystąpić tylko w zdaniu poprzez jej wartości [...] [Przepracowując konsekwencje] wydaje się, że wszystko w tomie I pozostaje prawdziwe (choć często wymagane są nowe dowody); teoria indukcyjnych kardynałów i liczb porządkowych przetrwała; ale wydaje się, że teoria nieskończoności Szeregi dedekindyjskie i dobrze uporządkowane w dużej mierze załamują się, tak że nie można już odpowiednio traktować liczb niewymiernych i ogólnie liczb rzeczywistych. Również dowód Cantora, że ​​2 n > n załamuje się, chyba że n jest skończone. ( PM 2 wydanie przedrukowane 1962: xiv, także por. nowy dodatek C).

Innymi słowy, fakt, że nieskończonej listy nie można realistycznie określić oznacza, że ​​pojęcie „liczby” w sensie nieskończonym (tj. kontinuum) nie może być opisane przez nową teorię zaproponowaną w PM Wydanie drugie .

Wittgenstein w swoich Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge 1939 krytykował Principia z różnych powodów, takich jak:

  • Ma na celu ujawnienie fundamentalnych podstaw arytmetyki. Jednak to nasze codzienne praktyki arytmetyczne, takie jak liczenie, są fundamentalne; gdyby bowiem powstała uporczywa rozbieżność między liczeniem a Principia , byłoby to traktowane jako dowód błędu w Principia (np., że Principia nie charakteryzował prawidłowo liczb lub dodawania), a nie jako dowód błędu w codziennym liczeniu.
  • Metody obliczeniowe w Principia mogą być stosowane w praktyce tylko przy bardzo małych liczbach. Aby obliczyć za pomocą dużych liczb (np. miliardów), formuły stałyby się zbyt długie i należałoby użyć jakiejś skrótowej metody, która bez wątpienia opierałaby się na codziennych technikach, takich jak liczenie (lub też na niepodstawowych, a co za tym idzie, wątpliwe metody, takie jak indukcja). Więc znowu Principia zależy od codziennych technik, a nie odwrotnie.

Wittgenstein przyznał jednak, że Principia może mimo wszystko wyjaśnić niektóre aspekty codziennej arytmetyki.

Gödel 1944

W swojej logice matematycznej Russella z 1944 r. Gödel proponuje „krytyczną, ale życzliwą dyskusję nad logicznym porządkiem idei”:

„Należy żałować, że ta pierwsza wyczerpująca i dogłębna prezentacja logiki matematycznej i wyprowadzania z niej matematyki [jest] tak bardzo uboga w formalną precyzję w podstawach (zawartych w *1-*21 Principia ), że stanowi pod tym względem znaczny krok wstecz w stosunku do Fregego, brakuje przede wszystkim precyzyjnego określenia składni formalizmu, a rozważania syntaktyczne pomija się nawet w przypadkach, gdy są one konieczne dla zgodności dowodów. (...) Sprawa jest szczególnie wątpliwa w przypadku zasady substytucji i zastępowania zdefiniowanych symboli przez ich definiens (...) to głównie zasada substytucji musiałaby zostać udowodniona” (Gödel 1944: 124).

Zawartość

Część I Logika matematyczna. Tom I ✸1 do ✸43

Ta sekcja opisuje rachunek zdań i predykatów oraz podaje podstawowe właściwości klas, relacji i typów.

Część II Prolegomena do arytmetyki kardynalnej. Tom I ✸50 do ✸97

Ta część obejmuje różne właściwości relacji, zwłaszcza te potrzebne do arytmetyki kardynalnej.

Część III Arytmetyka kardynalna. Tom II ✸100 do ✸126

Obejmuje to definicję i podstawowe właściwości kardynałów. Kardynał jest definiowany jako klasa równoważności podobnych klas (w przeciwieństwie do ZFC , gdzie kardynał jest specjalnym rodzajem liczby porządkowej von Neumanna). Każdy typ ma swoją własną kolekcję kardynałów, a do porównywania kardynałów różnych typów potrzebna jest znaczna ilość danych księgowych. PM definiuje dodawanie, mnożenie i potęgowanie kardynałów oraz porównuje różne definicje skończonych i nieskończonych kardynałów. ✸120,03 to Aksjomat nieskończoności.

Część IV Arytmetyka relacyjna. Tom II ✸150 do ✸186

„Liczba relacji” to klasa równoważności relacji izomorficznych. PM definiuje analogi dodawania, mnożenia i potęgowania dla dowolnych relacji. Dodawanie i mnożenie jest podobne do zwykłej definicji dodawania i mnożenia liczb porządkowych w ZFC, chociaż definicja potęgowania relacji w PM nie jest równoważna zwykłej definicji używanej w ZFC.

Część V Seria. Tom II ✸200 do ✸234 i tom III ✸250 do ✸276

Obejmuje to serię, co jest określeniem PM na to, co obecnie nazywa się kompletnie uporządkowanym zestawem. W szczególności obejmuje szeregi pełne, funkcje ciągłe pomiędzy szeregami o topologii porządku (choć oczywiście nie używają tej terminologii), szeregi uporządkowane i szeregi bez „przerw” (te z członem ściśle pomiędzy dowolnymi dwoma danymi członami) .

Część VI Ilość. Tom III ✸300 do ✸375

Ta sekcja konstruuje pierścień liczb całkowitych, pola liczb wymiernych i rzeczywistych oraz „rodziny wektorowe”, które są powiązane z tak zwanymi torsorami nad grupami abelowymi.

Porównanie z teorią mnogości

Ta sekcja porównuje system w PM ze zwykłymi podstawami matematycznymi ZFC. System PM jest z grubsza porównywalny pod względem siły z teorią mnogości Zermelo (a dokładniej jej wersją, w której aksjomat separacji ma wszystkie kwantyfikatory ograniczone).

  • System logiki zdań i rachunku predykatów w PM jest zasadniczo taki sam, jak ten używany obecnie, z tą różnicą, że zmieniła się notacja i terminologia.
  • Najbardziej oczywistą różnicą między PM a teorią mnogości jest to, że w PM wszystkie obiekty należą do jednego z wielu rozłącznych typów. Oznacza to, że wszystko zostaje zduplikowane dla każdego (nieskończonego) typu: na przykład każdy typ ma swoje własne liczby porządkowe, kardynalne, liczby rzeczywiste i tak dalej. Powoduje to wiele księgowości, aby powiązać ze sobą różne typy.
  • W ZFC funkcje są zwykle kodowane jako zestawy uporządkowanych par. W PM funkcje traktowane są raczej inaczej. Przede wszystkim „funkcja” oznacza „funkcję zdaniową”, czyli coś, co przyjmuje wartości prawdziwe lub fałszywe. Po drugie, funkcje nie są określone przez ich wartości: możliwe jest posiadanie kilku różnych funkcji, z których wszystkie przyjmują te same wartości (na przykład można uznać 2 x +2 i 2( x +1) za różne funkcje, ponieważ programy komputerowe do ich oceny są różne). Funkcje w ZFC podane przez zestawy uporządkowanych par odpowiadają temu, co PM nazywa „macierzami”, a bardziej ogólne funkcje w PM są kodowane przez kwantyfikację niektórych zmiennych. W szczególności PM rozróżnia funkcje zdefiniowane za pomocą kwantyfikacji i funkcje niezdefiniowane za pomocą kwantyfikacji, podczas gdy ZFC nie dokonuje tego rozróżnienia.
  • PM nie ma odpowiednika aksjomatu zastępowania , chociaż ma to niewielkie znaczenie praktyczne, ponieważ aksjomat ten jest bardzo rzadko używany w matematyce poza teorią mnogości.
  • PM podkreśla relację jako pojęcie fundamentalne, podczas gdy w obecnej praktyce matematycznej to funkcje, a nie relacje traktowane są jako bardziej fundamentalne; na przykład teoria kategorii kładzie nacisk na morfizmy lub funkcje, a nie na relacje. (Istnieje jednak odpowiednik kategorii zwanych alegoriami, który modeluje relacje, a nie funkcje i jest dość podobny do systemu typów PM.)
  • W PM kardynałowie są zdefiniowani jako klasy podobnych klas, podczas gdy w ZFC kardynałowie są specjalnymi porządkami. W PM istnieje inny zbiór kardynałów dla każdego typu z pewną skomplikowaną maszynerią do przenoszenia kardynałów między typami, podczas gdy w ZFC jest tylko jeden rodzaj kardynała. Ponieważ PM nie ma żadnego odpowiednika aksjomatu zastępowania, nie jest w stanie udowodnić istnienia kardynałów większych niż ℵ ω .
  • W PM liczby porządkowe są traktowane jako klasy równoważności dobrze uporządkowanych zbiorów i tak jak w przypadku kardynałów istnieje inny zbiór liczb porządkowych dla każdego typu. W ZFC istnieje tylko jeden zbiór liczb porządkowych, zwykle określanych jako porządkowe von Neumanna . Dziwnym dziwactwem PM jest to, że nie mają liczby porządkowej odpowiadającej 1, co powoduje liczne niepotrzebne komplikacje w ich twierdzeniach. Definicja potęgowania porządkowego α β w PM nie jest równoważna ze zwykłą definicją w ZFC i ma pewne raczej niepożądane właściwości: na przykład nie jest ciągła w β i nie jest dobrze uporządkowana (więc nie jest nawet liczbą porządkową).
  • Konstrukcje liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych w ZFC zostały znacznie uproszczone od czasu konstrukcji w PM.

Różnice między wydaniami

Poza poprawkami błędów drukarskich, tekst główny PM pozostaje niezmieniony między pierwszym i drugim wydaniem. Tekst główny w tomach 1 i 2 został zresetowany, tak aby w każdym zajmował mniej stron. W drugim wydaniu Tom 3 nie został zresetowany, został przedrukowany fotograficznie z tą samą numeracją stron; wciąż dokonywano poprawek. Łączna liczba stron (bez wyklejek) w pierwszym wydaniu to 1996; w drugim 2000. Tom 1 ma pięć nowych dodatków:

  • 54-stronicowe wprowadzenie Russella opisujące zmiany, których dokonaliby, gdyby mieli więcej czasu i energii. Główną zmianą, jaką sugeruje, jest usunięcie kontrowersyjnego aksjomatu redukowalności, choć przyznaje, że nie zna go satysfakcjonującego substytutu. Wydaje się też bardziej przychylny idei, że funkcję należy określać przez jej wartości (jak to zwykle bywa w obecnej praktyce matematycznej).
  • Dodatek A, ponumerowany jako *8, 15 stron, o uderzeniu Sheffera.
  • Dodatek B, ponumerowany jako *89, omawia indukcję bez aksjomatu redukowalności.
  • Dodatek C, 8 stron, omawiający funkcje zdaniowe.
  • 8-stronicowa lista definicji na końcu, dająca bardzo potrzebny indeks do około 500 użytych notacji.

W 1962 roku Cambridge University Press opublikowało skrócone wydanie w miękkiej oprawie zawierające części drugiego wydania tomu 1: nowe wprowadzenie (i stare), tekst główny do *56 oraz dodatki A i C.

Edycje

Pierwsze wydanie zostało przedrukowane w 2009 roku przez Merchant Books, ISBN  978-1-60386-182-3 , ISBN  978-1-60386-183-0 , ISBN  978-1-60386-184-7 .

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Tractatus Logico-Philosophicus (Wiedeń 1918), oryginalna publikacja w języku niemieckim.

Linki zewnętrzne