Gaz fotonowy - Photon gas

W fizyce gaz fotonowy to podobny do gazu zbiór fotonów , który ma wiele takich samych właściwości jak konwencjonalny gaz, taki jak wodór czy neon – w tym ciśnienie, temperatura i entropia. Najczęstszym przykładem gazu fotonowego w równowadze jest promieniowanie ciała doskonale czarnego .

Fotony są częścią rodziny cząstek znanych jako bozony , cząstek, które są zgodne ze statystykami Bosego-Einsteina i mają spin całkowity . Gazu bozonów tylko jeden rodzaj cząstek jest jednoznacznie opisać trzema funkcji stanu, takich jak temperatura , objętość , a liczba cząstek . Jednak w przypadku ciała doskonale czarnego rozkład energii jest ustalany przez oddziaływanie fotonów z materią, zwykle ścianami pojemnika. W tej interakcji liczba fotonów nie jest zachowana. W rezultacie potencjał chemiczny gazu fotonowego ciała doskonale czarnego wynosi zero w równowadze termodynamicznej. Liczba zmiennych stanu potrzebnych do opisania stanu ciała doskonale czarnego zostaje w ten sposób zredukowana z trzech do dwóch (np. temperatura i objętość).

Termodynamika gazu fotonowego ciała doskonale czarnego

W klasycznym gazie doskonałym z masywnymi cząstkami energia cząstek jest rozłożona zgodnie z rozkładem Maxwella-Boltzmanna . Rozkład ten ustala się, gdy cząstki zderzają się ze sobą, wymieniając w tym procesie energię (i pęd). W gazie fotonowym również będzie rozkład równowagi, ale fotony nie zderzają się ze sobą (z wyjątkiem bardzo ekstremalnych warunków, patrz fizyka dwóch fotonów ), więc rozkład równowagi musi zostać ustalony w inny sposób. Najczęstszym sposobem ustalenia rozkładu równowagi jest interakcja fotonów z materią. Jeśli fotony są pochłaniane i emitowane przez ściany układu zawierającego gaz fotonowy, a ściany te mają określoną temperaturę, wówczas rozkład równowagi dla fotonów będzie rozkładem ciała doskonale czarnego w tej temperaturze.

Bardzo ważną różnicą między gazem bosowym (gazem masywnych bozonów) a gazem fotonowym o rozkładzie ciała doskonale czarnego jest to, że liczba fotonów w układzie nie jest zachowana. Foton może zderzyć się z elektronem w ścianie, wzbudzając go do wyższego stanu energetycznego, usuwając foton z gazu fotonowego. Ten elektron może opaść z powrotem na swój niższy poziom w serii kroków, z których każdy uwalnia pojedynczy foton z powrotem do gazu fotonowego. Chociaż suma energii fotonów emitowanych fotonów jest taka sama jak fotonu pochłoniętego, liczba emitowanych fotonów będzie się różnić. Można wykazać, że w wyniku tego braku ograniczenia liczby fotonów w układzie, potencjał chemiczny fotonów musi wynosić zero dla promieniowania ciała doskonale czarnego.

Termodynamikę gazu fotonowego ciała doskonale czarnego można wyprowadzić za pomocą argumentów mechaniki kwantowej . Wyprowadzenie daje widmową gęstość energii u, która jest energią na jednostkę objętości na jednostkowy przedział częstotliwości, określoną przez prawo Plancka :

${\ Displaystyle u (\ nu, T) = {\ Frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}}{c ^ {3}}} ~ {\ Frac {1} {e ^ {\ Frac {h \ nu }{kT}}-1}}}$.

gdzie h to stała Plancka , c   to prędkość światła, ν   to częstotliwość, k   to stała Boltzmanna, a T   to temperatura.

Całkowanie przez częstotliwość i pomnożenie przez objętość V daje energię wewnętrzną gazu fotonowego ciała doskonale czarnego:

${\ Displaystyle U = \ lewo ({\ Frac {8 \ pi ^ {5} k ^ {4}}{15 (HC) ^ {3}}} \ prawej) VT ^ {4}}$.

Wyprowadzenie daje również (oczekiwaną) liczbę fotonów N :

${\ Displaystyle N = \ lewo ({\ Frac {16 \ pi k ^ {3} \ zeta (3)} {(HC) ^ {3}}} \ prawej) VT ^ {3}}$,

gdzie jest funkcja zeta Riemanna . Należy zauważyć, że dla określonej temperatury liczba cząstek N zmienia się wraz z objętością w ustalony sposób, dostosowując się do stałej gęstości fotonów. ${\ Displaystyle \ zeta (n)}$

Jeśli zauważymy, że równanie stanu dla ultrarelatywistycznego gazu kwantowego (który z natury opisuje fotony) jest dane przez

${\ Displaystyle U = 3PV}$,

następnie możemy połączyć powyższe wzory, aby uzyskać równanie stanu, które wygląda bardzo podobnie do gazu doskonałego:

${\ Displaystyle PV = {\ Frac {\ zeta (4)} {\ zeta (3)}} NkT \ około 0,9 \ NkT}$.

Poniższa tabela podsumowuje funkcje stanu termodynamicznego dla gazu fotonowego ciała doskonale czarnego. Zauważ, że ciśnienie można zapisać w postaci , która jest niezależna od objętości ( b jest stałą). ${\ Displaystyle P = bT ^ {4}}$

Funkcje stanu termodynamicznego dla gazu fotonowego ciała doskonale czarnego ${\displaystyle (\hbar =h/2\pi)}$

	Funkcja stanu ( T , V )
Energia wewnętrzna	${\ Displaystyle U = \ lewo ({\ Frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}}{15c ^ {3} \ hbar ^ {3}}} \ po prawej) \ VT ^ {4}}$
Numer cząstek	${\ Displaystyle N = \ lewo ({\ Frac {2 k ^ {3} \ zeta (3)} {\ pi ^ {2} c ^ {3} \ hbar ^ {3}}} \ po prawej) \ VT ^ {3}}$
Potencjał chemiczny	${\ Displaystyle \ mu = 0 \,}$
Nacisk	${\ Displaystyle P = {\ Frac {1} {3}} \ {\ Frac {U} {V}} = \ lewo ({\ Frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {45c ^ {3}\hbar ^{3}}}\prawo)\,T^{4}}$
Entropia	${\ Displaystyle S = {\ Frac {4U}{3 T}} = \ lewo ({\ Frac {4 \ pi ^ {2} k ^ {4} {45 c ^ {3} \ hbar ^ {3}}} \prawo)\,VT^{3}}$
Entalpia	${\ Displaystyle H = {\ Frac {4}{3}} \ U}$
Energia swobodna Helmholtza	${\displaystyle A=-{\frac {1}{3}}\U}$
Energia swobodna Gibbsa	${\displaystyle G=0\,}$

Przekształcenia izotermiczne

Jako przykład procesu termodynamicznego z udziałem gazu fotonowego rozważ cylinder z ruchomym tłokiem. Wewnętrzne ścianki cylindra są „czarne”, aby temperatura fotonów mogła być utrzymywana w określonej temperaturze. Oznacza to, że przestrzeń wewnątrz cylindra będzie zawierać gaz fotonowy rozprowadzany przez ciało doskonale czarne. W przeciwieństwie do masywnego gazu, ten gaz będzie istniał bez fotonów wprowadzanych z zewnątrz – ściany będą dostarczać fotony dla gazu. Załóżmy, że tłok jest wepchnięty do samego końca w cylinder, dzięki czemu uzyskuje się bardzo małą objętość. Gaz fotonowy wewnątrz objętości będzie naciskał na tłok, przesuwając go na zewnątrz, i aby przemiana była izotermiczna, trzeba będzie przyłożyć do tłoka przeciwną siłę o prawie tej samej wartości, aby ruch tłoka był bardzo wolno. Siła ta będzie równa ciśnieniu razy powierzchnia przekroju ( A  ) tłoka. Proces ten można kontynuować w stałej temperaturze, aż gaz fotonowy osiągnie objętość V ₀  . Całkowanie siły na przebytej odległości ( x  ) daje całkowitą pracę wykonaną w celu wytworzenia tego gazu fotonowego w tej objętości

${\ Displaystyle W = - \ int _ {0} ^ {x_ {0}} P (A \ operatorname {d} x)}$,

gdzie zastosowano zależność V = Ax   . Definiowanie

${\ Displaystyle b = {\ Frac {8 \ pi ^ {5} k ^ {4}}{15c ^ {3}h ^ {3}}}}$.

Ciśnienie jest

${\ Displaystyle P (x) = {\ Frac {bT ^ {4}} {3}} \,}$.

Integrując, wykonana praca jest po prostu

${\ Displaystyle W = - {\ Frac {bT ^ {4}Ax_ {0}} {3}} = - {\ Frac {bT ^ {4} V_ {0}} {3}}}$.

Ilość ciepła, którą należy dodać, aby wytworzyć gaz, wynosi

${\displaystyle Q=UW=H_{0}\,}$.

gdzie H ₀ jest entalpią na końcu transformacji. Widać, że entalpia to ilość energii potrzebna do wytworzenia gazu fotonowego.

Zobacz też

• Gaz w pudełku – wyprowadzenie funkcji dystrybucji dla wszystkich gazów idealnych
• Gaz Bose
• Gaz Fermi
• Prawo Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego – rozkład energii fotonów w funkcji częstotliwości lub długości fali
• Prawo Stefana–Boltzmanna – całkowity strumień emitowany przez ciało doskonale czarne
• Ciśnienie promieniowania

Dalsza lektura

• Baierlein, Ralph (kwiecień 2001). „Nieuchwytny potencjał chemiczny” (PDF) . American Journal of Physics . 69 (4): 423–434. Kod bib : 2001AmJPh..69..423B . doi : 10.1119/1.1336839 .
• Herrmann F.; Würfel, P. (sierpień 2005). „Światło o niezerowym potencjale chemicznym” (PDF) . American Journal of Physics . 73 (8): 717–723. Kod bib : 2005AmJPh..73..717H . doi : 10.1119/1.1904623 . Zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 2016-03-04 . Pobrano 2012-06-29 .

Bibliografia