Obrót - Rotation

Kula obracająca się (wirująca) wokół osi

Obrót to ruch okrężny obiektu wokół osi obrotu . Obiekt trójwymiarowy może mieć nieskończoną liczbę osi obrotu.

Jeśli oś obrotu przechodzi wewnętrznie przez własny środek masy ciała , wtedy mówi się, że ciało jest autorotowane lub wiruje , a przecięcie powierzchni osi można nazwać biegunem . Obrót wokół osi całkowicie zewnętrznych, na przykład na planecie ziemi wokół Sun , nazywany jest obrotowy lub orbicie , na ogół, gdy jest wytwarzana przez siły ciężkości , a końce osi obrotu można nazwać bieguny orbitalnych .

Matematyka

Obrót ( przemieszczenie kątowe ) płaskiej figury wokół punktu
Orbita obrotowa a wirowanie
Relacje między osią obrotu, płaszczyzną orbity i nachyleniem osi (dla Ziemi).

Matematycznie rotacja jest ruchem ciała sztywnego , który w przeciwieństwie do translacji utrzymuje punkt w stałym położeniu. Ta definicja dotyczy obrotów w dwóch i trzech wymiarach (odpowiednio w płaszczyźnie i w przestrzeni).

Wszystkie ruchy ciała sztywnego są rotacjami, translacjami lub kombinacjami tych dwóch.

Obrót to po prostu progresywna orientacja promieniowa do wspólnego punktu. Ten wspólny punkt leży w osi tego ruchu. Oś jest 90 stopni prostopadła do płaszczyzny ruchu. Jeśli oś obrotu leży na zewnątrz ciała, o którym mowa, mówi się, że ciało porusza się po orbicie. Nie ma zasadniczej różnicy między „rotacją” a „orbitą” i „spinem”. Kluczowe rozróżnienie polega po prostu na tym, gdzie znajduje się oś obrotu, wewnątrz lub na zewnątrz danego ciała. To rozróżnienie można zademonstrować zarówno dla ciał „sztywnych”, jak i „niesztywnych”.

Jeśli po obrocie wokół punktu lub osi następuje drugi obrót wokół tego samego punktu/osi, następuje trzeci obrót. Odwrotność ( odwrotność ) rotacji jest również rotacją. W ten sposób obroty wokół punktu/osi tworzą grupę . Jednak obrót wokół punktu lub osi i obrót wokół innego punktu/osi może spowodować coś innego niż obrót, np. translację.

Obroty wokół osi x , y i z nazywane są rotacjami głównymi . Obrót wokół dowolnej osi można wykonać, wykonując obrót wokół osi x , następnie obrót wokół osi y , a następnie obrót wokół osi z . Oznacza to, że każdy obrót przestrzenny można rozłożyć na kombinację rotacji głównych.

W dynamiki lotu , że główne obroty są znane jako odchylenie , skoku i rolka (zwanym kątem Tait-Bryan ). Terminologia ta stosowana jest również w grafice komputerowej .

Astronomia

W astronomii rotacja jest zjawiskiem powszechnie obserwowanym. Gwiazdy , planety i podobne ciała obracają się wokół swoich osi. Szybkość rotacji planet w Układzie Słonecznym została po raz pierwszy zmierzona przez śledzenie cech wizualnych. Rotacja gwiazd jest mierzona poprzez przesunięcie Dopplera lub śledzenie aktywnych cech powierzchni.

Obrót ten wywołuje przyspieszenie odśrodkowe w układzie odniesienia Ziemi, które nieco przeciwdziała efektowi grawitacji im bliżej równika jest . Grawitacja Ziemi łączy oba efekty masowe, tak że obiekt waży nieco mniej na równiku niż na biegunach. Innym jest to, że z biegiem czasu Ziemia ulega lekkiej deformacji w spłaszczoną sferoidę ; podobne wybrzuszenie równikowe rozwija się na innych planetach.

Inną konsekwencją rotacji planety jest zjawisko precesji . Podobnie jak w przypadku żyroskopu , ogólny efekt polega na lekkim „chwianiu się” w ruchu osi planety. Obecnie nachylenie osi Ziemi do płaszczyzny orbity ( nachylenie ekliptyki ) wynosi 23,44 stopnia, ale kąt ten zmienia się powoli (na przestrzeni tysięcy lat). (Patrz także Precesja równonocy i gwiazda polarna .)

Rotacja i rewolucja

Podczas gdy obrót jest często używany jako synonim obrotu, w wielu dziedzinach, zwłaszcza astronomii i dziedzinach pokrewnych, obrót, często określany jako obrót orbitalny dla jasności, jest używany, gdy jedno ciało porusza się wokół drugiego, podczas gdy obrót oznacza ruch wokół oś. Księżyce krążą wokół swojej planety, planety krążą wokół swojej gwiazdy (takiej jak Ziemia wokół Słońca); a gwiazdy powoli krążą wokół swojego galaktycznego centrum . Ruch komponentów galaktyk jest złożony, ale zwykle zawiera komponent rotacji.

Rotacja wsteczna

Większość planet w naszym Układzie Słonecznym , w tym Ziemia , obraca się w tym samym kierunku, w którym okrążają Słońce . Wyjątkami są Wenus i Uran . Wenus może być postrzegana jako obracająca się powoli do tyłu (lub będąca „do góry nogami”). Uran obraca się prawie na swojej stronie względem swojej orbity. Obecne spekulacje są takie, że Uran rozpoczął z typową orientacją progresywną i został powalony na bok przez duże uderzenie na początku swojej historii. Planeta karłowata Pluton (dawniej uważany za planetę) jest anomalią na kilka sposobów, w tym, że również obraca się na bok.

Fizyka

Prędkość obrotowa jest przez częstotliwość kątową (rad / s) lub częstotliwości ( zwojowej w czasie) lub okres (s, dzień, etc.). Szybkość zmiany częstotliwości kątowej w czasie to przyspieszenie kątowe (rad/s²), wywołane momentem obrotowym . Stosunek tych dwóch (jak ciężko jest rozpocząć, zatrzymać lub w inny sposób zmienić obrót) jest określony przez moment bezwładności .

Kątową wektora (e osiowe wektor ) opisano również w kierunku osi obrotu. Podobnie moment obrotowy jest wektorem osiowym.

Fizyka obrotu wokół stałej osi jest matematycznie opisana za pomocą reprezentacji osiowo-kątowej obrotów. Zgodnie z zasadą prawej ręki kierunek od obserwatora wiąże się z obrotem w prawo, a kierunek do obserwatora z obrotem w lewo, jak śruba .

Zasada kosmologiczna

Że prawa fizyki są obecnie uważane za niezmienne w każdych stałej rotacji . (Chociaż wydaje się, że zmieniają się, gdy są oglądane z obracającego się punktu widzenia: zobacz obracający się układ odniesienia ).

We współczesnej kosmologii fizycznej zasadą kosmologiczną jest pogląd, że rozkład materii we wszechświecie jest jednorodny i izotropowy, gdy patrzy się na niego w wystarczająco dużej skali, ponieważ oczekuje się, że siły będą działać jednolicie w całym wszechświecie i nie mają preferowanego kierunku i powinny w związku z tym nie wytwarzają żadnych obserwowalnych nieprawidłowości w wielkoskalowej strukturze w przebiegu ewolucji pola materii, które zostało pierwotnie ustanowione przez Wielki Wybuch.

W szczególności, dla układu, który zachowuje się tak samo niezależnie od tego, jak jest zorientowany w przestrzeni, jego lagranżan jest niezmiennikiem rotacyjnym. Zgodnie z twierdzeniem Noether , jeśli działanie ( całka w czasie jego Lagrange'a) układu fizycznego jest niezmiennicze przy obrocie, to moment pędu jest zachowany .

Obroty Eulera

Obroty Eulera Ziemi. Wewnętrzny (zielony), Precesja (niebieski) i Nutacja (czerwony)

Obroty Eulera stanowią alternatywny opis rotacji. Jest to kompozycja trzech obrotów definiowanych jako ruch uzyskany poprzez zmianę jednego z kątów Eulera , pozostawiając pozostałe dwa stałe. Obroty Eulera nigdy nie są wyrażane w kategoriach zewnętrznej ramy lub w kategoriach współ-poruszającej się obróconej ramy ciała, ale w postaci mieszanki. Stanowią one mieszany układ osi obrotu, gdzie pierwszy kąt obraca linię węzłów wokół osi zewnętrznej z , drugi obraca się wokół linii węzłów, a trzeci jest obrotem wewnętrznym wokół osi unieruchomionej w poruszającym się korpusie.

Te rotacje nazywane są precesją , nutacją i rotacją wewnętrzną .

Dynamika lotu

Główne osie obrotu w przestrzeni

W dynamice lotu , główne obroty opisane powyżej za pomocą kątów Eulera są znane jako pochylenie , przechylenie i odchylenie . Termin rotacja jest również używany w lotnictwie w odniesieniu do skoku w górę (podnosi się nos) samolotu, szczególnie podczas rozpoczynania wznoszenia po starcie.

Obroty główne mają tę zaletę, że modelują wiele systemów fizycznych, takich jak gimbale i joysticki , dzięki czemu są łatwe do wizualizacji i są bardzo kompaktowym sposobem przechowywania rotacji. Ale są one trudne do wykorzystania w obliczeniach, ponieważ nawet proste operacje, takie jak łączenie obrotów, są kosztowne i cierpią z powodu blokady kardanowej, w której kąty nie mogą być jednoznacznie obliczone dla niektórych obrotów.

Przejażdżki rozrywkowe

Wiele przejażdżek rozrywkowych zapewnia rotację. Młyn koło ma poziomą oś centralną, a osie równoległe do każdej gondoli, w której obroty są przeciwne, grawitacyjnie lub mechanicznie. Dzięki temu w każdej chwili orientacja gondoli jest wyprostowana (nie obrócona), po prostu przetłumaczona. Wierzchołek wektora translacji opisuje okrąg. Karuzela zapewnia obrót wokół osi pionowej. Wiele przejażdżek zapewnia kombinację obrotów wokół kilku osi. W Chair-O-Planes obrót wokół osi pionowej odbywa się mechanicznie, podczas gdy obrót wokół osi poziomej jest spowodowany siłą dośrodkową . W inwersjach roller coaster obrót wokół osi poziomej to jeden lub więcej pełnych cykli, w których bezwładność utrzymuje ludzi na swoich miejscach.

Sporty

Rotacja piłki lub innego przedmiotu, zwykle zwanego spinem , odgrywa rolę w wielu dyscyplinach sportowych, w tym topspin i backspin w tenisie , angielskim , śledź i rysuj w bilard i bilard , krzywe piłki w baseballu , spin bowling w krykieta , sporty z lataniem na dyskach , itp. Rakietki do tenisa stołowego są produkowane z różnymi właściwościami powierzchni, aby umożliwić graczowi nadanie piłce większego lub mniejszego rotacji.

Obrót zawodnika jeden lub więcej razy wokół osi pionowej można nazwać spinem w łyżwiarstwie figurowym , kręceniem (pałeczki lub wykonawcy) w kręceniu pałką lub 360 , 540 , 720 , itp. w snowboardzie , itp. zawodnik lub wykonawca jeden lub więcej razy wokół osi poziomej może być nazwany flip , roll , salto , heli , itp. w gimnastyce , na nartach wodnych lub wielu innych sportach , lub półtora , dwa i -half , gainer (zaczynając twarzą od wody) itp. w nurkowaniu itp. Kombinacja rotacji pionowej i poziomej (back flip z 360°) nazywana jest möbiusem w skokach freestyle w narciarstwie wodnym .

Obrót zawodnika wokół pionowej osi, zwykle pomiędzy 180 a 360 stopni, może być nazywany ruchem obrotowym i jest używany jako oszukańczy lub unikowy manewr, lub jako próba zagrania, podania lub odebrania piłki lub krążka itp. lub dać graczowi widok na bramkę lub innych graczy. Często spotyka się go w hokeju , koszykówce , piłce nożnej różnych kodów, tenisie itp.

Oś stała a punkt stały

Wynik końcowy dowolnej sekwencji obrotów dowolnego obiektu w 3D wokół stałego punktu jest zawsze równoważny obrocie wokół osi. Jednak obiekt może fizycznie obracać się w 3D wokół stałego punktu na więcej niż jednej osi jednocześnie, w którym to przypadku nie ma jednej stałej osi obrotu - tylko stały punkt. Jednak te dwa opisy można pogodzić - taki ruch fizyczny zawsze można opisać na nowo w kategoriach pojedynczej osi obrotu, pod warunkiem, że orientacja tej osi względem obiektu będzie się zmieniać z chwili na chwilę.

Oś 2-wymiarowych obrotów

Obroty 2-wymiarowe, w przeciwieństwie do 3-wymiarowych, nie posiadają osi obrotu. W przypadku przekształceń liniowych jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że nie ma kierunku w miejscu, które pozostaje niezmienione przez dwuwymiarowy obrót, z wyjątkiem, oczywiście, tożsamości.

Pytanie o istnienie takiego kierunku jest pytaniem o istnienie wektora własnego dla macierzy A reprezentującej obrót. Każdy obrót 2D wokół początku o kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara można w prosty sposób przedstawić za pomocą następującej macierzy:

Standardowe określenie wartości własnej prowadzi do równania charakterystycznego

,

który ma

jako jego wartości własne. Dlatego nie ma żadnej rzeczywistej wartości własnej, gdy , co oznacza, że ​​żaden rzeczywisty wektor na płaszczyźnie nie jest utrzymywany niezmieniony przez A.

Kąt i oś obrotu w 3 wymiarach

Wiedząc, że ślad jest niezmiennikiem, kąt obrotu dla właściwej ortogonalnej macierzy rotacji 3x3 znajduje się przez

Używając głównego arc-cosinusa, ten wzór daje kąt obrotu satysfakcjonujący . Odpowiednia oś obrotu musi być zdefiniowana tak, aby wskazywała w kierunku, który ogranicza kąt obrotu do 180 stopni. (Zawsze można to zrobić, ponieważ każdy obrót o więcej niż 180 stopni wokół osi można zawsze zapisać jako obrót, jeśli oś zostanie zastąpiona przez .)

Każdy właściwy obrót w przestrzeni 3D ma oś obrotu, która jest zdefiniowana w taki sposób, że żaden wektor, który jest wyrównany z osią obrotu, nie zostanie dotknięty obrotem. W związku z tym , a oś obrotu odpowiada zatem wektorowi własnemu macierzy rotacji skojarzonej z wartością własną równą 1. Dopóki kąt obrotu jest niezerowy (tj. obrót nie jest tensorem tożsamości), istnieje jeden i tylko jeden taki kierunek. Ponieważ A ma tylko rzeczywiste składniki, istnieje co najmniej jedna rzeczywista wartość własna, a pozostałe dwie wartości własne muszą być złożonymi sprzężeniami siebie nawzajem (patrz Wartości własne i wektory własne#Wartości własne i wielomian charakterystyczny ). Wiedząc, że 1 jest wartością własną, wynika z tego, że pozostałe dwie wartości własne są złożonymi sprzężeniami siebie nawzajem, ale nie oznacza to, że są one złożone — mogą być rzeczywiste z podwójną krotnością. W zdegenerowanym przypadku kąta obrotu pozostałe dwie wartości własne są równe -1. W zdegenerowanym przypadku zerowego kąta obrotu macierz obrotu jest identycznością, a wszystkie trzy wartości własne wynoszą 1 (co jest jedynym przypadkiem, w którym oś obrotu jest arbitralna).

Analiza spektralna nie jest wymagana do znalezienia osi obrotu. Jeśli oznacza jednostkowy wektor własny wyrównany z osią obrotu, a jeśli oznacza kąt obrotu, można wykazać, że . W konsekwencji kosztów analizy wartości własnej można uniknąć, po prostu normalizując ten wektor, jeśli ma on niezerową wartość. Z drugiej strony, jeśli ten wektor ma wartość zerową, oznacza to, że . Innymi słowy, ten wektor będzie równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy kąt obrotu wynosi 0 lub 180 stopni, a oś obrotu może być w tym przypadku przypisana przez normalizację dowolnej kolumny o niezerowej wielkości.

Ta dyskusja dotyczy właściwej rotacji, a co za tym idzie . Każda niewłaściwa macierz ortogonalna 3x3 może być zapisana jako , w której jest właściwa ortogonalna. Oznacza to, że każda niewłaściwa macierz ortogonalna 3x3 może zostać rozłożona na prawidłowy obrót (z którego można znaleźć oś obrotu, jak opisano powyżej), po którym następuje inwersja (mnożenie przez -1). Wynika z tego, że oś obrotu jest również wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej równej -1.

Płaszczyzna obrotu

O ile każdy obrót trójwymiarowy ma oś obrotu, tak każdy obrót trójwymiarowy ma płaszczyznę, która jest prostopadła do osi obrotu i która pozostaje niezmienna przez obrót. Obrót ograniczony do tej płaszczyzny jest zwykłym obrotem 2D.

Dowód przebiega podobnie do powyższej dyskusji. Po pierwsze, załóżmy, że wszystkie wartości własne macierzy rotacji 3D A są rzeczywiste. Oznacza to, że istnieje baza ortogonalna, stworzona przez odpowiednie wektory własne (które są z konieczności ortogonalne), na którą macierz rotacji po prostu ją rozciąga. Jeśli napiszemy A w tej podstawie, jest to diagonalne; ale diagonalna macierz ortogonalna składa się tylko z +1 i -1 we wpisach diagonalnych. Dlatego nie mamy odpowiedniej rotacji, ale albo tożsamość, albo wynik sekwencji odbić.

Wynika z tego, że właściwy obrót ma pewną złożoną wartość własną. Niech v będzie odpowiednim wektorem własnym. Wtedy, jak pokazaliśmy w poprzednim temacie, jest również wektorem własnym i jest taki, że ich iloczyn skalarny znika:

dlatego, ponieważ jest realne, to jest równy sprzężoną liczbę zespoloną , a i to zarówno reprezentacje samego produktu skalarnej między i .

Oznacza to i są wektorami ortogonalnymi. Ponadto oba są wektorami rzeczywistymi z konstrukcji. Wektory te obejmują tę samą podprzestrzeń co i , która jest podprzestrzeń niezmienną w zastosowaniu A. Dlatego obejmują one niezmienną płaszczyznę.

Ta płaszczyzna jest ortogonalna do osi niezmiennej, która odpowiada pozostałemu wektorowi własnemu A o wartości własnej 1, z powodu ortogonalności wektorów własnych A.

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki