Gra Penneya - Penney's game
Gra Penneya , nazwana na cześć jego wynalazcy Waltera Penneya, to binarna (głowa/ogon) gra generująca sekwencje pomiędzy dwoma graczami. Gracz A wybiera sekwencję orłów i reszek (o długości 3 lub większej) i pokazuje tę sekwencję graczowi B. Następnie gracz B wybiera inną sekwencję orłów i reszka o tej samej długości. Następnie rzucana jest uczciwa moneta, dopóki sekwencja gracza A lub gracza B nie pojawi się jako kolejna sekwencja wyników rzutu monetą. Gracz, którego sekwencja pojawi się jako pierwsza, wygrywa.
Pod warunkiem, że używane są sekwencje o długości co najmniej trzy, drugi gracz (B) ma przewagę nad graczem rozpoczynającym (A). Dzieje się tak, ponieważ gra jest nieprzechodnia, tak że dla dowolnego ciągu o długości trzy lub dłuższej można znaleźć inny ciąg, który ma większe prawdopodobieństwo wystąpienia jako pierwszy.
Analiza gry trzybitowej
W przypadku gry z sekwencjami trzech bitów drugi gracz może zoptymalizować swoje szanse , wybierając sekwencje zgodnie z:
Wybór pierwszego gracza | Wybór drugiego gracza | Kursy na korzyść drugiego gracza |
---|---|---|
H H H | T HH | 7 do 1 |
H H T | T HH | 3 do 1 |
H T H | H HT | 2 do 1 |
H T T | H HT | 2 do 1 |
T H H | T TH | 2 do 1 |
T H T | T TH | 2 do 1 |
T T H | H TT | 3 do 1 |
T T T | H TT | 7 do 1 |
Łatwym sposobem na zapamiętanie sekwencji jest to, że drugi gracz zaczyna od przeciwnego wyboru środkowego wyboru pierwszego gracza, a następnie podąża za nim z dwoma pierwszymi wyborami pierwszego gracza.
- Tak więc dla pierwszego wyboru gracza 1-2-3
- drugi gracz musi wybrać (nie-2)-1-2
gdzie (nie-2) jest przeciwieństwem drugiego wyboru pierwszego gracza.
Intuicyjnym wyjaśnieniem tego wyniku jest to, że w każdym przypadku, gdy sekwencja nie jest od razu wyborem pierwszego gracza, szanse na to, że pierwszy gracz otrzyma swój początek sekwencji, otwierające dwie opcje, są zwykle szansą, że drugi gracz otrzyma ich pełną sekwencję. Więc drugi gracz najprawdopodobniej „skończy przed” pierwszym graczem.
Strategia na więcej niż trzy bity
Optymalną strategię dla pierwszego gracza (dla dowolnej długości sekwencji nie mniejszej niż 4) znalazł JA Csirik (patrz Referencje). Jest to wybór HTTTT.....TTTHH ( T's), w którym to przypadku maksymalna szansa na wygraną drugiego gracza wynosi .
Wariacja z kartami do gry
Jedna sugerowana odmiana gry Penney's wykorzystuje talię zwykłych kart do gry. Gra losowa Humble-Nishiyama opiera się na tym samym formacie, używając czerwonych i czarnych kart zamiast orzełków i reszek. Gra jest rozgrywana w następujący sposób. Na początku gry każdy gracz decyduje o kolejności trzech kolorów na całą grę. Karty są następnie odwracane pojedynczo i układane w linii, aż pojawi się jedna z wybranych trójek. Zwycięski gracz bierze odwrócone karty, po wygraniu tej „sztuczki”. Gra jest kontynuowana z pozostałymi niewykorzystanymi kartami, a gracze zbierają lewy w miarę pojawiania się ich trójek, aż wszystkie karty z zestawu zostaną wykorzystane. Zwycięzcą gry jest gracz, który wygrał najwięcej lew. Przeciętna gra będzie składać się z około 7 „sztuczek”. Ponieważ ta wersja oparta na kartach jest dość podobna do wielokrotnych powtórzeń oryginalnej gry na monety, przewaga drugiego gracza jest znacznie zwiększona. Prawdopodobieństwo jest nieco inne, ponieważ szanse na każdy rzut monetą są niezależne, podczas gdy szanse na dobranie za każdym razem czerwonej lub czarnej karty zależą od poprzednich losowań. Zauważ, że HHT jest faworytem 2:1 nad HTH i HTT, ale szanse są inne dla BBR nad BRB i BRR.
Poniżej przedstawiono przybliżone prawdopodobieństwa wyników dla każdej strategii oparte na symulacjach komputerowych:
Wybór pierwszego gracza | Wybór drugiego gracza | Prawdopodobieństwo zwycięstwa pierwszego gracza | Prawdopodobieństwo wygranej 2. gracza | Prawdopodobieństwo remisu |
---|---|---|---|---|
B B B | R BB | 0,11% | 99,49% | 0,40% |
B B R | R BB | 2,62% | 93,54% | 3,84% |
B R B | B BR | 11,61% | 80,11% | 8,28% |
B R R | B BR | 5,18% | 88,29% | 6,53% |
R B B | R RB | 5,18% | 88,29% | 6,53% |
R B R | R RB | 11,61% | 80,11% | 8,28% |
R R B | B RR | 2,62% | 93,54% | 3,84% |
R R R | B RR | 0,11% | 99,49% | 0,40% |
Jeśli gra kończy się po pierwszej lewie, szansa na remis jest znikoma. Szanse na wygraną drugiego gracza w takiej grze znajdują się w poniższej tabeli.
Wybór pierwszego gracza | Wybór drugiego gracza | Kursy na korzyść drugiego gracza |
---|---|---|
B B B | R BB | 7,50 do 1 |
B B R | R BB | 3,08 do 1 |
B R B | B BR | 1,99 do 1 |
B R R | B BR | 2,04 do 1 |
R B B | R RB | 2,04 do 1 |
R B R | R RB | 1,99 do 1 |
R R B | B RR | 3,08 do 1 |
R R R | B RR | 7,50 do 1 |
Wariacja z kołem ruletki
Ostatnio Robert W. Vallin, a później Vallin i Aaron M. Montgomery, przedstawili wyniki gry Penney's Game w odniesieniu do (amerykańskiej) ruletki, w której gracze wybierali czerwone/czarne zamiast orzeł/ogon. W tej sytuacji prawdopodobieństwo, że piłka wyląduje na czerwonym lub czarnym kolorze wynosi 9/19, a pozostała 1/19 to szansa, że piłka wyląduje na zielonym dla liczb 0 i 00. Istnieje wiele sposobów interpretacji zielonego: (1) jako „dziką kartę”, aby można było odczytać BGR na czarnych, czarnych, czerwonych i czarnych, czerwonych, czerwonych, (2) jako do-over, gra zostaje zatrzymana, gdy pojawi się zielony i zostanie wznowiona z następnym spinem, (3) jako po prostu siebie bez dodatkowej interpretacji. Wyniki zostały opracowane dla kursów i czasów oczekiwania.
Zobacz też
Bibliografia
- Walter Penney, Dziennik Matematyki Rekreacyjnej, październik 1969, s. 241.
- Martin Gardner , „Podróże w czasie i inne matematyczne zakłopotania”, WH Freeman, 1988.
- LJ Guibas i AM Odlyzko , „String Overlaps , Pattern Matching and Non-Transitive Games”, Journal of Combinatorial Theory, Series A. Volume 30, Issue 2, (1981), s. 183-208.
- Elwyn R. Berlekamp , John H. Conway i Richard K. Guy , „Zwycięskie sposoby dla twoich zabaw matematycznych”, wydanie drugie, tom 4, AK Peters (2004), s. 885.
- S. Humble i Y. Nishiyama, „Humble-Nishiyama Randomness Game – nowa odmiana gry na monety Penney”, IMA Mathematics Today. Vol 46, nr 4, sierpień 2010, ss 194-195.
- Steve Humble i Yutaka Nishiyama , „Winning Odds” , Plus Magazine, wydanie 55, czerwiec 2010.
- Yutaka Nishiyama , Prawdopodobieństwo dopasowania wzorców i paradoksy jako nowa odmiana gry na monety Penneya , International Journal of Pure and Applied Mathematics, tom 59, nr 3, 2010, 357-366.
- Ed Pegg, Jr. , „Jak wygrać w rzucaniu monetą” , blog Wolfram , 30 listopada 2010 r.
- JA Csirik , „Optymalna strategia dla pierwszego gracza w grze Penney ante”, Combinatorics, Probability and Computing , Volume 1, Issue 4 (1992), s. 311-321.
- Robert W. Vallin „Gra sekwencyjna na kole ruletki”, The Mathematics of Very Entertaining Subjects: Research in Leisure Math, Tom II, Princeton University Press, (publikacja w 2017 r.)
- James Brofos, „Analiza łańcucha Markowa w grze na monety dopasowujące wzór”. arXiv: 1406.2212 (2014).
Linki zewnętrzne